Pourquoi confirme-t-on un test positif par un second test ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand un premier test de dépistage est positif, on fait presque toujours un second test avant de poser un diagnostic. Je me demandais combien ce second test apporte. En réécrivant la formule de Bayes avec des cotes, j'ai découvert une règle très simple : chaque résultat positif multiplie la cote par un même nombre, le rapport de vraisemblance.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la forme « cotes » de la formule de Bayes et l'indépendance pour combiner plusieurs résultats de tests.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une maladie touche 1 % de la population. Un test a une sensibilité et une spécificité de 95 %. Une personne est positive. Problématique : que change un second test indépendant, lui aussi positif ?

2. 2. Mathématiques : la formule de Bayes en cotes

   4 min

   On note la cote $O=\frac{P(M)}{P(\bar{M})}$O=P(M)/(P(bar M)). La formule de Bayes s'écrit : $O_{\text{apreˋs}}=O_{\text{avant}}\times \text{RV}$O_ après =O_ avant × RV, où le rapport de vraisemblance d'un test positif vaut $\text{RV}=\frac{P(+\mid M)}{P(+\mid \bar{M})}=\frac{\text{Se}}{1-\text{Sp}}=\frac{0,95}{0,05}=19$RV =(P(+| M))/(P(+|bar M))=Se/(1- Sp)=0,95/0,05=19.

   Au départ, $O=\frac{0,01}{0,99}\approx 0,0101$O=0,01/0,99≈0,0101. Après un test positif : $O\approx 0,192$O≈0,192, soit $P=\frac{O}{1+O}\approx 16$P=O/(1+O)≈16 %. Après un second test positif, si les tests sont indépendants sachant l'état du patient : $O\approx 0,192\times 19\approx 3,65$O≈0,192×19≈3,65, soit $P\approx 78$P≈78 %.

   Les cotes forment une suite géométrique de raison 19 au fil des tests positifs. Un troisième test positif porterait la probabilité à environ 99 %. À l'inverse, un test négatif multiplie la cote par $\frac{1-\text{Se}}{\text{Sp}}\approx 0,053$(1- Se)/Sp≈0,053.

3. 3. SVT : des tests vraiment indépendants ?

   3 min

   Le calcul suppose que les erreurs des deux tests sont indépendantes. Si le second test repose sur le même principe, il risque de se tromper sur les mêmes personnes (une substance qui perturbe la mesure, par exemple). On choisit donc pour la confirmation un test d'une autre nature, souvent plus spécifique et plus coûteux : test génétique, biopsie, imagerie.

   C'est la logique du dépistage en deux temps : un premier test sensible, peu cher, appliqué à tous, puis un test spécifique pour les positifs. Le dépistage néonatal de la mucoviscidose en France suit ce schéma.

4. 4. Conclusion

   2 min

   On confirme un test positif parce que chaque résultat positif indépendant multiplie la cote de la maladie par le rapport de vraisemblance : avec 1 % de prévalence, la probabilité passe de 16 % à 78 % avec un second test. Le second test doit être d'une autre nature pour que l'indépendance soit crédible. J'ouvre sur le dépistage néonatal en deux étapes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Multiplier des probabilités au lieu des cotes.
• Supposer l'indépendance de deux tests identiques.
• Oublier qu'un test négatif fait aussi évoluer la probabilité.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Probabilités conditionnelles et indépendance (Terminale spé maths) →

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