Est-il vrai que tout le monde sur Terre est relié à n'importe qui par une chaîne de six connaissances ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai entendu dire que n'importe quelle personne sur Terre n'est qu'à six poignées de main de moi. Cela m'a paru impossible, vu le nombre d'habitants. En NSI, en étudiant les graphes et les réseaux sociaux, j'ai compris que la croissance exponentielle du nombre de connaissances rend l'affirmation plausible, et j'ai voulu le vérifier par le calcul.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une suite géométrique et le logarithme pour estimer le diamètre d'un réseau, puis discuter la validité du modèle.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   En 1967, le psychologue Stanley Milgram demande à des habitants du Nebraska de faire parvenir une lettre à un inconnu de Boston, de proche en proche. Les lettres arrivées ont fait en moyenne environ six intermédiaires. Problématique : le calcul confirme-t-il ces « six degrés » ?

2. 2. Mathématiques : une croissance géométrique

   4 min

   Supposons que chacun connaisse environ 150 personnes (ordre de grandeur souvent avancé). En 1 étape, j'atteins 150 personnes ; en 2, au plus $150^2=22500$150²=22 500 ; en 3, $3,4$3,4 millions ; en 4, $506$506 millions ; en 5, $7,6\times 10^{10}$7,6×10¹⁰, plus que la population mondiale.

   On cherche le plus petit $k$k tel que $150^k\ge 8,1\times 10^9$150^(k)≥8,1×10⁹. En passant au logarithme : $k\ge \frac{\ln (8,1\times 10^9)}{\ln 150}\approx 4,6$k≥ln(8,1×10⁹)/ln150≈4,6. Cinq étapes suffiraient en théorie.

   Mais le modèle surestime : mes amis ont beaucoup d'amis en commun, les cercles se recoupent et la croissance est bien plus lente que $150^k$150^(k). D'un autre côté, quelques personnes très connectées (« hubs ») créent des raccourcis entre groupes éloignés. Le nombre réel d'étapes reste petit, mais pas aussi petit que 4,6.

3. 3. NSI : mesurer sur des données réelles

   3 min

   Sur un graphe d'amitié, la distance entre deux personnes se calcule par un parcours en largeur : on visite les voisins, puis les voisins des voisins, couche par couche. Le nombre de couches donne la distance.

   En 2016, Facebook a calculé sur 1,6 milliard d'utilisateurs une distance moyenne d'environ 3,6 intermédiaires (4,6 liens). Ce calcul a demandé des algorithmes approchés, car un parcours en largeur depuis chaque utilisateur serait trop coûteux. Le phénomène porte un nom : les réseaux « petit monde », à la fois très regroupés localement et de faible diamètre.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Les six degrés de séparation sont plausibles parce que le nombre de connaissances croît géométriquement : $\frac{\ln N}{\ln 150}\approx 4,6$(ln N)/ln150≈4,6. Les recouvrements ralentissent cette croissance, les hubs la relancent. J'ouvre sur la propagation des rumeurs, qui profite de ces mêmes raccourcis.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Prendre le modèle géométrique pour la réalité.
• Confondre nombre d'intermédiaires et nombre de liens (il y a un lien de plus).
• Oublier de passer au logarithme pour résoudre l'inéquation.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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