Notion

L'arbre de probabilité

Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) est un schéma qui représente les issues successives d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et l'ensemble des branches partant d'un même nœud a une somme de probabilités égale à $1$ 1. Deux règles fondamentales le régissent : on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue, et on additionne les probabilités des chemins menant à un même événement (probabilités totales). L'arbre est l'outil visuel de référence pour les probabilités conditionnelles : les branches du second niveau portent des probabilités sachant l'étape précédente. Il clarifie les tirages successifs, les tests ou les contrôles.

Définitions

Arbre pondéré: Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Les branches du premier niveau portent les probabilités d'un premier événement (par exemple $P (A)$ P(A) et $P (\overline{A})$ P(A̅)) ; les branches du second niveau portent les probabilités conditionnelles (par exemple $P_{A} (B)$ P_A(B), c'est-à-dire « $B$ B sachant $A$ A »).
Chemin et issue: Un chemin part de la racine et descend jusqu'à une extrémité : il correspond à une issue de l'expérience, par exemple « $A$ A puis $B$ B », noté $A \cap B$ A ∩ B. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Règle des nœuds: La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$ 1 : $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ P(A) + P(A̅) = 1 au premier niveau, $P_{A} (B) + P_{A} (\overline{B}) = 1$ P_A(B) + P_A(B̅) = 1 au second. C'est la vérification de base d'un arbre correctement construit.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Probabilité d'un chemin (règle du produit) →

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)On multiplie les probabilités rencontrées le long du chemin.Somme des branches d'un nœud →

P_{A} (B) + P_{A} (\overline{B}) = 1

P_A(B) + P_A(B̅) = 1P_A(B) + P_A(B̄) = 1Les branches issues d'un même nœud somment à 1.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Construire et exploiter un arbre pondéré →

4 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Compléter une branche

Niveau 1 · Application directe

Sur un arbre,

P (A) = 0, 7

P(A) = 0,7. Donner

P (\overline{A})

P(A̅).

Voir la correction

1.
Les deux branches du premier nœud somment à $1$ 1.
→ Somme des branches d'un nœud
2.
$P (\overline{A}) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ P(A̅) = 1 - 0,7 = 0,3.

Réponse :

0, 3

0,3.

Branche conditionnelle

Niveau 1 · Application directe

On a

P_{A} (B) = 0, 25

P_A(B) = 0,25. Donner

P_{A} (\overline{B})

P_A(B̅).

Voir la correction

1.
$P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B) = 1 - 0, 25 = 0, 75$ P_A(B̅) = 1 - P_A(B) = 1 - 0,25 = 0,75.
→ Somme des branches d'un nœud

Réponse :

0, 75

0,75.

Faire les 10 exercices types sur arbre de probabilité8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Quand multiplier et quand additionner sur un arbre ?

On multiplie les probabilités le long d'un même chemin (de haut en bas). On additionne les probabilités de plusieurs chemins différents quand ils mènent au même événement.

Que doit valoir la somme des branches d'un nœud ?

Toujours 1. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur : c'est la première vérification à faire sur un arbre.

Quelle est la différence entre une branche et un chemin ?

Une branche porte une probabilité simple ou conditionnelle (ex. P_A(B)). Un chemin est une suite de branches de la racine à une extrémité ; sa probabilité est le produit des branches (ex. P(A ∩ B)).

La somme des probabilités de toutes les extrémités vaut combien ?

1, car les extrémités de l'arbre représentent toutes les issues possibles de l'expérience.

Comment calculer la probabilité d'un chemin ?

On multiplie les probabilités de toutes les branches du chemin : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Pour la probabilité d'un événement obtenu par plusieurs chemins, on additionne ces chemins.

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