Formule · Première spé maths

Formule : Les formules du produit scalaire

Les expressions à connaître du produit scalaire.

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ) u \cdot u = ∥ u ∥^{2}

vecteur u · vecteur v = x x' + y y' = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cos(θ) vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖²

Ce que dit la formule

Deux expressions équivalentes : avec les coordonnées, $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ vecteur u · vecteur v = x x' + y y' ; avec les normes et l'angle, $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ)$ vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cos(θ).

Cas particuliers utiles : $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖², et $u \cdot v = 0$ vecteur u · vecteur v = 0 équivaut à $u ⊥ v$ vecteur u ⊥ vecteur v.

Exemple

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3) et

v (4; 1)

vecteur v (4 ;1) :

u \cdot v = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 11

vecteur u · vecteur v = 2× 4 + 3× 1 = 11.

Piège à éviter

Choisir la bonne forme selon les données : coordonnées connues →

x x^{'} + y y^{'}

xx' + yy' ; normes et angle connus →

∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ

‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ.

Les autres formules de le produit scalaire

Produit scalaire avec les coordonnées →

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

vecteur u · vecteur v = x x' + y y'Produit scalaire avec norme et angle →

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)

vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖×‖ vecteur v ‖×cos(θ)Critère d'orthogonalité →

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

vecteur u · vecteur v = 0 ⇔ vecteur u ⊥ vecteur v

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