Linéarité de l'espérance : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si l'on multiplie $X$ X par $a$ a et qu'on ajoute $b$ b, l'espérance suit exactement la même transformation : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX + b) = a E(X) + b.

Plus généralement, $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ E(X + Y) = E(X) + E(Y) : l'espérance d'une somme est la somme des espérances, toujours vrai.

La linéarité fait toute la puissance de l'espérance : contrairement à la variance, elle traverse les sommes sans condition, même lorsque les variables ne sont pas indépendantes.

C'est cette propriété qui permet de démontrer $E (X) = n p$ E(X) = np pour la loi binomiale, en la voyant comme une somme de $n$ n variables de Bernoulli.

Exemple

E (X) = 1, 1

E(X) = 1,1 et

Y = 2 X + 3

Y = 2X + 3, alors

E (Y) = 2 \times 1, 1 + 3 = 5, 2

E(Y) = 2× 1,1 + 3 = 5,2.

Deuxième exemple

Un vendeur touche

500

500 € fixes plus

30

30 € par vente. Si le nombre de ventes

X

X a pour espérance

12

12, son salaire

S = 30 X + 500

S = 30X + 500 a pour espérance

E (S) = 30 \times 12 + 500 = 860

E(S) = 30 × 12 + 500 = 860 €.

Piège à éviter

Contrairement à la variance, ici

b

b n'est pas ignoré et

a

a ne passe pas au carré : l'espérance est linéaire.

Les autres formules de l'espérance

Formule de l'espérance →

E (X) = i \sum x_{i} p_{i}

E(X) = Σᵢ xᵢ pᵢ

Questions fréquentes

La linéarité vaut-elle sans condition ?

Pour une somme, oui :

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

E(X+Y) = E(X) + E(Y) est toujours vraie, même si

X

X et

Y

Y sont dépendantes. C'est ce qui la distingue de la variance.

Pourquoi la constante b n'est-elle pas ignorée ?

Parce qu'ajouter

b

b à toutes les valeurs décale la moyenne de

b

b. Pour la variance, en revanche, un décalage ne change pas la dispersion.

Que devient l'espérance d'un produit ?

E (X Y) = E (X) E (Y)

E(XY) = E(X)E(Y) uniquement si

X

X et

Y

Y sont indépendantes. Il n'existe pas de règle générale sinon.

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