Exercices corrigés : Trigonométrie — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   La conversion repose sur la proportionnalité $180°\leftrightarrow \pi$180° leftrightarrow π rad : pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi }{180}$π/180.

2. 2

   $60°=60\times \frac{\pi }{180}=\frac{60\pi }{180}=\frac{\pi }{3}$60° = 60 × π/180 = 60π/180 = π/3 rad.

3. 3

   $150°=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$150° = 150π/180 = 5π/6 rad (en simplifiant par $30$30).

4. 4

   $225°=\frac{225\pi }{180}=\frac{5\pi }{4}$225° = 225π/180 = 5π/4 rad (en simplifiant par $45$45).

5. 5

   Dans l'autre sens, on multiplie par $\frac{180}{\pi }$180/π : $\frac{3\pi }{4}=\frac{3\times 180}{4}=135°$3π/4 = (3 × 180)/4 = 135°.

6. 6

   $\frac{7\pi }{6}=\frac{7\times 180}{6}=7\times 30=210°$7π/6 = (7 × 180)/6 = 7 × 30 = 210°.

7. 7

   Contrôle d'ordre de grandeur : $1$1 rad $\approx 57,3°$≈ 57,3°.

   Un angle de $\frac{7\pi }{6}\approx 3,67$7π/6 ≈ 3,67 rad doit donc valoir environ $210°$210° ✔.

Rappel de cours : $180°=\pi$180° = π rad. Degrés $\to$→ radians : $\times \frac{\pi }{180}$× π/180 · radians $\to$→ degrés : $\times \frac{180}{\pi }$× 180/π.

Erreur fréquente : Mélanger les deux facteurs. Contrôle immédiat : un résultat en radians doit être un « petit » nombre (moins de $6,3$6,3 pour un angle inférieur à un tour).

Correction détaillée

1. 1

   Ces valeurs se lisent sur le cercle trigonométrique : le cosinus est l'ABSCISSE du point, le sinus son ORDONNÉE.

2. 2

   $\cos 0=1$cos 0 = 1 et $\sin 0=0$sin 0 = 0 (le point est en $(1;0)$(1 ; 0)).

3. 3

   $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos π/6 = √(3)/2 et $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$sin π/6 = 1/2.

4. 4

   $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cos π/4 = sin π/4 = √(2)/2 (par symétrie : le point est sur la bissectrice).

5. 5

   $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$cos π/3 = 1/2 et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin π/3 = √(3)/2.

6. 6

   $\cos \frac{\pi }{2}=0$cos π/2 = 0 et $\sin \frac{\pi }{2}=1$sin π/2 = 1 (le point est en $(0;1)$(0 ; 1)).

7. 7

   Moyen mnémotechnique : de $0$0 à $\frac{\pi }{2}$π/2, le cosinus DÉCROÎT de $1$1 à $0$0 en passant par $\frac{\sqrt{3}}{2}$√(3)/2, $\frac{\sqrt{2}}{2}$√(2)/2, $\frac{1}{2}$1/2 ; le sinus fait l'inverse.

   Et $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$√(3)/2 ≈ 0,87, $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$√(2)/2 ≈ 0,71, ce qui permet de contrôler l'ordre.

Rappel de cours : Sur le cercle trigonométrique, $M$M associé à l'angle $x$x a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$(cos x ; sin x).

Erreur fréquente : Échanger $\cos \frac{\pi }{6}$cos π/6 et $\cos \frac{\pi }{3}$cos π/3. Repère utile : $\frac{\pi }{3}=60°$π/3 = 60° est « presque en haut », donc son cosinus est PETIT ($\frac{1}{2}$1/2).

Correction détaillée

1. 1

   Repères : le premier quadrant va de $0$0 à $\frac{\pi }{2}$π/2, le deuxième de $\frac{\pi }{2}$π/2 à $\pi$π, le troisième de $\pi$π à $\frac{3\pi }{2}$3π/2, le quatrième de $\frac{3\pi }{2}$3π/2 à $2\pi$2π.

