Question transversaleMathsNSIArbres et structures de données

Pourquoi une file d'attente explose-t-elle quand un serveur approche les 100 % d'occupation ?

Q: Vérifiez que les probabilités (1 − ρ)ρ^(k) ont pour somme 1.

Série géométrique : $(1-ρ)×1/(1-ρ)=1$ pour $0≤ρ<1$.

Q: Calculez la dérivée de ρ/(1 − ρ).

$f'(ρ)=1/((1-ρ)²)>0$ : la fonction est croissante et sa pente explose près de 1.

Dans le modèle d'attente le plus simple, le nombre de clients présents suit une loi géométrique décalée, d'espérance ρ/(1 − ρ), où ρ est le taux d'occupation. À 50 %, 1 client en moyenne ; à 90 %, 9 ; à 99 %, 99. Passer de 90 à 95 % d'occupation double l'attente.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors des inscriptions en ligne pour un concert, le site a fonctionné normalement pendant des heures, puis tout s'est bloqué en quelques minutes alors que le nombre de visiteurs n'avait que légèrement augmenté. En NSI, nous avons étudié les files, et j'ai découvert un résultat mathématique qui explique pourquoi une file ne grossit pas de façon proportionnelle, mais explose.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'espérance d'une loi géométrique pour étudier une fonction ρ ↦ ρ/(1 − ρ) et sa limite quand ρ tend vers 1.

Mathématiques

Loi géométrique, espérance (terminale)
Limite d'une fonction en un point, asymptote verticale (terminale)
Fonction inverse et variations (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Structure de file (terminale)
Réseaux et serveurs, traitement des requêtes (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un serveur traite des requêtes qui arrivent au hasard et attendent dans une file. Le taux d'occupation $ρ$ ρ est la proportion du temps où le serveur travaille : rythme d'arrivée divisé par rythme de traitement. Problématique : comment la longueur moyenne de la file dépend-elle de $ρ$ ρ ?
2. Mathématiques : une loi géométrique
4 min
Dans le modèle classique d'arrivées et de traitements au hasard (admis), la probabilité qu'il y ait $k$ k requêtes présentes vaut $(1 - ρ) ρ^{k}$ (1-ρ)ρ^(k) pour $k = 0, 1, 2, \dots$ k=0,1,2,…. Autrement dit, $N + 1$ N+1 suit une loi géométrique de paramètre $1 - ρ$ 1-ρ : $P (N + 1 = j) = (1 - ρ) ρ^{j - 1}$ P(N+1=j)=(1-ρ)ρ^(j-1).
L'espérance d'une loi géométrique de paramètre $p$ p vaut $\frac{1}{p}$ 1/p. Donc $E (N + 1) = \frac{1}{1 - ρ}$ E(N+1)=1/(1-ρ) et $E (N) = \frac{1}{1 - ρ} - 1 = \frac{ρ}{1 - ρ}$ E(N)=1/(1-ρ)-1=fracρ1-ρ.
Valeurs : $ρ = 0, 5$ ρ=0,5 donne 1 ; $0, 8$ 0,8 donne 4 ; $0, 9$ 0,9 donne 9 ; $0, 95$ 0,95 donne 19 ; $0, 99$ 0,99 donne 99. La fonction $f (ρ) = \frac{ρ}{1 - ρ}$ f(ρ)=fracρ1-ρ est croissante et $ρ \to 1^{-} lim f (ρ) = + \infty$ lim_ρ→1⁻f(ρ)=+∞ : asymptote verticale en $ρ = 1$ ρ=1. Près de 1, gagner 5 points d'occupation double la file.
3. NSI : dimensionner un service
3 min
On peut simuler la file en Python : à chaque instant, une requête arrive avec une probabilité donnée et le serveur en traite une avec une autre probabilité. La longueur moyenne observée suit la courbe $\frac{ρ}{1 - ρ}$ fracρ1-ρ.
Conséquence pratique : on ne dimensionne pas un serveur pour qu'il soit occupé à 100 %, mais à 60 ou 70 % en temps normal, pour absorber les pics. Doubler le nombre de serveurs lors d'un pic fait chuter $ρ$ ρ et donc la file de façon spectaculaire. La même mathématique s'applique aux caisses de supermarché, aux urgences et aux péages.
4. Conclusion
1,5 min
La longueur moyenne d'une file vaut $\frac{ρ}{1 - ρ}$ fracρ1-ρ : elle reste modeste jusqu'à 80 % d'occupation, puis tend vers l'infini quand $ρ$ ρ approche 1. C'est pourquoi un site s'effondre soudainement lors d'une affluence. J'ouvre sur la loi de Little, qui relie la longueur de la file au temps d'attente.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P(N=k)=(1-ρ)ρ^(k) N+1~mathcal G(1-ρ)⇒ E(N)=1/(1-ρ)-1=fracρ1-ρρ: 0,5→1 0,8→4 0,9→9 0,95→19 0,99→99 lim_ρ→1⁻fracρ1-ρ=+∞

Conclusion : la réponse à la question

Une file d'attente ne grandit pas proportionnellement à la charge : sa longueur moyenne a une asymptote verticale à 100 % d'occupation. Une loi géométrique et une limite suffisent à expliquer les embouteillages numériques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que les probabilités (1 − ρ)ρ^k ont pour somme 1.

Série géométrique : $(1 - ρ) \times \frac{1}{1 - ρ} = 1$ (1-ρ)×1/(1-ρ)=1 pour $0 \leq ρ < 1$ 0≤ρ<1.

Que se passe-t-il si ρ > 1 ?

Il arrive plus de requêtes que le serveur n'en traite : la file grandit sans limite.

Calculez la dérivée de ρ/(1 − ρ).

$f^{'} (ρ) = \frac{1}{( 1 - ρ ) ^{2}} > 0$ f'(ρ)=1/((1-ρ)²)>0 : la fonction est croissante et sa pente explose près de 1.

Quelle est la probabilité que le serveur soit libre ?

$P (N = 0) = 1 - ρ$ P(N=0)=1-ρ.

Qu'est-ce que la loi de Little ?

Le nombre moyen de clients égale le débit d'arrivée multiplié par le temps moyen passé dans le système.

Les pièges qui coûtent des points

Penser que la file double quand la charge double.
Oublier que le modèle suppose des arrivées au hasard, sans rythme régulier.
Confondre le nombre de clients et le temps d'attente.

Revoir les notions

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