Théorème de Thalès en Troisième

Le théorème de Thalès en 3ème : cours complet

Le théorème de Thalès est l'un des théorèmes les plus importants de la géométrie au collège. Il permet de calculer des longueurs dans des configurations de droites parallèles. C'est un classique du brevet, et il sert constamment en géométrie au lycée.

Configuration de Thalès

Description

Deux droites $(AB)$(AB) et $(CD)$(CD) se coupent en $O$O. Si $(BD)$(BD) et $(AC)$(AC) sont parallèles, alors on est dans une configuration de Thalès.

Deux configurations classiques

• Triangles « emboîtés » : $B$B et $D$D sont du même côté de $O$O que $A$A et $C$C.
• Triangles « papillon » (en forme de nœud papillon) : $B$B et $D$D sont du côté opposé.

Énoncé du théorème de Thalès

Énoncé

Soit $A$A, $M$M et $B$B alignés (dans cet ordre ou non), et $A$A, $N$N et $C$C alignés (dans cet ordre ou non). Si les droites $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) sont parallèles, alors :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$AM/AB = AN/AC = MN/BC

Méthode pour identifier les rapports

Les trois rapports sont construits ainsi :

• Numérateur : la longueur sur un petit triangle (côté de $A$A).
• Dénominateur : la longueur correspondante sur le grand triangle.

Utilisation : calculer une longueur

Démarche

1. Vérifier qu'on est bien dans une configuration de Thalès (deux droites parallèles).
2. Écrire les trois rapports égaux.
3. Repérer ceux qui contiennent la longueur cherchée.
4. Calculer par produit en croix.

Exemple

Triangle $ABC$ABC avec $M$M sur $[AB]$[AB] et $N$N sur $[AC]$[AC], tels que $(MN)\parallel (BC)$(MN) parallel (BC). On a $AM=4$AM = 4, $AB=10$AB = 10, $BC=15$BC = 15.

$$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$$AM/AB = MN/BC $$\frac{4}{10}=\frac{MN}{15}$$4/10 = MN/15 $$MN=\frac{4\times 15}{10}=6$$MN = (4 × 15)/10 = 6

La réciproque du théorème de Thalès

Énoncé

Si $A$A, $M$M, $B$B et $A$A, $N$N, $C$C sont alignés dans le même ordre (sur les deux droites), et si :

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$AM/AB = AN/AC

alors les droites $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) sont parallèles.

Méthode pour utiliser la réciproque

1. Vérifier l'alignement dans le même ordre.
2. Calculer les deux rapports séparément.
3. Comparer :
   • Si égaux : les droites sont parallèles.
   • Si différents : les droites ne sont pas parallèles.

Exemple

$A$A, $M$M, $B$B alignés (et $M$M entre $A$A et $B$B) avec $AM=3$AM = 3, $AB=9$AB = 9. $A$A, $N$N, $C$C alignés avec $AN=5$AN = 5, $AC=15$AC = 15.

$$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\frac{AN}{AC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$AM/AB = 3/9 = 1/3 AN/AC = 5/15 = 1/3

Les rapports sont égaux et l'ordre est respecté → $(MN)\parallel (BC)$(MN) parallel (BC).

Contraposée — Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Si $\frac{AM}{AB}\ne \frac{AN}{AC}$AM/AB ≠ AN/AC, alors $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) ne sont pas parallèles.

Configuration papillon (avec sommet entre les triangles)

Énoncé

Si $O$O, $A$A, $C$C sont alignés et $O$O, $B$B, $D$D sont alignés, avec $A$A et $C$C de part et d'autre de $O$O (papillon), et si $(AB)\parallel (CD)$(AB) parallel (CD), alors :

$$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}$$OA/OC = OB/OD = AB/CD

Attention aux rapports algébriques (au lycée)

En 3ème, on travaille avec des longueurs positives. Au lycée, on introduira des rapports algébriques (avec signe) pour traiter les configurations plus générales.

Rédaction type au brevet

Pour calculer une longueur

Les droites $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) sont parallèles, et $A$A, $M$M, $B$B alignés, $A$A, $N$N, $C$C alignés. D'après le théorème de Thalès : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$AM/AB = AN/AC = MN/BC $\frac{4}{10}=\frac{MN}{15}$4/10 = MN/15 $MN=\frac{4\times 15}{10}=6$MN = (4 × 15)/10 = 6 cm.

Pour démontrer que deux droites sont parallèles

Les points $A$A, $M$M, $B$B sont alignés (dans cet ordre), de même pour $A$A, $N$N, $C$C. $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$AM/AB = 3/9 = 1/3 et $\frac{AN}{AC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$AN/AC = 5/15 = 1/3. Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$(MN) et $(BC)$(BC) sont parallèles.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre théorème et réciproque : le théorème calcule une longueur ; la réciproque prouve un parallélisme.
• Mal placer les longueurs dans les rapports : la longueur du petit triangle est au numérateur, celle du grand au dénominateur.
• Oublier de vérifier l'alignement dans la réciproque : il doit être dans le même ordre.
• Mélanger les côtés : $MN$MN correspond à $BC$BC (pas à $AB$AB ou $AC$AC).

FAQ — Le théorème de Thalès

Comment savoir si je dois utiliser Thalès ou Pythagore ?

• Thalès : configuration avec droites parallèles.
• Pythagore : triangle rectangle.

Que faire si les triangles sont en configuration papillon ?

Le théorème de Thalès s'applique aussi dans cette configuration, avec les mêmes rapports.

Comment se rappeler des bons rapports ?

Toujours : numérateur = petit côté (de $A$A), dénominateur = grand côté (de $A$A à l'autre extrémité).

Pourquoi le théorème de Thalès est-il important ?

Parce qu'il est l'outil de base pour toute la géométrie liée aux proportions et aux figures semblables. Il sert constamment au lycée et dans les sciences.