Comment trouver une base d'un sous-espace vectoriel ? Méthode et exemples

Q: Combien de vecteurs doit compter la base trouvée ?

Autant que d'inconnues libres. Dans Rn, un sous-espace défini par p équations indépendantes est de dimension n - p.

Les étapes

1
Résoudre les équations
On exprime certaines coordonnées en fonction des autres, qui restent libres.
2
Écrire le vecteur général
On remplace dans $(x, y, z)$ (x, y, z) et on factorise par chaque inconnue libre.
3
Lire une famille génératrice
Les vecteurs mis en facteur engendrent le sous-espace.
4
Vérifier la liberté
Si cette famille est libre, c'est une base, et son nombre de vecteurs est la dimension.

Exemple corrigé

Trouver une base de $F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x - 2 y + z = 0}$ F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x - 2y + z = 0}.

1. $x = 2 y - z$ x = 2y - z, avec $y$ y et $z$ z libres.
2. $(x, y, z) = (2 y - z, y, z) = y (2, 1, 0) + z (- 1, 0, 1)$ (x, y, z) = (2y - z, y, z) = y (2, 1, 0) + z (-1, 0, 1).
3.La famille $((2, 1, 0), (- 1, 0, 1))$ ((2, 1, 0), (-1, 0, 1)) engendre $F$ F, et elle est libre : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (regarder leurs deuxièmes et troisièmes coordonnées).

Résultat : Base

((2, 1, 0), (- 1, 0, 1))

((2, 1, 0), (-1, 0, 1)), et

dim F = 2

dim F = 2.

Deuxième exemple

Trouver une base de $G = {P \in R_{2} [X] ∣ P (1) = 0}$ G = {P ∈ ℝ₂[X] | P(1) = 0}.

1.On écrit $P = a + b X + c X^{2}$ P = a + bX + cX² ; la condition $P (1) = 0$ P(1) = 0 donne $a + b + c = 0$ a + b + c = 0, soit $a = - b - c$ a = -b - c.
2. $P = - b - c + b X + c X^{2} = b (X - 1) + c (X^{2} - 1)$ P = -b - c + bX + cX² = b (X - 1) + c (X² - 1).
3. $X - 1$ X - 1 et $X^{2} - 1$ X² - 1 sont de degrés différents : la famille est libre.

Résultat : Base

(X - 1, X^{2} - 1)

(X - 1, X² - 1), et

dim G = 2

dim G = 2.

Piège à éviter

Garder comme paramètre une coordonnée déjà exprimée en fonction des autres : on obtient trop de vecteurs, et la famille n'est plus libre.

Questions fréquentes

Comment passer des équations aux vecteurs d'une base ?

On exprime certaines coordonnées en fonction des autres (les inconnues libres), puis on écrit le vecteur général comme somme de termes, un par inconnue libre, que l'on factorise.

Combien de vecteurs doit compter la base trouvée ?

Autant que d'inconnues libres. Dans

R^{n}

ℝⁿ, un sous-espace défini par

p

p équations indépendantes est de dimension

n - p

n - p.

Faut-il vérifier que la famille obtenue est libre ?

Oui, mais c'est souvent immédiat : chaque vecteur a un

1

1 à la place de son inconnue libre, là où les autres vecteurs ont un

0

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