Deux personnes peuvent-elles fabriquer un secret commun en ne s'échangeant que des messages publics ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

L'idée qu'on puisse se mettre d'accord sur un secret en parlant devant tout le monde m'a semblé impossible. On m'a expliqué l'image des pots de peinture : chacun mélange sa couleur secrète à une couleur publique, et on ne sait pas « démélanger ». J'ai voulu comprendre le calcul réel derrière cette image, qui s'appuie sur les puissances et les restes.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la propriété (g^a)^b = (g^b)^a pour construire un protocole, et montrer qu'il repose sur un problème inverse difficile.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Pour chiffrer rapidement, deux interlocuteurs ont besoin d'une même clé secrète. Problématique : peuvent-ils la construire sur un canal écouté, sans jamais l'envoyer ?

2. 2. Mathématiques : le protocole

   4 min

   On publie un nombre premier $p=23$p=23 et un nombre $g=5$g=5. Alice choisit en secret $a=6$a=6, Bob $b=15$b=15. Tous les calculs se font « modulo 23 », c'est-à-dire qu'on garde le reste de la division par 23.

   Alice envoie $A$A = reste de $5^6=15625$5⁶=15 625 : $15625=23\times 679+8$15 625=23×679+8, donc $A=8$A=8. Bob envoie $B$B = reste de $5^{15}$5¹⁵ : $B=19$B=19.

   Alice calcule le reste de $B^a=19^6$B^(a)=19⁶, Bob celui de $A^b=8^{15}$A^(b)=8¹⁵. Tous deux obtiennent $2$2. Ce n'est pas un hasard : $(5^{15}{)}^6=5^{90}=(5^6{)}^{15}$(5¹⁵)⁶=5⁹⁰=(5⁶)¹⁵. Le secret commun est le reste de $g^{ab}$g^(ab), qui n'a jamais circulé.

   L'espion voit $p,g,A,B$p,g,A,B. Pour retrouver le secret, il lui faut $a$a ou $b$b : trouver l'exposant $x$x tel que $5^x$5^(x) laisse le reste 8. C'est un « logarithme discret ». Pour les réels, le logarithme se calcule facilement ; pour les restes, aucune méthode rapide n'est connue.

3. 3. NSI : taille des nombres et attaques

   3 min

   Avec $p=23$p=23, on teste les 22 exposants possibles en un clin d'œil. Avec un $p$p de 2 048 bits, il y a de l'ordre de $2^{2048}$2²⁰⁴⁸ exposants : la recherche exhaustive est impossible, et les meilleurs algorithmes restent hors de portée.

   Le protocole a une faiblesse : il ne vérifie pas l'identité. Un attaquant placé au milieu peut faire un échange avec Alice et un autre avec Bob. C'est pourquoi HTTPS combine l'échange de clés avec des certificats signés. Les versions modernes utilisent des courbes elliptiques, avec des clés plus courtes pour la même sécurité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   On peut fabriquer un secret commun en public grâce à la commutativité des puissances, $(g^a{)}^b=(g^b{)}^a$(g^(a))^(b)=(g^(b))^(a), et à la difficulté du logarithme discret. La sécurité ne vient pas du silence, mais d'un calcul inverse trop long. J'ouvre sur les signatures, qui garantissent l'identité de l'interlocuteur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Dire que le secret est transmis chiffré : il n'est jamais transmis.
• Oublier de réduire modulo p, ce qui donne des nombres énormes.
• Croire que le protocole authentifie les interlocuteurs.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

Autres questions : cryptographie et sécurité

• Comment peut-on chiffrer un message avec une clé que tout le monde connaît ?
• Pourquoi une clé de 128 bits est-elle considérée comme incassable par force brute ?
• Combien de fichiers faut-il pour que deux d'entre eux aient la même empreinte numérique ?
• Pourquoi un site ne doit-il jamais stocker nos mots de passe, et à quoi sert le « sel » ?

Toutes les questions maths-nsi →