2. 2

   $x_1=\frac{2\pi }{3}=120°$x₁ = 2π/3 = 120° : deuxième quadrant (en haut à gauche).

   Donc $\cos x_1<0$cos x₁ < 0 et $\sin x_1>0$sin x₁ > 0.

3. 3

   $x_2=\frac{5\pi }{4}=225°$x₂ = 5π/4 = 225° : troisième quadrant (en bas à gauche).

   Donc $\cos x_2<0$cos x₂ < 0 et $\sin x_2<0$sin x₂ < 0.

4. 4

   $x_3=-\frac{\pi }{3}=-60°$x₃ = -π/3 = -60° : on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, on arrive en bas à droite, dans le quatrième quadrant.

   Donc $\cos x_3>0$cos x₃ > 0 et $\sin x_3<0$sin x₃ < 0.

5. 5

   Vérification par les valeurs : $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$cos2π/3 = -1/2 et $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2π/3 = √(3)/2 ✔ ; $\cos (-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$cos(-π/3) = 1/2 et $\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(-π/3) = -√(3)/2 ✔.

6. 6

   Règle à retenir : le cosinus est positif à DROITE de l'axe vertical, le sinus est positif AU-DESSUS de l'axe horizontal.

Rappel de cours : Cosinus $=$= abscisse (positif à droite) · sinus $=$= ordonnée (positif en haut).

Erreur fréquente : Croire qu'un angle négatif a forcément un cosinus négatif : $\cos (-\frac{\pi }{3})=+\frac{1}{2}$cos(-π/3) = +1/2. Le signe de l'angle et celui du cosinus n'ont aucun rapport direct.

Correction détaillée

1. 1

   Le cosinus est une fonction PAIRE : $\cos (-x)=\cos x$cos(-x) = cos x.

   Donc $\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(-π/6) = √(3)/2.

2. 2

   Le sinus est une fonction IMPAIRE : $\sin (-x)=-\sin x$sin(-x) = -sin x.

   Donc $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$sin(-π/6) = -1/2.

3. 3

   Géométriquement : les angles $x$x et $-x$-x donnent deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses — même abscisse (même cosinus), ordonnées opposées (sinus opposés).

4. 4

   Le cosinus est PÉRIODIQUE de période $2\pi$2π : ajouter un tour complet ne change pas le point du cercle.

   Donc $\cos \left(\frac{\pi }{6}+2\pi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(π/6 + 2π) = √(3)/2.

5. 5

   Pour $\frac{13\pi }{6}$13π/6, on retire un tour : $\frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac{13\pi -12\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$13π/6 - 2π = (13π - 12π)/6 = π/6.

6. 6

   Donc $\cos \frac{13\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos13π/6 = cosπ/6 = √(3)/2.

Rappel de cours : $\cos (-x)=\cos x$cos(-x) = cos x (paire) · $\sin (-x)=-\sin x$sin(-x) = -sin x (impaire) · $\cos (x+2\pi )=\cos x$cos(x + 2π) = cos x et $\sin (x+2\pi )=\sin x$sin(x+2π) = sin x.

Erreur fréquente : Écrire $\sin (-x)=\sin x$sin(-x) = sin x : le sinus change de signe. C'est l'erreur qui inverse tous les déphasages d'un exercice de physique.

Correction détaillée

1. 1

   Pour un signal $u(t)=A\cos (\omega t+\phi )$u(t) = Acos(ω t + φ), l'amplitude est $|A|$|A|.

   Ici $A=12$A = 12 : l'amplitude vaut $12$12 V (la tension varie entre $-12$-12 V et $+12$+12 V).

2. 2

   La pulsation est le coefficient de $t$t : $\omega =100\pi$ω = 100π rad/s.

3. 3

   La période se calcule par $T=\frac{2\pi }{\omega }$T = 2π/ω : $T=\frac{2\pi }{100\pi }=\frac{2}{100}=0,02$T = 2π/100π = 2/100 = 0,02 s.

4. 4

   La fréquence est l'inverse de la période : $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,02}=50$f = 1/T = 1/0,02 = 50 Hz.

