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Formule · Première spé maths

Formule de l'espérance

La moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités.

E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ

Ce que dit la formule

Pour calculer l'espérance, on multiplie chaque valeur xᵢ par sa probabilité pᵢ, puis on additionne tous ces produits.

C'est une moyenne « pondérée » : les valeurs les plus probables comptent davantage dans le résultat.

L'espérance est le centre de gravité de la loi : si l'on place les valeurs sur un axe avec des masses égales à leurs probabilités, E(X) est le point d'équilibre.

Elle sert à décider si un jeu est équitable : une espérance de gain nulle ne favorise ni le joueur ni l'organisateur, une espérance négative signale une perte moyenne.

Exemple

Pour la loi P(X=-1)=0,5, P(X=2)=0,3, P(X=5)=0,2 : E(X) = -1× 0,5 + 2× 0,3 + 5× 0,2 = -0,5 + 0,6 + 1 = 1,1.

Deuxième exemple

Un jeu coûte 2 € et rapporte 10 € avec une probabilité de 0,15, rien sinon. Le gain net vaut 8 avec probabilité 0,15 et -2 avec probabilité 0,85 : E(X) = 8 × 0,15 - 2 × 0,85 = -0,5 €.

Piège à éviter

Vérifier d'abord que la somme des probabilités vaut 1. Et bien multiplier chaque valeur par sa propre probabilité.

Les autres formules de l'espérance

Linéarité de l'espérance →E(aX + b) = a E(X) + b

Questions fréquentes

Que signifie une espérance négative ?
Que l'on perd en moyenne sur le long terme. Pour un jeu, cela signifie qu'il est défavorable au joueur.
Quand un jeu est-il équitable ?
Quand l'espérance du gain est nulle : ni l'organisateur ni le joueur n'est avantagé sur un grand nombre de parties.
Faut-il inclure la mise dans le calcul ?
Oui si l'on raisonne sur le gain net : on soustrait alors la mise à chaque issue, ce qui change complètement le résultat.

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