Suites arithmétiques et géométriques en Première spé maths

Suites arithmétiques et géométriques en Première spé : cours complet

Les suites arithmétiques et géométriques modélisent les deux schémas d'évolution les plus simples : par addition constante (arithmétique) ou par multiplication constante (géométrique). Tu maîtrises maintenant leurs formules explicites et leurs sommes.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$(uₙ) est arithmétique de raison $r$r si :

$$u_{n+1}=u_n+r$$uₙ₊₁ = uₙ + r

Formule explicite

$$u_n=u_0+nr(\text{ou }{u}_n=u_p+(n-p)r)$$uₙ = u₀ + n r ( ou uₙ = uₚ + (n - p) r)

Somme de termes consécutifs

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$$Σ_k=0ⁿ uₖ = (n + 1) × (u₀ + uₙ)/2

Cas particulier : somme des $n$n premiers entiers

$$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$1 + 2 + 3 + … + n = (n(n+1))/2

Variations

• $r>0$r > 0 : suite croissante.
• $r<0$r < 0 : suite décroissante.
• $r=0$r = 0 : suite constante.

Représentation graphique

Les points $(n;u_n)$(n ; uₙ) sont alignés sur une droite de coefficient directeur $r$r.

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$(uₙ) est géométrique de raison $q$q si :

$$u_{n+1}=u_n\times q$$uₙ₊₁ = uₙ × q

Formule explicite

$$u_n=u_0\times q^n(\text{ou }{u}_n=u_p\times q^{n-p})$$uₙ = u₀ × qⁿ ( ou uₙ = uₚ × q^(n - p))

Somme de termes consécutifs (avec $q\ne 1$q ≠ 1)

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$Σ_k=0ⁿ uₖ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)

Cas particulier : somme des puissances de $q$q

$$1+q+q^2+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}(q\ne 1)$$1 + q + q² + … + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (q ≠ 1)

Variations (avec $u_0>0$u₀ > 0)

• $q>1$q > 1 : suite croissante.
• $0<q<1$0 < q < 1 : suite décroissante.
• $q=1$q = 1 : suite constante.
• $q<0$q < 0 : suite alternée (signes alternés).

Représentation graphique

Les points $(n;u_n)$(n ; uₙ) suivent une croissance exponentielle (ou décroissance, ou alternance selon $q$q).

Reconnaître la nature d'une suite

Méthode

• Arithmétique ? Calculer $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁ - uₙ. Si constant, oui (la valeur est $r$r).
• Géométrique ? Calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$uₙ₊₁/uₙ. Si constant, oui (la valeur est $q$q).

Exemple

$u_n=5-2n$uₙ = 5 - 2n : $u_{n+1}-u_n=-2$uₙ₊₁ - uₙ = -2 constant → arithmétique, $r=-2$r = -2, $u_0=5$u₀ = 5.

$u_n=3\times 5^n$uₙ = 3 × 5ⁿ : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=5$uₙ₊₁/uₙ = 5 constant → géométrique, $q=5$q = 5, $u_0=3$u₀ = 3.

Applications

Capital placé

Intérêts simples (le taux porte sur le capital initial) : suite arithmétique.

Intérêts composés (le taux porte sur le capital total) : suite géométrique.

Exemple — Intérêts composés

Capital $C=1000$C = 1000 €, taux $5\%$5% par an. Au bout de $n$n années :

$$C_n=1000\times 1,05^n$$Cₙ = 1000 × 1,05ⁿ

C'est une suite géométrique de raison $1,05$1,05.

Démographie

Population qui augmente de $3\%$3% par an : géométrique de raison $1,03$1,03.

Somme d'annuités

Si tu épargnes $1200$1200 € chaque année pendant $20$20 ans à $4\%$4% par an, le total accumulé est une somme géométrique.

Sens de variation et limite (introduction)

Suite arithmétique

• $r>0$r > 0 : $u_n\to +\infty$uₙ → +∞.
• $r<0$r < 0 : $u_n\to -\infty$uₙ → -∞.

Suite géométrique (avec $u_0>0$u₀ > 0)

• $q>1$q > 1 : $u_n\to +\infty$uₙ → +∞.
• $0<q<1$0 < q < 1 : $u_n\to 0$uₙ → 0.
• $q=1$q = 1 : $u_n=u_0$uₙ = u₀ constant.
• $q\le -1$q ≤ -1 : pas de limite.

(Concept de limite étudié plus en détail en Terminale.)

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre arithmétique et géométrique.
• Mauvais index : selon que la suite démarre à $u_0$u₀ ou $u_1$u₁, l'exposant change.
• Mauvaise formule de somme : pas la même pour arith. et géom.
• Oublier la condition $q\ne 1$q ≠ 1 dans la somme géométrique.

FAQ — Suites arithmétiques et géométriques

Comment savoir laquelle utiliser ?

• Addition d'une même quantité : arithmétique.
• Multiplication d'un même facteur (souvent $1+t\%$1 + t%) : géométrique.

Pourquoi la somme arithmétique vaut $(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$(n+1) × (u₀ + uₙ)/2 ?

On apparie le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant-dernier, etc. : chaque paire a la même somme $u_0+u_n$u₀ + uₙ, et il y a $\frac{n+1}{2}$(n+1)/2 paires en moyenne.

Une suite peut-elle être les deux à la fois ?

Seulement si elle est constante : raison arithmétique nulle et raison géométrique = $1$1.

À quoi servent les suites ?

À modéliser des évolutions par étapes : finance (épargne, prêts), démographie, économie, biologie, informatique.