Cosinus d'un angle aigu en Quatrième

Cosinus d'un angle aigu en 4ème : cours complet

Le cosinus est la première notion de trigonométrie que tu rencontres au collège. Il permet, dans un triangle rectangle, de relier les angles et les longueurs des côtés. C'est un outil très utilisé en géométrie, en physique, en ingénierie.

Le cosinus dans un triangle rectangle

Définition

Dans un triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A, pour l'angle aigu $\hat{B}$B̂ :

$$\cos (\hat{B})=\frac{\text{coˆteˊ adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{AB}{BC}$$cos(B̂) = (côté adjacent)/hypoténuse = AB/BC

Vocabulaire

• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long).
• Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui touche cet angle (et qui n'est pas l'hypoténuse).
• Le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle (face à lui).

Mémorise

$$\cos (\text{angle aigu})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$$cos( angle aigu ) = adjacent/hypoténuse

Propriétés du cosinus

Le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris strictement entre $0$0 et $1$1 :

$$0<\cos (\theta )<1\text{pour }0°<\theta <90°$$0 < cos(θ) < 1 pour 0° < θ < 90°

Valeurs particulières

Plus l'angle est petit, plus le cosinus est proche de $1$1. Plus l'angle est grand (proche de $90°$90°), plus le cosinus est proche de $0$0.

Calculer une longueur connaissant un angle

Démarche

1. Identifier l'angle aigu connu.
2. Repérer l'adjacent et l'hypoténuse par rapport à cet angle.
3. Écrire la formule $\cos (\hat{B})=\frac{adj}{hyp}$cos(B̂) = adj/hyp.
4. Résoudre.

Exemple — Calcul du côté adjacent

Triangle rectangle en $A$A avec $\hat{B}=40°$B̂ = 40° et $BC=10$BC = 10 cm (hypoténuse). Calculer $AB$AB :

$$\cos (40°)=\frac{AB}{10}$$cos(40°) = AB/10 $$AB=10\times \cos (40°)\approx 10\times 0,766\approx 7,66\text{ cm}$$AB = 10 × cos(40°) ≈ 10 × 0,766 ≈ 7,66 cm

Exemple — Calcul de l'hypoténuse

Triangle rectangle en $A$A avec $\hat{B}=35°$B̂ = 35° et $AB=6$AB = 6 cm. Calculer $BC$BC :

$$\cos (35°)=\frac{6}{BC}$$cos(35°) = 6/BC $$BC=\frac{6}{\cos (35°)}\approx \frac{6}{0,819}\approx 7,33\text{ cm}$$BC = 6/cos(35°) ≈ 6/0,819 ≈ 7,33 cm

Calculer un angle connaissant deux côtés

Si on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on peut calculer l'angle en utilisant la fonction arccos (touche ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ de la calculatrice).

Exemple

Triangle rectangle en $A$A avec $AB=4$AB = 4 et $BC=5$BC = 5. Calculer $\hat{B}$B̂ :

$$\cos (\hat{B})=\frac{4}{5}=0,8$$cos(B̂) = 4/5 = 0,8

À la calculatrice (mode degrés !) :

$$\hat{B}=\arccos (0,8)\approx 36,87°$$B̂ = arccos(0,8) ≈ 36,87°

Utiliser la calculatrice

Bien configurer

Avant tout calcul, vérifie que ta calculatrice est en mode DEGRÉS (DEG ou D), pas en radians (RAD).

Pour calculer $\cos (40°)$cos(40°)

Tape : cos puis 4 0 puis = (ou EXE). Tu obtiens environ $0,766$0,766.

Pour calculer un angle (réciproque)

Tape : 2nd ou SHIFT puis cos (= ${\cos }^{-1}$cos⁻¹) puis la valeur. Exemple : ${\cos }^{-1}(0,5)$cos⁻¹(0,5) donne $60°$60°.

Rédaction au brevet

Pour calculer une longueur

Dans le triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A : $\cos (\hat{B})=\frac{AB}{BC}$cos(B̂) = AB/BC $\cos (40°)=\frac{AB}{10}$cos(40°) = AB/10 $AB=10\times \cos (40°)\approx 7,66$AB = 10 × cos(40°) ≈ 7,66 cm.

Pour calculer un angle

Dans le triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A : $\cos (\hat{B})=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}=0,8$cos(B̂) = AB/BC = 4/5 = 0,8 $\hat{B}=\arccos (0,8)\approx 36,87°$B̂ = arccos(0,8) ≈ 36,87°.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mode calculatrice mal réglé : assure-toi d'être en degrés.
• Confondre adjacent et opposé : l'adjacent touche l'angle considéré (et n'est pas l'hypoténuse).
• Oublier que $\cos$cos est uniquement défini pour un triangle rectangle.
• Mauvais arrondi : la consigne précise souvent au degré près, au dixième, etc. — respecte-la.

FAQ — Cosinus d'un angle aigu

Pourquoi le cosinus est-il compris entre $0$0 et $1$1 ?

Parce que dans un triangle rectangle, l'adjacent est toujours plus petit que l'hypoténuse. Le rapport est donc inférieur à $1$1 (et positif).

Que faire si l'angle est de $0°$0° ou $90°$90° ?

Dans un vrai triangle, ces cas ne se produisent pas. Mais on définit $\cos (0°)=1$cos(0°) = 1 et $\cos (90°)=0$cos(90°) = 0 pour la cohérence.

Quelle est la différence entre cosinus, sinus et tangente ?

• cos = adjacent / hypoténuse.
• sin = opposé / hypoténuse.
• tan = opposé / adjacent.

Le sinus et la tangente sont étudiés en 3ème.

À quoi sert le cosinus dans la vie ?

À calculer des distances inaccessibles (hauteur d'une tour, distance à un objet lointain), des angles dans la construction, en navigation, en astronomie…