5. 5

   C'est exactement la fréquence du réseau électrique français ✔ — un contrôle de vraisemblance utile.

6. 6

   Lecture physique : le signal effectue $50$50 oscillations complètes par seconde, chacune durant $20$20 millisecondes.

Rappel de cours : $T=\frac{2\pi }{\omega }$T = 2π/ω et $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$f = 1/T = ω/2π.

Erreur fréquente : Prendre $\omega =100$ω = 100 en oubliant le $\pi$π : on trouverait $T\approx 0,063$T ≈ 0,063 s et $f\approx 16$f ≈ 16 Hz, valeurs sans rapport avec le réseau.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les points du cercle d'abscisse $\frac{1}{2}$1/2.

   Il y en a DEUX : un au-dessus de l'axe des abscisses, un en dessous, symétriques.

2. 2

   La solution de référence est $x=\frac{\pi }{3}$x = π/3 (car $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$cosπ/3 = 1/2).

3. 3

   La seconde est son opposée, ramenée dans $[0;2\pi ]$[0 ; 2π] : $x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$x = 2π - π/3 = 5π/3.

4. 4

   Donc $\cos x=\frac{1}{2}$cos x = 1/2 a pour solutions $\frac{\pi }{3}$π/3 et $\frac{5\pi }{3}$5π/3.

5. 5

   Pour $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$cos x = -√(2)/2 : la référence est $\frac{\pi }{4}$π/4 (dont le cosinus vaut $+\frac{\sqrt{2}}{2}$+√(2)/2), et le cosinus étant négatif, on se place à GAUCHE de l'axe vertical.

6. 6

   Les solutions sont $x=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$x = π - π/4 = 3π/4 et $x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$x = π + π/4 = 5π/4.

7. 7

   Contrôle : $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$cos3π/4 = -√(2)/2 ✔ et $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$cos5π/4 = -√(2)/2 ✔.

Rappel de cours : $\cos x=\cos \alpha ⟺x=\alpha +2k\pi$cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ou $x=-\alpha +2k\pi$x = -α + 2kπ. Sur un tour, il y a donc DEUX solutions (sauf si $\cos x=\pm 1$cos x = ± 1).

Erreur fréquente : N'en donner qu'une. Sur $[0;2\pi ]$[0 ; 2π], une équation en cosinus a presque toujours deux solutions, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les points du cercle d'ORDONNÉE $-\frac{1}{2}$-1/2 : ils sont en bas, symétriques par rapport à l'axe vertical.

2. 2

   La référence est $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$sinπ/6 = 1/2, donc $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$sin(-π/6) = -1/2 : une première solution est $x=-\frac{\pi }{6}$x = -π/6.

3. 3

   La seconde est symétrique par rapport à l'axe vertical : $x=-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$x = -π + π/6 = -5π/6.

4. 4

   Contrôle : $-\frac{5\pi }{6}=-150°$-5π/6 = -150°, dont le sinus vaut bien $-\frac{1}{2}$-1/2 ✔.

   Les deux solutions appartiennent à $]-\pi ;\pi ]$]-π ; π] ✔.

5. 5

   Pour $\sin x=1$sin x = 1 : le point d'ordonnée $1$1 est UNIQUE sur le cercle, c'est le sommet.

6. 6

   Donc la seule solution est $x=\frac{\pi }{2}$x = π/2.

7. 7

   À retenir : les valeurs extrêmes $\pm 1$± 1 ne donnent qu'une solution par tour, alors qu'une valeur strictement comprise entre $-1$-1 et $1$1 en donne deux.

Rappel de cours : $\sin x=\sin \alpha ⟺x=\alpha +2k\pi$sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou $x=\pi -\alpha +2k\pi$x = π - α + 2kπ : symétrie par rapport à l'axe des ORDONNÉES.

Erreur fréquente : Utiliser la symétrie du cosinus (par rapport à l'axe des abscisses) pour une équation en sinus : les solutions seraient fausses.

