Variables aléatoires (lois) en Terminale spé maths

Variables aléatoires (lois) en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu approfondis les variables aléatoires : sommes de variables, espérance et variance pour des variables indépendantes, loi binomiale et applications.

Rappels

Loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$X

Tableau donnant $P(X=x_i)$P(X = xᵢ) pour chaque valeur $x_i$xᵢ.

Espérance, variance, écart-type

$$E(X)=\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)$$E(X) = Σᵢ xᵢ P(X = xᵢ)

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$V(X) = E(X²) - (E(X))²

$$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$σ(X) = √(V(X))

Linéarité de l'espérance

Pour deux variables $X,Y$X, Y et $a,b\in \mathbb{R}$a, b ∈ ℝ :

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$E(aX + b) = a E(X) + b

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)\text{(lineˊariteˊ — toujours valable)}$$E(X + Y) = E(X) + E(Y) (linéarité — toujours valable)

Variables aléatoires indépendantes

Définition

$X$X et $Y$Y sont indépendantes si pour tous $x,y$x, y :

$$P(X=x\text{ et }Y=y)=P(X=x)\times P(Y=y)$$P(X = x et Y = y) = P(X = x) × P(Y = y)

Variance d'une somme (si indépendantes)

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)\text{(uniquement si indeˊpendantes)}$$V(X + Y) = V(X) + V(Y) (uniquement si indépendantes)

Variables aléatoires usuelles

Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$B (p)

$X\in \{0,1\}$X ∈ {0, 1}, $P(X=1)=p$P(X = 1) = p, $P(X=0)=1-p$P(X = 0) = 1 - p.

$$E(X)=p;V(X)=p(1-p)$$E(X) = p ; V(X) = p(1 - p)

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$B (n, p)

$X$X = nombre de succès dans $n$n épreuves de Bernoulli indépendantes.

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k)

$$E(X)=np;V(X)=np(1-p)$$E(X) = np ; V(X) = np(1 - p)

Somme de variables binomiales

Si $X\sim \mathcal{B}(n,p)$X ~ B (n, p) et $Y\sim \mathcal{B}(m,p)$Y ~ B (m, p) indépendantes :

$$X+Y\sim \mathcal{B}(n+m,p)$$X + Y ~ B (n + m, p)

Inégalité de Markov

Pour $X\ge 0$X ≥ 0 et $a>0$a > 0 :

$$P(X\ge a)\le \frac{E(X)}{a}$$P(X ≥ a) ≤ E(X)/a

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable $X$X d'espérance $E(X)$E(X) et de variance $V(X)$V(X), et tout $\epsilon >0$ε > 0 :

$$P(|X-E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{V(X)}{{\epsilon }^2}$$P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ V(X)/ε²

Interprétation

La probabilité de s'écarter beaucoup de l'espérance est petite quand la variance est petite.

Exemple

Pour $X\sim \mathcal{B}(100;0,5)$X ~ B (100 ; 0,5) : $E(X)=50$E(X) = 50, $V(X)=25$V(X) = 25.

$$P(|X-50|\ge 20)\le \frac{25}{400}=0,0625$$P(|X - 50| ≥ 20) ≤ 25/400 = 0,0625

Espérance et variance de transformations

Pour $Y=aX+b$Y = aX + b :

$$E(Y)=aE(X)+b;V(Y)=a^{2}V(X);\sigma (Y)=|a|\sigma (X)$$E(Y) = a E(X) + b ; V(Y) = a² V(X) ; σ(Y) = |a| σ(X)

Espérance et variance d'une somme

Pour $n$n variables indépendantes $X_1,\dots ,X_n$X₁, …, Xₙ de même loi (i.i.d.) :

$$E(X_1+\cdots +X_n)=nE(X_1)$$E(X₁ + … + Xₙ) = n E(X₁)

$$V(X_1+\cdots +X_n)=nV(X_1)\text{(indeˊp.)}$$V(X₁ + … + Xₙ) = n V(X₁) (indép.)

Application

Si on lance un dé $n$n fois, $S_n$Sₙ = somme des résultats. Alors $E(S_n)=3,5n$E(Sₙ) = 3,5 n et $V(S_n)=\frac{35}{12}n$V(Sₙ) = 35/12 n.

Approximation normale (introduction)

Pour $n$n grand, $\mathcal{B}(n,p)$B (n, p) peut s'approximer par une loi normale $\mathcal{N}(np,np(1-p))$N (np, np(1-p)). (Étudié plus en détail en post-bac.)

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvais paramètres : $n$n = nombre d'épreuves, $p$p = probabilité de succès.
• Variance d'une somme : pas $V(X)+V(Y)$V(X) + V(Y) en général, uniquement si indépendantes.
• Confondre $\mathcal{B}(p)$B (p) Bernoulli et $\mathcal{B}(n,p)$B (n, p) binomiale.
• Oublier le facteur $a^2$a² dans $V(aX+b)$V(aX + b).

FAQ — Variables aléatoires (lois)

Quand utiliser la loi binomiale ?

Quand on compte des succès dans $n$n épreuves identiques et indépendantes, à probabilité $p$p constante.

Pourquoi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Pour majorer la probabilité d'un grand écart à la moyenne, sans connaître la loi exacte.

À quoi servent ces lois ?

À modéliser des comptages (clients, défauts, victoires), des votes, des erreurs, des succès dans des essais répétés.

Variance peut-elle être négative ?

Non, jamais : c'est une espérance d'un carré, donc positive.