Notion

La probabilité conditionnelle

Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement $A$ A se réalise sachant qu'un autre événement $B$ B est déjà réalisé ; on la note $P_{B} (A)$ P_B(A) (ou $P (A ∣ B)$ P(A| B)). Elle se calcule par $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B), lorsque $P (B) \neq = 0$ P(B)≠0. Connaître une information ( $B$ B) modifie l'univers des possibles et donc la probabilité de $A$ A. Les probabilités conditionnelles se représentent avec un arbre pondéré, où l'on multiplie les probabilités le long des branches. Elles conduisent à la formule des probabilités totales et à la formule de Bayes, qui renverse le conditionnement. Cette notion est centrale pour les situations à étapes : tests médicaux, tirages successifs, contrôles de qualité.

Définitions

Probabilité conditionnelle: La probabilité de $B$ B sachant $A$ A, notée $P_{A} (B)$ P_A(B), est la probabilité que $B$ B se réalise en sachant que $A$ A est déjà réalisé. Elle n'a de sens que si $P (A) \neq = 0$ P(A) ≠ 0.
Événements indépendants: Deux événements $A$ A et $B$ B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B) = P(B), ce qui équivaut à $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A ∩ B) = P(A)× P(B).
Arbre pondéré: C'est un schéma où chaque branche porte une probabilité. Les premières branches donnent $P (A)$ P(A), les branches suivantes les probabilités conditionnelles $P_{A} (B)$ P_A(B). Le produit le long d'un chemin donne la probabilité de l'intersection.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule de la probabilité conditionnelle →

P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} (P (A) \neq = 0)

P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) (P(A) ≠ 0)P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0La probabilité de B sachant A, comme proportion de A.Probabilité d'une intersection →

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)On multiplie le long d'un chemin de l'arbre.Formule des probabilités totales →

P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)

P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B)P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)On additionne les chemins de l'arbre qui mènent à B.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une probabilité conditionnelle →

3 étapes · exemple corrigé

Utiliser un arbre pondéré →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Probabilité conditionnelle directe

Niveau 1 · Application directe

On sait que

P (A) = 0, 5

P(A) = 0,5 et

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2. Calculer

P_{A} (B)

P_A(B).

Voir la correction

1.
On applique la formule $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A).
→ Formule de la probabilité conditionnelle
2.
$P_{A} (B) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_A(B) = 0,2/0,5 = 0,4.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B) = 0,4.

Méthode utilisée : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A).

Probabilité d'une intersection

Niveau 1 · Application directe

On donne

P (A) = 0, 5

P(A) = 0,5 et

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B) = 0,4. Calculer

P (A \cap B)

P(A ∩ B).

Voir la correction

1.
On utilise $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
→ Probabilité d'une intersection
2.
$P (A \cap B) = 0, 5 \times 0, 4 = 0, 2$ P(A ∩ B) = 0,5 × 0,4 = 0,2.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2.

Faire les 10 exercices types sur probabilité conditionnelle8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une probabilité conditionnelle, simplement ?

C'est la probabilité d'un événement quand on a déjà une information. Exemple : la probabilité qu'il pleuve est faible en général, mais « sachant que le ciel est couvert », elle devient bien plus grande. L'information « sachant que… » met à jour les chances.

Que veut dire la notation P_A(B) ?

Elle se lit « probabilité de B sachant A » : la probabilité que B se produise en supposant que A est déjà arrivé. Attention, ce n'est pas la même chose que P_B(A) (A sachant B).

À quoi sert un arbre pondéré ?

À organiser les probabilités d'un problème en plusieurs étapes. On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir une intersection, et on additionne les chemins qui mènent au même résultat. C'est un outil très visuel pour ne rien oublier.

Que dit la formule des probabilités totales ?

Que pour calculer la probabilité d'un événement, on additionne toutes les façons d'y arriver. Exemple : une pièce défectueuse peut venir de la machine A ou de la machine B ; on additionne les deux possibilités pour obtenir la probabilité totale qu'elle soit défectueuse.

Deux événements indépendants, ça veut dire quoi ?

Que savoir que l'un s'est produit ne change rien aux chances de l'autre. Par exemple, deux lancers de dé : le résultat du premier n'influence pas le second. Mathématiquement, P_A(B) = P(B).

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur probabilités en première

Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spé Maths Première

Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Probabilités conditionnelles — Première spé maths →