Exercices types · Première spé maths

La probabilité conditionnelle — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Probabilité conditionnelle directe

Niveau 1 · Application directe

On sait que

P (A) = 0, 5

P(A) = 0,5 et

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2. Calculer

P_{A} (B)

P_A(B).

Voir la correction

1.
On applique la formule $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A).
→ Formule de la probabilité conditionnelle
2.
$P_{A} (B) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_A(B) = 0,2/0,5 = 0,4.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B) = 0,4.

Méthode utilisée : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A).

Probabilité d'une intersection

Niveau 1 · Application directe

On donne

P (A) = 0, 5

P(A) = 0,5 et

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B) = 0,4. Calculer

P (A \cap B)

P(A ∩ B).

Voir la correction

1.
On utilise $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
→ Probabilité d'une intersection
2.
$P (A \cap B) = 0, 5 \times 0, 4 = 0, 2$ P(A ∩ B) = 0,5 × 0,4 = 0,2.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2.

Arbre et probabilités totales

Niveau 2 · Méthode complète

Dans une usine,

60%

60% des pièces viennent de la machine

A

A et

40%

40% de la machine

\overline{A}

A̅. La machine

A

A produit

5%

5% de pièces défectueuses, la machine

\overline{A}

A̅ en produit

10%

10%. On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Voir la correction

1.
On note $D$ D « la pièce est défectueuse ». Données : $P (A) = 0, 6$ P(A) = 0,6, $P (\overline{A}) = 0, 4$ P(A̅) = 0,4, $P_{A} (D) = 0, 05$ P_A(D) = 0,05, $P_{\overline{A}} (D) = 0, 10$ P_A̅(D) = 0,10.
2.
Les deux chemins vers $D$ D : $P (A \cap D) = 0, 6 \times 0, 05 = 0, 03$ P(A ∩ D) = 0,6× 0,05 = 0,03 et $P (\overline{A} \cap D) = 0, 4 \times 0, 10 = 0, 04$ P(A̅∩ D) = 0,4× 0,10 = 0,04.
→ Probabilité d'une intersection
3.
Probabilités totales : $P (D) = 0, 03 + 0, 04 = 0, 07$ P(D) = 0,03 + 0,04 = 0,07.
→ Formule des probabilités totales

Réponse :

P (D) = 0, 07

P(D) = 0,07.

Inverser le conditionnement (Bayes)

Niveau 3 · Type contrôle

Avec les données de l'usine précédente, une pièce prise au hasard est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine

A

A ?

Voir la correction

1.
On cherche $P_{D} (A)$ P_D(A). On connaît $P (A \cap D) = 0, 03$ P(A ∩ D) = 0,03 et $P (D) = 0, 07$ P(D) = 0,07.
→ Formule des probabilités totales
2.
Formule de Bayes : $P_{D} (A) = \frac{P ( A \cap D )}{P ( D )} = \frac{0 , 03}{0 , 07}$ P_D(A) = (P(A ∩ D))/P(D) = 0,03/0,07.
→ Formule de la probabilité conditionnelle
3.
$\frac{0 , 03}{0 , 07} = \frac{3}{7} \approx 0, 43$ 0,03/0,07 = 3/7 ≈ 0,43.

Réponse :

P_{D} (A) = \frac{3}{7} \approx 0, 43

P_D(A) = 3/7 ≈ 0,43.

Méthode utilisée : Probabilités totales pour $P (D)$ P(D), puis formule de Bayes.

Erreur fréquente : Confondre $P_{D} (A)$ P_D(A) et $P_{A} (D)$ P_A(D).

Conditionnelle directe

Niveau 1 · Application directe

On donne

P (A) = 0, 4

P(A) = 0,4 et

P (A \cap B) = 0, 1

P(A ∩ B) = 0,1. Calculer

P_{A} (B)

P_A(B).

Voir la correction

1.
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 1}{0 , 4}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) = 0,1/0,4.
→ Formule de la probabilité conditionnelle
2.
$= 0, 25$ = 0,25.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 25

P_A(B) = 0,25.

Probabilité d'intersection

Niveau 1 · Application directe

On sait que

P (A) = 0, 6

P(A) = 0,6 et

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B) = 0,5. Calculer

P (A \cap B)

P(A ∩ B).

