Question transversaleMathsNSIRécursivité et récurrence

Comment une figure dessinée par un programme récursif peut-elle avoir une aire nulle et une infinité de triangles ?

Q: Pourquoi l'aire est-elle divisée par 4 quand le côté est divisé par 2 ?

Dans une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k² ; ici (1/2)² = 1/4.

Q: À partir de quelle étape l'aire passe-t-elle sous 1 % ?

$(3/4)ⁿ ln0,01/ln0,75≈16,0$, donc dès $n=17$.

Q: Que vaut la dimension d'un segment avec cette définition ?

Diviser l'échelle par 2 donne 2 copies : $2^(d)=2$, donc $d=1$.

Q: Que devient le périmètre total des triangles ?

Chaque étape multiplie le périmètre total par $3×1/2=3/2$ : il tend vers $+∞$.

À chaque étape, chaque triangle est remplacé par 3 triangles de côté moitié : 3ⁿ triangles, et une aire multipliée par (3/4)ⁿ, qui tend vers 0 (0,056 après 10 étapes). Sa dimension, log 3 / log 2 ≈ 1,585, est entre celle d'une ligne et celle d'une surface.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons dessiné avec le module turtle un triangle de Sierpiński grâce à une fonction récursive de quelques lignes. J'ai été fasciné par la richesse de la figure obtenue. En comptant les triangles et en calculant l'aire, je suis tombé sur un résultat paradoxal : de plus en plus de triangles, mais de moins en moins de surface.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier deux suites géométriques issues d'une construction récursive, l'une divergente, l'autre convergente vers 0, et introduire la dimension fractale par le logarithme.

Mathématiques

Suites géométriques, limites (première, terminale)
Aire d'un triangle équilatéral, réduction (seconde)
Logarithme (terminale)

Numérique et sciences informatiques

Récursivité, profondeur d'un appel (terminale)
Dessin récursif, module turtle (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
On part d'un triangle équilatéral plein. On le coupe en 4 triangles par les milieux des côtés et on retire celui du centre. On recommence sur chacun des 3 triangles restants, indéfiniment. Problématique : que deviennent le nombre de triangles et l'aire ?
2. Mathématiques : deux suites géométriques
4 min
Nombre de triangles : chaque triangle en donne 3. Après $n$ n étapes, $T_{n} = 3^{n}$ Tₙ=3ⁿ : 3, 9, 27, … , suite géométrique de raison $3 > 1$ 3>1, qui tend vers $+ \infty$ +∞.
Aire : un triangle de côté moitié a une aire quatre fois plus petite (réduction de rapport $\frac{1}{2}$ 1/2, aires multipliées par $\frac{1}{4}$ 1/4). On garde 3 quarts : l'aire est multipliée par $\frac{3}{4}$ 3/4 à chaque étape. $A_{n} = A_{0} (\frac{3}{4})^{n}$ Aₙ=A₀(3/4)ⁿ, qui tend vers 0 car $0 < \frac{3}{4} < 1$ 0<3/4<1. Après 10 étapes, il reste environ $5, 6$ 5,6 % de l'aire initiale.
Dimension : en divisant l'échelle par 2, on obtient 3 copies de la figure. Pour un segment, on obtiendrait $2 = 2^{1}$ 2=2¹ copies ; pour un carré, $4 = 2^{2}$ 4=2². On définit la dimension $d$ d par $2^{d} = 3$ 2^(d)=3, soit $d = \frac{l n 3}{l n 2} \approx 1, 585$ d=ln3/ln2≈1,585.
3. NSI : la fonction récursive
3 min
La fonction sierpinski(côté, profondeur) : si la profondeur vaut 0, on dessine un triangle ; sinon, on appelle trois fois sierpinski(côté/2, profondeur − 1), en se déplaçant entre les appels. Le nombre de triangles dessinés est $3^{n}$ 3ⁿ : la récurrence $T (n) = 3 T (n - 1)$ T(n)=3T(n-1), $T (0) = 1$ T(0)=1, donne la même suite géométrique.
Le temps de dessin croît donc comme $3^{n}$ 3ⁿ : la profondeur 10 demande 59 049 triangles, la profondeur 15 plus de 14 millions. En pratique, on s'arrête quand les triangles deviennent plus petits qu'un pixel.
4. Conclusion
1,5 min
Le triangle de Sierpiński contient une infinité de triangles mais une aire nulle : la première suite géométrique diverge, la seconde tend vers 0. Sa dimension non entière, environ 1,585, en fait une fractale. J'ouvre sur les fractales naturelles, comme les fougères ou les côtes rocheuses.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

T_{n} = 3^{n} \to + \infty A_{n} = A_{0} (\frac{3}{4})^{n} \to 0 (\frac{3}{4})^{10} \approx 0, 056 Tₙ=3ⁿ\to+\infty Aₙ=A₀(3/4)ⁿ\to0 (3/4)¹⁰\approx0,056 2^{d} = 3 ⟺ d = \frac{ln 3}{ln 2} \approx 1, 585 2^(d)=3\Leftrightarrow d=ln3/ln2\approx1,585

Conclusion : la réponse à la question

Une fonction récursive de quelques lignes produit une figure où le nombre de triangles tend vers l'infini et l'aire vers 0. Deux suites géométriques et un logarithme suffisent à la décrire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'aire est-elle divisée par 4 quand le côté est divisé par 2 ?

Dans une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k² ; ici (1/2)² = 1/4.

À partir de quelle étape l'aire passe-t-elle sous 1 % ?

$(\frac{3}{4})^{n} < 0, 01 ⟺ n > \frac{l n 0 , 01}{l n 0 , 75} \approx 16, 0$ (3/4)ⁿ<0,01⇔ n>ln0,01/ln0,75≈16,0, donc dès $n = 17$ n=17.

Que vaut la dimension d'un segment avec cette définition ?

Diviser l'échelle par 2 donne 2 copies : $2^{d} = 2$ 2^(d)=2, donc $d = 1$ d=1.

Que devient le périmètre total des triangles ?

Chaque étape multiplie le périmètre total par $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 3×1/2=3/2 : il tend vers $+ \infty$ +∞.

Quel est le cas de base de la fonction ?

La profondeur 0, où l'on dessine un simple triangle sans nouvel appel.

Les pièges qui coûtent des points

Multiplier l'aire par 1/2 au lieu de 1/4 quand le côté est divisé par 2.
Confondre nombre de triangles (3ⁿ) et nombre de triangles retirés.
Oublier le cas de base de la récursion.

Revoir les notions

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