Comment prouver mathématiquement qu'un message vient bien de moi ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand j'ai déclaré mes impôts avec mes parents ou signé un document en ligne, j'ai vu la mention « signature électronique ». Je me suis demandé ce qui empêchait quelqu'un de copier une signature numérique, puisqu'un fichier se copie à l'infini. La réponse est qu'une signature numérique dépend du document : c'est un calcul, pas un dessin.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les deux clés de RSA en sens inverse pour garantir l'origine et l'intégrité d'un message.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une signature manuscrite se copie et se scanne. Une signature numérique doit être impossible à reproduire et doit changer si le document change. Problématique : quel calcul donne ces deux garanties ?

2. 2. Mathématiques : RSA à l'envers

   4 min

   Reprenons les clés $n=55$n=55, $e=3$e=3 (publique) et $d=27$d=27 (privée). Pour chiffrer, on utilisait $e$e ; pour signer, on utilise $d$d.

   On calcule d'abord une empreinte du message, ici $h=4$h=4. La signature est le reste de $h^d=4^{27}$h^(d)=4²⁷ dans la division par 55 : $s=49$s=49. On envoie le message et $s$s.

   Vérification par n'importe qui avec la clé publique : reste de $49^3$49³. $49^2=2401=43\times 55+36$49²=2 401=43×55+36, puis $36\times 49=1764=32\times 55+4$36×49=1 764=32×55+4. On retrouve 4, qui est bien l'empreinte du message reçu : la signature est valide.

   Pourquoi c'est sûr : produire un $s$s tel que $s^3$s³ donne 4 revient à « inverser » la puissance 3, ce qui demande $d$d, donc la factorisation de $n$n. Et si le message est modifié, son empreinte change : l'ancienne signature ne correspond plus.

3. 3. NSI : certificats et chaîne de confiance

   3 min

   Encore faut-il être sûr que la clé publique appartient bien à la bonne personne. Un certificat est un document qui associe un nom de domaine à une clé publique, signé par une autorité de certification dont la clé publique est préinstallée dans le navigateur. Le cadenas de HTTPS résume cette vérification.

   On signe l'empreinte plutôt que le message entier car RSA est lent et ne traite que des nombres inférieurs à $n$n. Avec une empreinte de 256 bits, la probabilité qu'un faux document ait par hasard la même empreinte est de l'ordre de $2^{-256}$2⁻²⁵⁶.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une signature numérique est un calcul fait avec la clé privée sur l'empreinte du document : tout le monde peut la vérifier, personne d'autre ne peut la produire, et elle ne vaut que pour ce document. J'ouvre sur la valeur juridique de la signature électronique, reconnue en France depuis 2000.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Signer avec la clé publique : c'est la clé privée qui signe.
• Croire qu'une signature numérique est une image de signature.
• Oublier le rôle de l'empreinte dans l'intégrité.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Divisibilité et congruences (Terminale maths expertes) →

Autres questions : cryptographie et sécurité

• Comment peut-on chiffrer un message avec une clé que tout le monde connaît ?
• Deux personnes peuvent-elles fabriquer un secret commun en ne s'échangeant que des messages publics ?
• Pourquoi une clé de 128 bits est-elle considérée comme incassable par force brute ?
• Combien de fichiers faut-il pour que deux d'entre eux aient la même empreinte numérique ?

Toutes les questions maths-nsi →