Probabilités conditionnelles en Première spé maths

Probabilités conditionnelles en Première spé : cours complet

Les probabilités conditionnelles servent à mesurer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est produit. Tu maîtrises maintenant l'arbre pondéré, la formule des probabilités totales et tu travailles avec l'indépendance.

Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $A,B$A, B deux événements avec $P(B)>0$P(B) > 0. La probabilité de $A$A sachant $B$B est :

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B)

(Notation alternative : $P(A|B)$P(A | B).)

Interprétation

Probabilité que $A$A se produise étant donné que $B$B s'est produit.

Formule des probabilités composées

$$P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)=P(A)\times P_A(B)$$P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(A) × P_A(B)

C'est l'outil pour calculer $P(A\cap B)$P(A ∩ B).

Arbre pondéré

Construction

Sur chaque branche, on indique la probabilité conditionnelle correspondante.

Règles

1. Probabilité d'une feuille (issue finale) = produit des probabilités le long du chemin.
2. Somme des probabilités des branches issues d'un nœud = $1$1.

Exemple

                  D (0,03) → AD : 0,6 × 0,03 = 0,018
A (0,6)  /
       \
                  D̄ (0,97) → AD̄ : 0,6 × 0,97 = 0,582

                  D (0,05) → BD : 0,4 × 0,05 = 0,020
B (0,4)  /
       \
                  D̄ (0,95) → BD̄ : 0,4 × 0,95 = 0,380

Formule des probabilités totales

Énoncé

Si $B_1,B_2,\dots ,B_n$B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l'univers :

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)\times P_{B_i}(A)$$P(A) = Σ_i=1ⁿ P(Bᵢ) × P_Bᵢ(A)

Application

Sur un arbre, on somme les probabilités des chemins qui mènent à $A$A.

Exemple

Dans une usine, $60\%$60% des pièces viennent de A, $40\%$40% de B. Taux de défaut : $3\%$3% en A, $5\%$5% en B.

$$P(D)=0,6\times 0,03+0,4\times 0,05=0,038$$P(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,05 = 0,038

Indépendance

Définition

Deux événements $A$A et $B$B sont indépendants si :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

ou équivalent (si $P(B)>0$P(B) > 0) :

$$P_B(A)=P(A)$$P_B(A) = P(A)

Interprétation

La connaissance de $B$B ne modifie pas la probabilité de $A$A.

Exemple

Lancer un dé puis une pièce : indépendants.

Tirer deux cartes sans remise : non indépendants.

Formule de Bayes

$$P_A(B)=\frac{P(B)\times P_B(A)}{P(A)}$$P_A(B) = (P(B) × P_B(A))/P(A)

Application : test médical

Maladie touchant $1\%$1% de la population. Test :

• Sensibilité : $P_{\text{malade}}(\text{test +})=99\%$P_malade( test + ) = 99%.
• Spécificité : $P_{\text{sain}}(\text{test -})=95\%$P_sain( test - ) = 95%.

Question : probabilité d'être malade si test positif ?

$$P_{\text{test+}}(\text{malade})=\frac{0,01\times 0,99}{0,01\times 0,99+0,99\times 0,05}\approx 16,6\%$$P_test+( malade ) = (0,01 × 0,99)/(0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05) ≈ 16,6%

C'est bien moins que $99\%$99% ! C'est le résultat paradoxal de Bayes.

Exemple complet

Énoncé

Dans une classe : $65\%$65% sont des filles. $40\%$40% des filles et $25\%$25% des garçons portent des lunettes.

Q1 : Probabilité qu'une élève soit une fille portant des lunettes ?

$$P(F\cap L)=P(F)\times P_F(L)=0,65\times 0,40=0,26$$P(F ∩ L) = P(F) × P_F(L) = 0,65 × 0,40 = 0,26

Q2 : Probabilité qu'un élève porte des lunettes ?

$$P(L)=P(F)P_F(L)+P(G)P_G(L)=0,65\times 0,40+0,35\times 0,25=0,26+0,0875=0,3475$$P(L) = P(F) P_F(L) + P(G) P_G(L) = 0,65 × 0,40 + 0,35 × 0,25 = 0,26 + 0,0875 = 0,3475

Q3 : Sachant qu'un élève porte des lunettes, probabilité que ce soit une fille ?

$$P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(L)}=\frac{0,26}{0,3475}\approx 0,748=74,8\%$$P_L(F) = (P(F ∩ L))/P(L) = 0,26/0,3475 ≈ 0,748 = 74,8%

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $P_B(A)$P_B(A) et $P_A(B)$P_A(B) : pas la même chose !
• Oublier le facteur $P(B)$P(B) dans la formule des probabilités composées.
• Confondre indépendant et incompatible : indépendant ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$P(A ∩ B) = P(A) P(B)) ≠ incompatible ($A\cap B=\varnothing$A ∩ B = emptyset).
• Mal lire un arbre : bien associer probabilité conditionnelle à chaque branche.

FAQ — Probabilités conditionnelles

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Vérifier $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Pourquoi le théorème de Bayes est-il important ?

Il renverse l'information : on connaît $P_B(A)$P_B(A) et on veut $P_A(B)$P_A(B). Énormément utilisé en médecine, IA, justice.

Avec ou sans remise, ça change tout ?

Oui : avec remise → indépendance, sans remise → probabilités conditionnelles à recalculer à chaque étape.

À quoi sert tout cela ?

À modéliser des situations réelles où l'information est partielle : diagnostics, prédictions, sondages, filtres antispam, IA…