Notion

Le système de deux équations

Un système de deux équations à deux inconnues regroupe deux équations que doivent vérifier simultanément deux inconnues, généralement $x$ x et $y$ y. Le résoudre, c'est trouver tous les couples $(x; y)$ (x ;y) qui satisfont les deux équations en même temps. Deux méthodes classiques existent : la substitution (on isole une inconnue dans une équation et on la remplace dans l'autre) et la combinaison linéaire (on additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue). Graphiquement, chaque équation représente une droite, et la solution est leur point d'intersection. Les systèmes modélisent des problèmes à deux contraintes : mélanges, tarifs, quantités inconnues. On vérifie toujours le couple trouvé dans les deux équations.

Définitions

Système d'équations: C'est un ensemble de deux équations à deux inconnues $x$ x et $y$ y. Résoudre, c'est trouver le couple $(x; y)$ (x ;y) qui satisfait les deux.
Solution d'un système: C'est un couple $(x; y)$ (x ;y) qui vérifie les deux équations à la fois. Graphiquement, c'est le point d'intersection des deux droites.

Formules

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Forme d'un système →

{a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}

a x + b y = c ; a' x + b' y = c'Deux équations, deux inconnues, un couple solution.

Méthodes

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Résoudre un système de deux équations →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Par addition

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{x + y = 5 x - y = 1

x + y = 5 ; x - y = 1.

Voir la correction

1.
On additionne : $2 x = 6$ 2x = 6, donc $x = 3$ x = 3.
→ Forme d'un système
2.
$3 + y = 5$ 3 + y = 5, donc $y = 2$ y = 2.

Réponse :

(3; 2)

(3 ;2).

Méthode utilisée : On additionne les deux équations pour éliminer $y$ y.

Erreur fréquente : Oublier de calculer la seconde inconnue.

Par substitution

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{y = 2 x x + y = 6

y = 2x ; x + y = 6.

Voir la correction

1.
On remplace $y$ y par $2 x$ 2x : $x + 2 x = 6$ x + 2x = 6.
→ Forme d'un système
2.
$3 x = 6$ 3x = 6, donc $x = 2$ x = 2 et $y = 4$ y = 4.

Réponse :

(2; 4)

(2 ;4).

Méthode utilisée : On remplace $y$ y par $2 x$ 2x dans la seconde équation.

Erreur fréquente : Substituer dans la mauvaise équation.

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Questions fréquentes

C'est quoi un système de deux équations ?

C'est deux équations avec deux inconnues x et y, qu'on veut satisfaire en même temps. La solution est le couple (x ; y) qui marche pour les deux.

Quelles méthodes pour le résoudre ?

Deux principales : la substitution (on isole une inconnue et on la remplace) et la combinaison linéaire (on additionne les équations pour en éliminer une).

À quoi ça sert ?

À résoudre des problèmes avec deux quantités inconnues : trouver deux prix, deux nombres, deux mesures, à partir de deux informations.

Comment résoudre un système par substitution ?

On isole une inconnue dans une équation, on la remplace dans l'autre, on résout, puis on revient à la première inconnue.

Que signifie un système sans solution ?

Graphiquement, les deux droites sont strictement parallèles : elles ne se croisent jamais, donc aucun couple (x ; y) ne convient.

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