Comment montrer qu'une famille est une base ? Méthode et exemples

Q: Comment rédiger la preuve de liberté ?

On commence par « Soient 1, , n des réels tels que 1 u1 + + n un = 0 », on résout le système obtenu, puis on conclut « donc 1 = = n = 0 : la famille est libre ».

Les étapes

1
Compter les vecteurs
Si $dim E = n$ dim E = n, la famille doit avoir exactement $n$ n vecteurs ; sinon ce n'est pas une base.
2
Écrire une combinaison linéaire nulle
On pose $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} = 0$ λ₁ u₁ + … + λₙ uₙ = 0 et on traduit cette égalité en système.
3
Résoudre le système
Si la seule solution est $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ λ₁ = … = λₙ = 0, la famille est libre.
4
Conclure avec la dimension
Libre et de $n = dim E$ n = dim E vecteurs : c'est une base.

Exemple corrigé

Montrer que $((1, 1), (1, - 1))$ ((1, 1), (1, -1)) est une base de $R^{2}$ ℝ².

1.Deux vecteurs dans $R^{2}$ ℝ², de dimension $2$ 2 : le compte est bon.
2. $a (1, 1) + b (1, - 1) = (0, 0)$ a (1, 1) + b (1, -1) = (0, 0) donne $a + b = 0$ a + b = 0 et $a - b = 0$ a - b = 0.
3.En additionnant : $2 a = 0$ 2a = 0, donc $a = 0$ a = 0, puis $b = 0$ b = 0. La famille est libre.

Résultat : C'est une base de

R^{2}

ℝ².

Deuxième exemple

La famille $((1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 3))$ ((1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 3)) est-elle une base de $R^{3}$ ℝ³ ?

1.On résout $a (1, 0, 2) + b (0, 1, 1) + c (1, 1, 3) = 0$ a (1, 0, 2) + b (0, 1, 1) + c (1, 1, 3) = 0 : $a + c = 0$ a + c = 0, $b + c = 0$ b + c = 0 et $2 a + b + 3 c = 0$ 2a + b + 3c = 0.
2.Avec $a = - c$ a = -c et $b = - c$ b = -c, la troisième équation devient $- 2 c - c + 3 c = 0$ -2c - c + 3c = 0 : elle est toujours vraie.
3.Pour $c = 1$ c = 1, on obtient la solution non nulle $(a, b, c) = (- 1, - 1, 1)$ (a, b, c) = (-1, -1, 1) : $(1, 1, 3) = (1, 0, 2) + (0, 1, 1)$ (1, 1, 3) = (1, 0, 2) + (0, 1, 1).

Résultat : La famille est liée : ce n'est pas une base de

R^{3}

ℝ³.

Piège à éviter

Trouver la solution nulle ne prouve rien : elle existe toujours. Il faut montrer qu'elle est la seule.

Questions fréquentes

Par quoi commencer : la liberté ou le caractère générateur ?

Si l'on connaît la dimension et que la famille a le bon nombre de vecteurs, par la liberté : c'est presque toujours le plus court, un système homogène à résoudre.

Peut-on utiliser un déterminant pour montrer qu'une famille est une base ?

Oui, pour

n

n vecteurs d'un espace de dimension

n

n : la famille est une base si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées est non nul. Pour deux vecteurs

(a, b)

(a, b) et

(c, d)

(c, d) de

R^{2}

ℝ², il faut

a d - b c \neq = 0

ad - bc ≠ 0.

Comment rédiger la preuve de liberté ?

On commence par « Soient

λ_{1}, \dots, λ_{n}

λ₁, …, λₙ des réels tels que

λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} = 0

λ₁ u₁ + … + λₙ uₙ = 0 », on résout le système obtenu, puis on conclut « donc

λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0

λ₁ = … = λₙ = 0 : la famille est libre ».

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