Exercices types · Première spé maths

L'espérance — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Espérance d'une loi donnée

Niveau 1 · Application directe

Soit

X

X de loi

P (X = - 1) = 0, 5

P(X=-1)=0,5,

P (X = 2) = 0, 3

P(X=2)=0,3,

P (X = 5) = 0, 2

P(X=5)=0,2. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
On applique $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = - 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 + 5 \times 0, 2 = - 0, 5 + 0, 6 + 1$ E(X) = -1× 0,5 + 2× 0,3 + 5× 0,2 = -0,5 + 0,6 + 1.
3.
$E (X) = 1, 1$ E(X) = 1,1.

Réponse :

E (X) = 1, 1

E(X) = 1,1.

Méthode utilisée : $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ.

Espérance d'un dé équilibré

Niveau 1 · Application directe

On lance un dé équilibré à 6 faces et

X

X est le numéro obtenu. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ E(X) = 1/6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21/6.
3.
$E (X) = 3, 5$ E(X) = 3,5.

Réponse :

E (X) = 3, 5

E(X) = 3,5.

Un jeu est-il favorable ?

Niveau 2 · Méthode complète

À un jeu, on gagne

5

5 € avec probabilité

0, 3

0,3 et on perd

2

2 € avec probabilité

0, 7

0,7. On note

X

X le gain algébrique. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Voir la correction

1.
Les gains possibles : $+ 5$ +5 (proba $0, 3$ 0,3) et $- 2$ -2 (proba $0, 7$ 0,7).
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = 5 \times 0, 3 + (- 2) \times 0, 7 = 1, 5 - 1, 4 = 0, 1$ E(X) = 5× 0,3 + (-2)× 0,7 = 1,5 - 1,4 = 0,1.
3.
$E (X) = 0, 1 > 0$ E(X) = 0,1 > 0 : en moyenne le joueur gagne $0, 1$ 0,1 € par partie, le jeu lui est favorable.

Réponse :

E (X) = 0, 1 > 0

E(X) = 0,1 > 0 : jeu favorable au joueur.

Linéarité de l'espérance

Niveau 2 · Méthode complète

On sait que

E (X) = 1, 1

E(X) = 1,1. On pose

Y = 2 X + 3

Y = 2X + 3. Calculer

E (Y)

E(Y).

Voir la correction

1.
On applique la linéarité : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX + b) = a E(X) + b.
→ Linéarité de l'espérance
2.
$E (Y) = 2 \times 1, 1 + 3 = 2, 2 + 3 = 5, 2$ E(Y) = 2× 1,1 + 3 = 2,2 + 3 = 5,2.

Réponse :

E (Y) = 5, 2

E(Y) = 5,2.

Méthode utilisée : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX+b)=aE(X)+b.

Erreur fréquente : Oublier le $+ b$ +b ou multiplier $b$ b par $a$ a.

Espérance d'une loi à trois valeurs

Niveau 1 · Application directe

Soit

X

X de loi

P (X = 2) = 0, 3

P(X=2)=0,3,

P (X = 5) = 0, 5

P(X=5)=0,5,

P (X = 10) = 0, 2

P(X=10)=0,2. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ E(X) = Σ xᵢ pᵢ.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = 2 \times 0, 3 + 5 \times 0, 5 + 10 \times 0, 2 = 0, 6 + 2, 5 + 2 = 5, 1$ E(X) = 2× 0,3 + 5× 0,5 + 10× 0,2 = 0,6 + 2,5 + 2 = 5,1.

Réponse :

E (X) = 5, 1

E(X) = 5,1.

Espérance d'un dé

Niveau 1 · Application directe

On lance un dé équilibré à

6

6 faces et

X

X est le résultat. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3, 5$ E(X) = 1/6(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5.

Réponse :

E (X) = 3, 5

E(X) = 3,5.

Problème : loterie

Niveau 3 · Type contrôle

Un billet de loterie coûte

2

2 €. Il y a

1

1 chance sur

100

100 de gagner

100

100 €. On note

X

X le gain net (gain moins mise). Le jeu est-il favorable ?

Voir la correction

1.
Si on gagne (proba $0, 01$ 0,01) : gain net $100 - 2 = 98$ 100 - 2 = 98 €. Si on perd (proba $0, 99$ 0,99) : $- 2$ -2 €.
2.
$E (X) = 98 \times 0, 01 + (- 2) \times 0, 99 = 0, 98 - 1, 98 = - 1$ E(X) = 98× 0,01 + (-2)× 0,99 = 0,98 - 1,98 = -1 €.
→ Formule de l'espérance
3.
$E (X) = - 1 < 0$ E(X) = -1 < 0 : en moyenne on perd $1$ 1 € par billet. Le jeu est défavorable.

Réponse :

E (X) = - 1

E(X) = -1 € : jeu défavorable.

Méthode utilisée : On raisonne sur le gain net (gain $-$ - coût du billet).

Erreur fréquente : Oublier de soustraire le prix du billet.

Espérance d'une loi binomiale

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

X \sim B (20; 0, 3)

X ~ B (20 ; 0,3). Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
Pour une loi binomiale, $E (X) = n p$ E(X) = np.
2.
$E (X) = 20 \times 0, 3 = 6$ E(X) = 20× 0,3 = 6.

Réponse :

E (X) = 6

E(X) = 6.

Méthode utilisée : $E (X) = n p$ E(X)=np.

Linéarité (3X − 2)

Niveau 2 · Méthode complète

On sait que

E (X) = 4

E(X) = 4. Calculer

E (3 X - 2)

E(3X - 2).

Voir la correction

1.
$E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX + b) = a E(X) + b.
→ Linéarité de l'espérance
2.
$E (3 X - 2) = 3 \times 4 - 2 = 10$ E(3X - 2) = 3× 4 - 2 = 10.

Réponse :

E (3 X - 2) = 10

E(3X - 2) = 10.

Espérance d'une somme

Niveau 2 · Méthode complète

Deux variables vérifient

E (X) = 2

E(X) = 2 et

E (Y) = 3

E(Y) = 3. Calculer

E (X + Y)

E(X + Y).

Voir la correction

1.
L'espérance d'une somme est la somme des espérances : $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ E(X + Y) = E(X) + E(Y).
→ Linéarité de l'espérance
2.
$E (X + Y) = 2 + 3 = 5$ E(X + Y) = 2 + 3 = 5.

Réponse :

E (X + Y) = 5

E(X + Y) = 5.

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Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

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