Exercices types · Première spé maths

L'arbre de probabilité — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Compléter une branche

Niveau 1 · Application directe

Sur un arbre,

P (A) = 0, 7

P(A) = 0,7. Donner

P (\overline{A})

P(A̅).

Voir la correction

1.
Les deux branches du premier nœud somment à $1$ 1.
→ Somme des branches d'un nœud
2.
$P (\overline{A}) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ P(A̅) = 1 - 0,7 = 0,3.

Réponse :

0, 3

0,3.

Branche conditionnelle

Niveau 1 · Application directe

On a

P_{A} (B) = 0, 25

P_A(B) = 0,25. Donner

P_{A} (\overline{B})

P_A(B̅).

Voir la correction

1.
$P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B) = 1 - 0, 25 = 0, 75$ P_A(B̅) = 1 - P_A(B) = 1 - 0,25 = 0,75.
→ Somme des branches d'un nœud

Réponse :

0, 75

0,75.

Probabilité d'un chemin

Niveau 1 · Application directe

Calculer

P (A \cap B)

P(A ∩ B) si

P (A) = 0, 4

P(A) = 0,4 et

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B) = 0,5.

Voir la correction

1.
On multiplie le long du chemin.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)
2.
$P (A \cap B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2$ P(A∩ B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.

Réponse :

0, 2

0,2.

Deuxième chemin

Niveau 2 · Méthode complète

Avec

P (A) = 0, 4

P(A) = 0,4,

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B) = 0,5,

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅) = 0,6 et

P_{\overline{A}} (B) = 0, 1

P_A̅(B) = 0,1, calculer

P (\overline{A} \cap B)

P(A̅ ∩ B).

Voir la correction

1.
$P (\overline{A} \cap B) = 0, 6 \times 0, 1 = 0, 06$ P(A̅∩ B) = 0,6 × 0,1 = 0,06.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)

Réponse :

0, 06

0,06.

Réunion de deux chemins

Niveau 2 · Méthode complète

Avec les données précédentes, calculer

P (B)

P(B) (tous les chemins menant à

B

B).

Voir la correction

1.
On additionne les deux chemins : $P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B)$ P(A∩ B) + P(A̅∩ B).
2.
$P (B) = 0, 2 + 0, 06 = 0, 26$ P(B) = 0,2 + 0,06 = 0,26.

Réponse :

0, 26

0,26.

Problème : test médical

Niveau 2 · Méthode complète

Une maladie touche

2%

2% d'une population. Un test est positif dans

95%

95% des cas chez un malade. Quelle est la probabilité « être malade et avoir un test positif » ?

Voir la correction

1.
Premier niveau : $P (M) = 0, 02$ P(M) = 0,02. Branche positif $T$ T sachant $M$ M : $P_{M} (T) = 0, 95$ P_M(T) = 0,95.
2.
$P (M \cap T) = 0, 02 \times 0, 95 = 0, 019$ P(M ∩ T) = 0,02 × 0,95 = 0,019.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)

Réponse :

0, 019

0,019.

Arbre à trois étapes

Niveau 3 · Type contrôle

On tire trois fois pile ou face avec une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir trois fois pile ?

Voir la correction

1.
Chaque branche pile vaut $0, 5$ 0,5 ; on multiplie le long du chemin de trois branches.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)
2.
$0, 5 \times 0, 5 \times 0, 5 = 0, 125$ 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.

Réponse :

0, 125

0,125.

Fruits abîmés (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Un panier contient

60%

60% de pommes et

40%

40% de poires.

10%

10% des pommes et

25%

25% des poires sont abîmées. Quelle est la probabilité de tirer un fruit abîmé ?

Voir la correction

1.
Chemins : pomme abîmée $0, 6 \times 0, 1 = 0, 06$ 0,6× 0,1=0,06 ; poire abîmée $0, 4 \times 0, 25 = 0, 10$ 0,4× 0,25=0,10.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)
2.
On additionne les chemins menant à « abîmé » : $0, 06 + 0, 10 = 0, 16$ 0,06+0,10=0,16.
→ Somme des branches d'un nœud

Réponse :

0, 16

0,16.

Méthode utilisée : Produit le long des chemins, puis somme des chemins vers le même événement.

Erreur fréquente : Additionner directement $0, 1$ 0,1 et $0, 25$ 0,25 sans pondérer.

Tirage sans remise

Niveau 3 · Type contrôle

Une urne contient

3

3 boules rouges et

2

2 vertes. On tire

2

2 boules sans remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ?

Voir la correction

1.
$P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}$ P=3/5×2/4 (la 2ᵉ branche change après le 1ᵉʳ tirage).
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)
2.
$= \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ =6/20=3/10.

Réponse :

\frac{3}{10}

3/10.

Méthode utilisée : Produit le long du chemin, probabilités conditionnelles sans remise.

Erreur fréquente : Garder $\frac{3}{5}$ 3/5 au second tirage (comme avec remise).

Dépistage (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Une maladie touche

1%

1% de la population. Le test est positif chez

99%

99% des malades et chez

2%

2% des sains. Probabilité qu'un test soit positif ?

Voir la correction

1.
Chemins : $0, 01 \times 0, 99 = 0, 0099$ 0,01× 0,99=0,0099 et $0, 99 \times 0, 02 = 0, 0198$ 0,99× 0,02=0,0198.
→ Probabilité d'un chemin (règle du produit)
2.
Somme : $0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297$ 0,0099+0,0198=0,0297.
→ Somme des branches d'un nœud

Réponse :

P \approx 0, 0297

P≈ 0,0297.

Méthode utilisée : Produit sur les chemins, puis somme des chemins « positif ».

Erreur fréquente : Oublier les faux positifs (chemin sain $\to$ → positif).

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Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

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