Correction détaillée

1. 1

   La relation fondamentale est ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos² x + sin² x = 1, valable pour tout angle.

2. 2

   ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-0,8^2=1-0,64=0,36$sin² x = 1 - cos² x = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36.

3. 3

   Donc $\sin x=0,6$sin x = 0,6 ou $\sin x=-0,6$sin x = -0,6 : le carré ne donne pas le signe.

4. 4

   C'est l'information sur le quadrant qui tranche.

   Dans le quatrième quadrant, le sinus est NÉGATIF, donc $\sin x=-0,6$sin x = -0,6.

5. 5

   Sans cette précision, les deux valeurs $\pm 0,6$± 0,6 sont possibles : $\cos x=0,8$cos x = 0,8 correspond à deux angles, l'un dans le premier quadrant ($\sin x=0,6$sin x = 0,6), l'autre dans le quatrième ($\sin x=-0,6$sin x = -0,6).

6. 6

   Contrôle : $0,8^2+(-0,6{)}^2=0,64+0,36=1$0,8² + (-0,6)² = 0,64 + 0,36 = 1 ✔ (on reconnaît le triangle $3$3-$4$4-$5$5, à l'échelle $\frac{1}{5}$1/5).

Rappel de cours : ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos²x + sin²x = 1 donne la VALEUR ABSOLUE ; le quadrant donne le SIGNE.

Erreur fréquente : Écrire $\sin x=1-\cos x=0,2$sin x = 1 - cos x = 0,2 : la relation porte sur les CARRÉS, pas sur les valeurs.

Correction détaillée

1. 1

   Formules des angles associés : $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π - x) = -cos x et $\sin (\pi -x)=\sin x$sin(π - x) = sin x (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).

2. 2

   $\cos \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=-0,809$cos(π - π/5) = -0,809 et $\sin \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=0,588$sin(π - π/5) = 0,588.

3. 3

   Pour l'angle complémentaire : $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$cos(π/2 - x) = sin x.

4. 4

   Donc $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\right)=\sin \frac{\pi }{5}\approx 0,588$cos(π/2 - π/5) = sin π/5 ≈ 0,588.

5. 5

   Pour l'angle opposé par le sommet : $\cos (\pi +x)=-\cos x$cos(π + x) = -cos x, donc $\cos \left(\pi +\frac{\pi }{5}\right)\approx -0,809$cos(π + π/5) ≈ -0,809.

6. 6

   Contrôle : $\pi -\frac{\pi }{5}=\frac{4\pi }{5}=144°$π - π/5 = 4π/5 = 144° est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif et le sinus positif ✔.

   Et $\pi +\frac{\pi }{5}=216°$π + π/5 = 216° est dans le troisième, cosinus négatif ✔.

7. 7

   Méthode générale : plutôt que d'apprendre huit formules, on place l'angle sur le cercle et on lit les signes.

   Les valeurs sont toujours les mêmes à un signe près.

Rappel de cours : $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π - x) = -cos x · $\sin (\pi -x)=\sin x$sin(π - x) = sin x · $\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$cos(π/2 - x) = sin x · $\cos (\pi +x)=-\cos x$cos(π + x) = -cos x.

Erreur fréquente : Confondre $\pi -x$π - x (symétrie verticale) et $\pi +x$π + x (symétrie centrale) : le sinus change de signe dans le second cas, pas dans le premier.

Correction détaillée

1. 1

   Deux mesures d'un même angle diffèrent d'un multiple de $2\pi$2π : on ajoute ou retire des tours jusqu'à tomber dans $]-\pi ;\pi ]$]-π ; π].

2. 2

   $\frac{17\pi }{4}$17π/4 : on retire $2\pi =\frac{8\pi }{4}$2π = 8π/4, ce qui donne $\frac{9\pi }{4}$9π/4 ; encore $2\pi$2π, et l'on obtient $\frac{\pi }{4}$π/4.

3. 3

   $\frac{\pi }{4}\in ]-\pi ;\pi ]$π/4 ∈ ]-π ; π] : c'est la mesure principale.

