Variables aléatoires en Première spé maths

Variables aléatoires en Première spé : cours complet

Une variable aléatoire $X$X associe à chaque issue d'une expérience un nombre. Tu apprends à calculer son espérance (valeur moyenne), sa variance et son écart-type (mesures de dispersion).

Définition

Variable aléatoire

Soit une expérience aléatoire d'univers $\Omega$Ω. Une variable aléatoire $X$X est une fonction de $\Omega$Ω dans $\mathbb{R}$ℝ : à chaque issue $\omega$ω, on associe un réel $X(\omega )$X(ω).

Exemple

Lancer un dé. La variable aléatoire $X$X = « numéro obtenu » prend les valeurs $1,2,3,4,5,6$1, 2, 3, 4, 5, 6.

Loi de probabilité

Définition

La loi de probabilité de $X$X est le tableau qui donne, pour chaque valeur $x_i$xᵢ prise par $X$X, la probabilité $P(X=x_i)$P(X = xᵢ).

Propriété

$$\sum _{i}P(X=x_i)=1$$Σᵢ P(X = xᵢ) = 1

Exemple (dé)

Espérance

Définition

$$E(X)=\sum _i{x}_i\times P(X=x_i)$$E(X) = Σᵢ xᵢ × P(X = xᵢ)

Interprétation

C'est la valeur moyenne qu'on s'attend à obtenir si on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Exemple

Pour le dé :

$$E(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+\cdots +6\times \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3,5$$E(X) = 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + … + 6 × 1/6 = 21/6 = 3,5

Variance et écart-type

Variance

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$V(X) = E(X²) - (E(X))²

ou équivalent :

$$V(X)=E((X-E(X){)}^2)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2\times P(X=x_i)$$V(X) = E((X - E(X))²) = Σᵢ (xᵢ - E(X))² × P(X = xᵢ)

Écart-type

$$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$σ(X) = √(V(X))

Interprétation

L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Plus il est grand, plus les résultats sont étendus.

Exemple (dé)

$$E(X^2)=1\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+9\times \frac{1}{6}+16\times \frac{1}{6}+25\times \frac{1}{6}+36\times \frac{1}{6}=\frac{91}{6}\approx 15,17$$E(X²) = 1 × 1/6 + 4 × 1/6 + 9 × 1/6 + 16 × 1/6 + 25 × 1/6 + 36 × 1/6 = 91/6 ≈ 15,17

$$V(X)=15,17-3,5^2=15,17-12,25=2,92$$V(X) = 15,17 - 3,5² = 15,17 - 12,25 = 2,92

$$\sigma (X)\approx 1,71$$σ(X) ≈ 1,71

Propriétés (transformations linéaires)

Pour tout réel $a,b$a, b :

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$E(aX + b) = a E(X) + b

$$V(aX+b)=a^{2}V(X)$$V(aX + b) = a² V(X)

$$\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$$σ(aX + b) = |a| σ(X)

Exemple

Si $E(X)=5$E(X) = 5, $V(X)=4$V(X) = 4 et $Y=3X+2$Y = 3X + 2 :

$$E(Y)=17,V(Y)=36,\sigma (Y)=6$$E(Y) = 17, V(Y) = 36, σ(Y) = 6

Application : jeu équitable

Définition

Un jeu est équitable si l'espérance du gain vaut $0$0.

Exemple

Un jeu coûte $2$2 € et rapporte $10$10 € avec probabilité $0,1$0,1, $5$5 € avec probabilité $0,2$0,2, et rien avec probabilité $0,7$0,7.

Gain $X$X :

$$E(X)=-2\times 0,7+3\times 0,2+8\times 0,1=-1,4+0,6+0,8=0$$E(X) = -2 × 0,7 + 3 × 0,2 + 8 × 0,1 = -1,4 + 0,6 + 0,8 = 0

Le jeu est équitable.

Simulation et estimation

Quand la loi est compliquée, on peut simuler (Python, calculatrice) et estimer l'espérance par la moyenne des résultats observés.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de multiplier par les probabilités dans le calcul de l'espérance.
• Mauvaise formule de variance : c'est $E(X^2)-(E(X){)}^2$E(X²) - (E(X))², pas le contraire.
• Variance négative : impossible, vérifier le calcul.
• Mauvais coefficient dans $V(aX+b)=a^{2}V(X)$V(aX + b) = a² V(X) (et non $aV(X)$a V(X)).

FAQ — Variables aléatoires

Pourquoi calculer l'espérance ?

C'est la valeur moyenne : ce qu'on gagne en moyenne (ou ce qu'on obtient en moyenne) en répétant l'expérience.

Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance ?

L'écart-type a la même unité que les valeurs (euros, kg, …), contrairement à la variance.

Variance peut-elle être nulle ?

Oui : seulement si toutes les valeurs sont identiques (loi déterministe).

À quoi servent les variables aléatoires ?

À modéliser des grandeurs aléatoires : gains, durées de vie, mesures, temps d'attente, scores… Base de toute la statistique.