Nombres et calculs en Seconde

Nombres et calculs en seconde : cours complet

En seconde, tu consolides ta maîtrise des ensembles de nombres ($\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ), des intervalles, et des valeurs absolues. Ces notions sont fondamentales pour aborder toute l'analyse au lycée.

Les ensembles de nombres

Hiérarchie

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

• $\mathbb{N}$ℕ : entiers naturels $\{0,1,2,3,\dots \}${0, 1, 2, 3, …}.
• $\mathbb{Z}$ℤ : entiers relatifs $\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}${…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
• $\mathbb{D}$𝔻 : nombres décimaux (peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule).
• $\mathbb{Q}$ℚ : nombres rationnels (peuvent s'écrire $\frac{a}{b}$a/b, $a\in \mathbb{Z}$a ∈ ℤ, $b\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$b ∈ ℤ^(*)).
• $\mathbb{R}$ℝ : nombres réels (tous les nombres « de la droite réelle »).

Exemples par ensemble

• $5\in \mathbb{N}$5 ∈ ℕ et donc dans tous les ensembles suivants.
• $-3\in \mathbb{Z}$-3 ∈ ℤ mais $\notin \mathbb{N}$∉ ℕ.
• $0,25=\frac{1}{4}\in \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}$0,25 = 1/4 ∈ 𝔻 ⊂ ℚ.
• $\frac{1}{3}$1/3 est rationnel mais non décimal.
• $\sqrt{2},\pi$√(2), π sont réels mais non rationnels (irrationnels).

Les intervalles

Notations

Représentation graphique

Sur une droite graduée :

• Crochet fermé $[$[ ou $]$] tourné vers l'intervalle : borne incluse.
• Crochet ouvert : borne exclue.
• L'infini $\infty$∞ est toujours exclu (crochet ouvert vers l'extérieur).

Réunion et intersection

• Réunion $A\cup B$A ∪ B : « dans $A$A ou dans $B$B ».
• Intersection $A\cap B$A ∩ B : « dans $A$A et dans $B$B ».

Exemple

$A=[2;5]$A = [2 ; 5], $B=[3;7]$B = [3 ; 7].

• $A\cup B=[2;7]$A ∪ B = [2 ; 7]
• $A\cap B=[3;5]$A ∩ B = [3 ; 5]

La valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un nombre $a$a est sa distance à zéro sur la droite réelle :

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a& \text{si }a\ge 0\\ -a& \text{si }a<0\end{array}$$|a| = a & si a ≥ 0 ; -a & si a < 0

Exemples

$$|5|=5;|-3|=3;|0|=0$$|5| = 5 ; |-3| = 3 ; |0| = 0

Propriétés

• $|a|\ge 0$|a| ≥ 0 pour tout $a$a.
• $|a|=0⟺a=0$|a| = 0 ⇔ a = 0.
• $|a\times b|=|a|\times |b|$|a × b| = |a| × |b|.
• $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$| a/b | = |a|/|b| (si $b\ne 0$b ≠ 0).
• $|a+b|\le |a|+|b|$|a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire).

Distance entre deux nombres

La distance entre deux réels $a$a et $b$b est :

$$d(a,b)=|b-a|=|a-b|$$d(a, b) = |b - a| = |a - b|

Encadrer et arrondir un nombre

Encadrement

Encadrer $x$x à $10^{-n}$10⁻ⁿ près, c'est trouver deux nombres décimaux $a$a et $b$b tels que $a\le x\le b$a ≤ x ≤ b avec $b-a=10^{-n}$b - a = 10⁻ⁿ.

Exemple

Pour $\pi \approx 3,141592\dots$π ≈ 3,141592… :

• À $10^{-2}$10⁻² près : $3,14\le \pi \le 3,15$3,14 ≤ π ≤ 3,15.
• À $10^{-3}$10⁻³ près : $3,141\le \pi \le 3,142$3,141 ≤ π ≤ 3,142.

Calcul fractionnaire et puissances

Rappels

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$$a/b × c/d = ac/bd a/b ÷ c/d = a/b × d/c

$$a^m\times a^n=a^{m+n}\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}(a^m{)}^n=a^{mn}$$a^(m) × aⁿ = a^(m+n) a^(m)/aⁿ = a^(m-n) (a^(m))ⁿ = a^(mn)

Écriture scientifique

$$a\times 10^n\text{avec }1\le |a|<10,n\in \mathbb{Z}$$a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10, n ∈ ℤ

Racines carrées

Définition

Pour $a\ge 0$a ≥ 0, la racine carrée $\sqrt{a}$√(a) est le nombre positif dont le carré vaut $a$a.

Propriétés

$$\sqrt{a^2}=|a|(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$$√(a²) = |a| (√(a))² = a (a ≥ 0) $$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$√(a × b) = √(a) × √(b) √(a/b) = √(a)/√(b)

Attention : en général $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$√(a + b) ≠ √(a) + √(b) !

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre crochet ouvert et fermé dans les intervalles.
• Croire que $\sqrt{a^2}=a$√(a²) = a : c'est $|a|$|a|, qui peut différer pour $a<0$a < 0.
• Mauvaise écriture scientifique : $a$a doit être entre $1$1 et $10$10 strictement.
• Mauvais ordre lors d'un encadrement.

FAQ — Nombres et calculs

Pourquoi tant d'ensembles de nombres ?

Chaque ensemble a un rôle : $\mathbb{N}$ℕ pour compter, $\mathbb{Z}$ℤ pour les variations, $\mathbb{Q}$ℚ pour les ratios, $\mathbb{R}$ℝ pour les longueurs continues.

Comment savoir si un nombre est rationnel ?

Si on peut l'écrire $\frac{p}{q}$p/q avec $p,q$p, q entiers et $q\ne 0$q ≠ 0. Tous les décimaux le sont, ainsi que beaucoup d'autres ($\frac{1}{3}$1/3, $\frac{22}{7}$22/7).

Pourquoi $\pi$π est-il irrationnel ?

Démontré par Lambert au 18ème siècle : il n'existe aucun rapport d'entiers égal à $\pi$π.

Quelle est la différence entre $|-3|$|-3| et $-3$-3 ?

$|-3|=3$|-3| = 3 (la distance à zéro, toujours positive). $-3$-3 est négatif.