Voir la correction

1.
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 6 \times 0, 5$ P(A ∩ B) = P(A)× P_A(B) = 0,6× 0,5.
→ Probabilité d'une intersection
2.
$= 0, 3$ = 0,3.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 3

P(A ∩ B) = 0,3.

Tester l'indépendance

Niveau 2 · Méthode complète

On a

P (A) = 0, 3

P(A) = 0,3,

P (B) = 0, 5

P(B) = 0,5 et

P (A \cap B) = 0, 15

P(A ∩ B) = 0,15. Les événements

A

A et

B

B sont-ils indépendants ?

Voir la correction

1.
$A$ A et $B$ B sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A ∩ B) = P(A)× P(B).
2.
$P (A) \times P (B) = 0, 3 \times 0, 5 = 0, 15 = P (A \cap B)$ P(A)× P(B) = 0,3× 0,5 = 0,15 = P(A ∩ B).
3.
L'égalité est vérifiée : $A$ A et $B$ B sont indépendants.

Réponse : Oui, indépendants.

Méthode utilisée : Indépendants $\Leftrightarrow P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ⇔ P(A∩ B)=P(A)× P(B).

Erreur fréquente : Confondre indépendants et incompatibles.

Problème : test de dépistage

Niveau 3 · Type contrôle

Une maladie touche

2%

2% d'une population. Un test est positif chez

95%

95% des malades et chez

3%

3% des personnes saines. Quelle est la probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?

Voir la correction

1.
On note $M$ M « malade », $T$ T « test positif ». Données : $P (M) = 0, 02$ P(M) = 0,02, $P_{M} (T) = 0, 95$ P_M(T) = 0,95, $P (\overline{M}) = 0, 98$ P(M̅) = 0,98, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 03$ P_M̅(T) = 0,03.
2.
Chemins vers $T$ T : $P (M \cap T) = 0, 02 \times 0, 95 = 0, 019$ P(M ∩ T) = 0,02× 0,95 = 0,019 et $P (\overline{M} \cap T) = 0, 98 \times 0, 03 = 0, 0294$ P(M̅ ∩ T) = 0,98× 0,03 = 0,0294.
→ Probabilité d'une intersection
3.
Probabilités totales : $P (T) = 0, 019 + 0, 0294 = 0, 0484$ P(T) = 0,019 + 0,0294 = 0,0484.
→ Formule des probabilités totales

Réponse :

P (T) = 0, 0484

P(T) = 0,0484 (environ

4, 8%

4,8%).

Problème : tirage dans une urne

Niveau 3 · Type contrôle

Une urne contient

3

3 boules rouges et

2

2 vertes. On tire

2

2 boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?

Voir la correction

1.
1ʳᵉ rouge : $P = \frac{3}{5}$ P = 3/5. Sachant cela, il reste $2$ 2 rouges sur $4$ 4 boules.
2.
2ᵉ rouge sachant la 1ʳᵉ rouge : $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 2/4 = 1/2.
→ Formule de la probabilité conditionnelle
3.
Intersection : $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} = 0, 3$ 3/5×1/2 = 3/10 = 0,3.
→ Probabilité d'une intersection

Réponse :

\frac{3}{10} = 0, 3

3/10 = 0,3.

Méthode utilisée : Tirage sans remise : la 2ᵉ probabilité change.

Erreur fréquente : Garder la même probabilité au 2ᵉ tirage (comme avec remise).

Problème : deux rois

Niveau 3 · Type contrôle

Dans un jeu de

32

32 cartes (dont

4

4 rois), on tire

2

2 cartes sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rois ?

Voir la correction

1.
1ᵉʳ roi : $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ 4/32 = 1/8. Puis $3$ 3 rois restants sur $31$ 31 cartes.
2.
2ᵉ roi sachant le 1ᵉʳ : $\frac{3}{31}$ 3/31.
→ Formule de la probabilité conditionnelle
3.
$P = \frac{1}{8} \times \frac{3}{31} = \frac{3}{248} \approx 0, 012$ P = 1/8×3/31 = 3/248 ≈ 0,012.
→ Probabilité d'une intersection

Réponse :

\frac{3}{248} \approx 0, 012

3/248 ≈ 0,012.

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Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

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