Probabilités conditionnelles et indépendance en Terminale spé maths

Probabilités conditionnelles et indépendance en Terminale spé : cours complet

Tu maîtrises maintenant les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales, l'indépendance d'événements, et le théorème de Bayes appliqué à des cas concrets.

Rappels

Probabilité conditionnelle

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}(P(B)>0)$$P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B) (P(B) > 0)

Probabilités composées

$$P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$$P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)

Arbre pondéré

Sur chaque branche, on indique la probabilité conditionnelle.

Règles

• Probabilité d'une feuille : produit le long du chemin.
• Somme des probabilités des branches issues d'un nœud = $1$1.
• Probabilité d'un événement : somme des probabilités des feuilles favorables.

Formule des probabilités totales

Si $B_1,B_2,\dots ,B_n$B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de $\Omega$Ω :

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)\times P_{B_i}(A)$$P(A) = Σ_i=1ⁿ P(Bᵢ) × P_Bᵢ(A)

Indépendance

Définition

$A$A et $B$B sont indépendants si :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Équivalent : $P_B(A)=P(A)$P_B(A) = P(A) (la connaissance de $B$B ne change pas $A$A).

Propriétés

• Si $A,B$A, B indépendants, alors $A,\bar{B}$A, barB, $\bar{A},B$barA, B, $\bar{A},\bar{B}$barA, barB aussi.
• Indépendance $\ne$≠ incompatibilité !

Théorème de Bayes

Énoncé

$$P_A(B)=\frac{P(B)\times P_B(A)}{P(A)}$$P_A(B) = (P(B) × P_B(A))/P(A)

Application : tests diagnostiques

Soit $M$M = « être malade », $T$T = « test positif ».

• Sensibilité : $P_M(T)$P_M(T) (probabilité que le test soit positif si malade).
• Spécificité : $P_{\bar{M}}(\bar{T})$P_barM(barT) (probabilité que le test soit négatif si non malade).
• Valeur prédictive positive : $P_T(M)$P_T(M) (probabilité d'être malade si test positif). C'est cela qu'on cherche par Bayes.

Exemple classique

Maladie touche $1\%$1% de la population. Sensibilité $99\%$99%, spécificité $95\%$95%.

$$P(T)=0,01\times 0,99+0,99\times 0,05=0,0099+0,0495=0,0594$$P(T) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

$$P_T(M)=\frac{0,01\times 0,99}{0,0594}\approx 16,7\%$$P_T(M) = (0,01 × 0,99)/0,0594 ≈ 16,7%

Résultat contre-intuitif : même avec un test « sûr à $99\%$99% », si la maladie est rare, un test positif a peu de chances d'être correct.

Indépendance de plusieurs événements

Indépendance mutuelle

$A_1,A_2,\dots ,A_n$A₁, A₂, …, Aₙ sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble $\{i_1,\dots ,i_k\}${i₁, …, iₖ} :

$$P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k})=\prod _{j}P(A_{i_j})$$P(A_i₁ ∩ … ∩ A_iₖ) = Πⱼ P(A_iⱼ)

Indépendance d'expériences

Lancers répétés d'une pièce, tirages avec remise : les résultats sont indépendants.

Probabilités sur un schéma à plusieurs étapes

Exemple : tirage avec et sans remise

Urne avec $5$5 rouges et $3$3 vertes. On tire $3$3 boules.

Avec remise : indépendants, $P(RRR)=(5/8{)}^3$P(RRR) = (5/8)³.

Sans remise : conditionnels, $P(RRR)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}\times \frac{3}{6}$P(RRR) = 5/8 × 4/7 × 3/6.

Applications avancées

Détection de spam

Filtre bayésien : probabilité qu'un message soit du spam, sachant les mots qu'il contient.

Médecine personnalisée

Recalcul des risques en fonction des résultats de tests successifs.

Justice et empreintes

Évaluer la probabilité de culpabilité à partir d'une preuve génétique (avec précaution !).

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre indépendance et incompatibilité.
• Confondre $P_A(B)$P_A(B) et $P_B(A)$P_B(A) : symétrie ne s'applique qu'au produit.
• Oublier la condition $P(B)>0$P(B) > 0 dans la formule conditionnelle.
• Mal poser le problème : bien identifier les événements et les probabilités connues.

FAQ — Probabilités conditionnelles et indépendance

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Vérifier $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Pourquoi le théorème de Bayes est-il important ?

Il permet d'inverser une conditionnelle : on sait $P_B(A)$P_B(A) et on veut $P_A(B)$P_A(B). Crucial en diagnostic médical, IA, justice.

Quelle différence entre tirage avec et sans remise ?

Avec remise : indépendance, probabilité constante.

Sans remise : probabilités changent à chaque tirage, événements conditionnels.

Comment ne pas se tromper avec Bayes ?

Toujours construire un arbre : visualisation claire et calcul direct.