Loi de Bernoulli et loi binomiale en Première spé maths

Loi de Bernoulli et loi binomiale en Première spé : cours complet

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une répétition d'expériences identiques et indépendantes. C'est l'une des lois discrètes les plus importantes.

Épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :

• succès (S), avec probabilité $p$p ;
• échec (Ē), avec probabilité $1-p$1 - p.

Exemples

• Lancer une pièce : succès = « pile », $p=0,5$p = 0,5.
• Tirer un as dans un jeu : succès = « as », $p=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$p = 4/52 = 1/13.

Loi de Bernoulli

Définition

La variable aléatoire $X$X vaut $1$1 si succès, $0$0 si échec. Sa loi est :

Espérance et variance

$$E(X)=pV(X)=p(1-p)$$E(X) = p V(X) = p(1 - p)

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli est la répétition indépendante de $n$n épreuves de Bernoulli identiques (même $p$p).

Exemple

Lancer une pièce $10$10 fois : $10$10 répétitions indépendantes.

Loi binomiale

Définition

La variable aléatoire $X$X = « nombre de succès » dans un schéma de Bernoulli de $n$n épreuves de paramètre $p$p suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$B (n, p).

Formule

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}k\in \{0,1,\dots ,n\}$$P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1 - p)^(n - k) k ∈ {0, 1, …, n}

où $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) est le coefficient binomial.

Coefficient binomial

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)

C'est le nombre de façons de choisir $k$k éléments parmi $n$n (sans ordre).

Triangle de Pascal

Les coefficients binomiaux se construisent par le triangle de Pascal :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$C(n+1, k) = C(n, k - 1) + C(n, k)

Espérance et variance de la binomiale

$$E(X)=npV(X)=np(1-p)\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$$E(X) = np V(X) = np(1 - p) σ(X) = √(np(1-p))

Exemple

Pour $X\sim \mathcal{B}(20;0,3)$X ~ B (20 ; 0,3) :

• $E(X)=20\times 0,3=6$E(X) = 20 × 0,3 = 6
• $V(X)=20\times 0,3\times 0,7=4,2$V(X) = 20 × 0,3 × 0,7 = 4,2
• $\sigma (X)\approx 2,05$σ(X) ≈ 2,05

Calcul d'une probabilité binomiale

Avec la formule

Pour $X\sim \mathcal{B}(5;0,4)$X ~ B (5 ; 0,4), $P(X=2)$P(X = 2) :

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(0,4{)}^2(0,6{)}^3=10\times 0,16\times 0,216=0,3456$$P(X = 2) = C(5, 2) (0,4)² (0,6)³ = 10 × 0,16 × 0,216 = 0,3456

À la calculatrice

Touche binomFdp ou binomPdf pour $P(X=k)$P(X = k).

Touche binomFRép ou binomCdf pour $P(X\le k)$P(X ≤ k).

Probabilités cumulées

$$P(X\le k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots +P(X=k)$$P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)

$$P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$$P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1)

$$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$$P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a - 1)

Exemple complet

Énoncé

On lance $10$10 fois une pièce équilibrée. $X$X = nombre de piles.

• $X\sim \mathcal{B}(10;0,5)$X ~ B (10 ; 0,5).
• $E(X)=5$E(X) = 5.

Q : Probabilité d'obtenir exactement $4$4 piles ?

$$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)(0,5{)}^4(0,5{)}^6=210\times \frac{1}{2^{10}}=\frac{210}{1024}\approx 0,205$$P(X = 4) = C(10, 4) (0,5)⁴ (0,5)⁶ = 210 × 1/2¹⁰ = 210/1024 ≈ 0,205

Q : Probabilité d'obtenir au moins $7$7 piles ?

$$P(X\ge 7)=1-P(X\le 6)\approx 1-0,828\approx 0,172$$P(X ≥ 7) = 1 - P(X ≤ 6) ≈ 1 - 0,828 ≈ 0,172

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) et $\frac{n}{k}$n/k : ce sont des choses différentes.
• Mauvais paramètre : $n$n = nombre d'épreuves, $p$p = probabilité de succès.
• Oublier l'indépendance : la loi binomiale exige des épreuves indépendantes.
• Mauvais calcul de $P(X\ge k)$P(X ≥ k) : c'est $1-P(X\le k-1)$1 - P(X ≤ k - 1), pas $1-P(X\le k)$1 - P(X ≤ k).

FAQ — Loi binomiale

Quand utiliser la loi binomiale ?

Quand on répète un même tirage $n$n fois de façon indépendante, avec deux issues (succès / échec) à chaque fois.

Comment vérifier que c'est une loi binomiale ?

Quatre conditions : (1) répétition de $n$n épreuves, (2) chaque épreuve a $2$2 issues, (3) même $p$p à chaque épreuve, (4) épreuves indépendantes.

Que signifie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) ?

C'est le nombre de façons de choisir $k$k éléments parmi $n$n (sans tenir compte de l'ordre).

À quoi sert la loi binomiale ?

À modéliser des contrôles qualité, des sondages, des tests, des stratégies de jeu, en biologie (taux de mutation), etc.