Notion

Les probabilités totales

La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement $A$ A en le décomposant selon plusieurs cas incompatibles qui recouvrent toutes les possibilités. Si $B$ B et son contraire $\overline{B}$ B̅ forment une telle partition, alors $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B}) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$ P(A)=P(A∩ B)+P(AcapB̅)=P(B)P_B(A)+P(B̅)P_B̅(A). Sur un arbre pondéré, cela revient à additionner les probabilités de tous les chemins menant à $A$ A. Cette formule est indispensable quand un événement peut survenir par plusieurs voies : par exemple une pièce défectueuse provenant de deux machines. Elle est la première étape avant d'appliquer la formule de Bayes, et un grand classique des probabilités conditionnelles.

Définitions

Partition de l'univers: Des événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers entier. Le cas le plus courant est la partition ${A, \overline{A}}$ {A, A̅}.
Probabilités totales: Si ${A, \overline{A}}$ {A, A̅} partitionne l'univers, alors tout événement $B$ B se décompose en $B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ B = (A ∩ B) ∪ (A̅ ∩ B), deux événements incompatibles. La probabilité de $B$ B est donc la somme des probabilités de ces deux chemins.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule des probabilités totales (deux cas) →

P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)

P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B)P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)On additionne les deux chemins de l'arbre qui mènent à B.Formule des probabilités totales (cas général) →

P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

P(B) = Σ_i=1ⁿ P(Aᵢ) P_Aᵢ(B)P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_Aᵢ(B), pour une partition A₁, …, AₙGénéralisation à une partition en n cas.

Méthodes

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Calculer P(B) avec les probabilités totales →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Deux chemins simples

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 5

P(A)=0,5,

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B)=0,4,

P (\overline{A}) = 0, 5

P(A̅)=0,5,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 2

P_A̅(B)=0,2. Calculer

P (B)

P(B).

Voir la correction

1.
$P (B) = 0, 5 \times 0, 4 + 0, 5 \times 0, 2$ P(B) = 0,5× 0,4 + 0,5× 0,2.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 2 + 0, 1 = 0, 3$ = 0,2 + 0,1 = 0,3.

Réponse :

0, 3

0,3.

Pièces défectueuses

Niveau 2 · Méthode complète

Machine

A

A :

60%

60% de la production,

3%

3% de défauts. Machine

B

B :

40%

40%,

6%

6% de défauts. Probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?

Voir la correction

1.
$P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 06$ P(D) = 0,6× 0,03 + 0,4× 0,06.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 018 + 0, 024 = 0, 042$ = 0,018 + 0,024 = 0,042.

Réponse :

0, 042

0,042.

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Questions fréquentes

À quoi sert la formule des probabilités totales ?

À calculer la probabilité d'un événement B quand on ne la connaît que « selon les cas » (par exemple selon la machine, le fournisseur, la météo). On additionne tous les chemins menant à B.

Quel est le lien avec l'arbre pondéré ?

La formule des probabilités totales, c'est exactement additionner les probabilités de tous les chemins d'un arbre qui aboutissent à B.

Pourquoi pondérer par P(A) et P(Ā) ?

Parce qu'une probabilité conditionnelle comme P_A(B) ne vaut que dans le cas A. Pour obtenir P(B), il faut tenir compte de la fréquence de chaque cas, donc multiplier par P(A) puis P(Ā).

Quel est le lien avec la formule de Bayes ?

La formule des probabilités totales sert presque toujours à calculer le dénominateur P(B) avant d'appliquer Bayes pour « inverser » le conditionnement.

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Pour une partition {A, Ā} de l'univers : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B). Plus généralement, P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_Aᵢ(B) sur une partition A₁, …, Aₙ.

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