Notion

L'espérance

Q: C'est quoi l'espérance, simplement ?

C'est le résultat moyen qu'on obtient « à la longue ». Exemple : si un jeu a une espérance de gain de 0,10 €, cela veut dire qu'en jouant des milliers de fois, on gagne en moyenne 10 centimes par partie. Sur une seule partie, on peut bien sûr gagner ou perdre plus.

Q: Comment calcule-t-on l'espérance ?

On multiplie chaque valeur possible par sa probabilité, puis on additionne le tout. C'est une moyenne où les résultats les plus probables pèsent davantage.

Q: Ça veut dire quoi, un jeu équitable ?

C'est un jeu dont l'espérance de gain est nulle : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd en moyenne. Si l'espérance est positive, le jeu est avantageux ; si elle est négative, il est désavantageux. Dans un casino, elle est toujours négative pour le joueur.

Q: L'espérance, est-ce un résultat qu'on peut obtenir ?

Pas forcément ! L'espérance d'un dé est 3,5, alors qu'on ne fait jamais 3,5 sur un lancer. C'est une moyenne théorique, pas une valeur réellement atteinte à chaque fois.

Q: Quelle différence entre espérance et variance ?

L'espérance dit autour de quelle valeur moyenne se situe la variable. La variance (et l'écart-type) dit à quel point les résultats sont dispersés autour de cette moyenne. L'une donne le centre, l'autre l'étalement.

L'espérance d'une variable aléatoire $X$ X est la valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant un très grand nombre de fois l'expérience : c'est le « gain moyen » attendu. On la calcule en pondérant chaque valeur par sa probabilité : $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ E(X)=Σ xᵢ P(X=xᵢ). Par exemple, l'espérance de gain d'un jeu se calcule en multipliant chaque gain par sa probabilité, puis en additionnant. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle. L'espérance est linéaire : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX+b)=aE(X)+b. Pour une loi binomiale $B (n, p)$ B (n,p), elle vaut $n p$ np. C'est un indicateur central pour prévoir un résultat moyen ou décider dans une situation de hasard.

Définitions

Espérance: L'espérance de $X$ X est la moyenne de ses valeurs pondérée par leurs probabilités : $E (X) = i \sum x_{i} p_{i} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} .$ E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ = x₁ p₁ + x₂ p₂ + … + xₙ pₙ.
Loi de probabilité: C'est la liste des valeurs $x_{i}$ xᵢ que peut prendre $X$ X, avec leurs probabilités $p_{i}$ pᵢ. La somme des probabilités vaut toujours $1$ 1. On a besoin de la loi pour calculer l'espérance.
Jeu équitable: Un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle ( $E (X) = 0$ E(X) = 0) : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd en moyenne. Si $E (X) > 0$ E(X) > 0 le jeu est favorable, si $E (X) < 0$ E(X) < 0 il est défavorable.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule de l'espérance →

E (X) = i \sum x_{i} p_{i}

E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢLa moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités.Linéarité de l'espérance →

E (a X + b) = a E (X) + b

E(aX + b) = a E(X) + bTransformer X en aX + b transforme l'espérance de la même façon.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une espérance →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Espérance d'une loi donnée

Niveau 1 · Application directe

Soit

X

X de loi

P (X = - 1) = 0, 5

P(X=-1)=0,5,

P (X = 2) = 0, 3

P(X=2)=0,3,

P (X = 5) = 0, 2

P(X=5)=0,2. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
On applique $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = - 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 + 5 \times 0, 2 = - 0, 5 + 0, 6 + 1$ E(X) = -1× 0,5 + 2× 0,3 + 5× 0,2 = -0,5 + 0,6 + 1.
3.
$E (X) = 1, 1$ E(X) = 1,1.

Réponse :

E (X) = 1, 1

E(X) = 1,1.

Méthode utilisée : $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ.

Espérance d'un dé équilibré

Niveau 1 · Application directe

On lance un dé équilibré à 6 faces et

X

X est le numéro obtenu. Calculer

E (X)

E(X).

Voir la correction

1.
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
→ Formule de l'espérance
2.
$E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ E(X) = 1/6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21/6.
3.
$E (X) = 3, 5$ E(X) = 3,5.

Réponse :

E (X) = 3, 5

E(X) = 3,5.

Faire les 10 exercices types sur espérance8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi l'espérance, simplement ?

C'est le résultat moyen qu'on obtient « à la longue ». Exemple : si un jeu a une espérance de gain de 0,10 €, cela veut dire qu'en jouant des milliers de fois, on gagne en moyenne 10 centimes par partie. Sur une seule partie, on peut bien sûr gagner ou perdre plus.

Comment calcule-t-on l'espérance ?

On multiplie chaque valeur possible par sa probabilité, puis on additionne le tout. C'est une moyenne où les résultats les plus probables pèsent davantage.

Ça veut dire quoi, un jeu équitable ?

C'est un jeu dont l'espérance de gain est nulle : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd en moyenne. Si l'espérance est positive, le jeu est avantageux ; si elle est négative, il est désavantageux. Dans un casino, elle est toujours négative pour le joueur.

L'espérance, est-ce un résultat qu'on peut obtenir ?

Pas forcément ! L'espérance d'un dé est 3,5, alors qu'on ne fait jamais 3,5 sur un lancer. C'est une moyenne théorique, pas une valeur réellement atteinte à chaque fois.

Quelle différence entre espérance et variance ?

L'espérance dit autour de quelle valeur moyenne se situe la variable. La variance (et l'écart-type) dit à quel point les résultats sont dispersés autour de cette moyenne. L'une donne le centre, l'autre l'étalement.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

La variance

Tout sur probabilités en première

Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spé Maths Première

Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Variables aléatoires — Première spé maths →