4. 4

   $-\frac{25\pi }{6}$-25π/6 : on ajoute $2\pi =\frac{12\pi }{6}$2π = 12π/6 $\to -\frac{13\pi }{6}$→ -13π/6 ; on ajoute encore $\frac{12\pi }{6}$12π/6 $\to -\frac{\pi }{6}$→ -π/6.

5. 5

   $-\frac{\pi }{6}$-π/6 est bien dans $]-\pi ;\pi ]$]-π ; π] : c'est la mesure principale.

6. 6

   $\frac{9\pi }{2}$9π/2 : on retire $2\pi =\frac{4\pi }{2}$2π = 4π/2 $\to \frac{5\pi }{2}$→ 5π/2 ; puis encore $\to \frac{\pi }{2}$→ π/2.

   Mesure principale : $\frac{\pi }{2}$π/2.

7. 7

   Contrôle rapide : $\frac{17\pi }{4}=765°$17π/4 = 765°, et $765-2\times 360=45°$765 - 2× 360 = 45° ✔ ; $-\frac{25\pi }{6}=-750°$-25π/6 = -750°, et $-750+2\times 360=-30°$-750 + 2 × 360 = -30° ✔.

Rappel de cours : Mesure principale : l'unique mesure dans $]-\pi ;\pi ]$]-π ; π]. On ajoute ou retire $2\pi$2π autant de fois qu'il faut.

Erreur fréquente : S'arrêter à $\frac{9\pi }{4}$9π/4 : cette valeur ($405°$405°) est supérieure à $\pi$π, il reste un tour à retirer.

Correction détaillée

1. 1

   Identification par rapport à $A\cos (\omega t+\phi )$Acos(ω t + φ) : $A=4$A = 4, $\omega =200\pi$ω = 200π, $\phi =\frac{\pi }{3}$φ = π/3.

2. 2

   Amplitude : $4$4 A (le courant oscille entre $-4$-4 A et $4$4 A).

3. 3

   Période : $T=\frac{2\pi }{200\pi }=\frac{1}{100}=0,01$T = 2π/200π = 1/100 = 0,01 s, soit $10$10 ms.

4. 4

   Fréquence : $f=\frac{1}{T}=100$f = 1/T = 100 Hz.

5. 5

   Phase à l'origine : $\phi =\frac{\pi }{3}$φ = π/3 rad, soit $60°$60°.

6. 6

   $i(0)=4\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=4\times \frac{1}{2}=2$i(0) = 4cos(π/3) = 4 × 1/2 = 2 A.

7. 7

   Pour $t=2,5\times 10^{-3}$t = 2,5 × 10⁻³ s : l'argument vaut $200\pi \times 2,5\times 10^{-3}+\frac{\pi }{3}=0,5\pi +\frac{\pi }{3}$200π × 2,5× 10⁻³ + π/3 = 0,5π + π/3.

8. 8

   $0,5\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$0,5π + π/3 = 3π/6 + 2π/6 = 5π/6.

9. 9

   $i=4\cos \frac{5\pi }{6}=4\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2\sqrt{3}\approx -3,46$i = 4cos5π/6 = 4 × (-√(3)/2) = -2√(3) ≈ -3,46 A.

10. 10

    Cohérence : $t=2,5$t = 2,5 ms représente un quart de période ($10$10 ms), l'argument a donc avancé de $\frac{\pi }{2}$π/2 — ce qu'on retrouve bien : $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$5π/6 - π/3 = π/2 ✔.

Rappel de cours : $i(0)=A\cos \phi$i(0) = Acosφ : la phase à l'origine détermine la valeur de départ du signal.

Erreur fréquente : Oublier la phase dans le calcul de $i(0)$i(0) : on annoncerait $4$4 A, alors que le signal ne démarre pas à son maximum.

Correction détaillée

1. 1

   $\omega =2\pi f=2\pi \times 50=100\pi$ω = 2π f = 2π × 50 = 100π rad/s (soit environ $314$314 rad/s).

2. 2

   Le signal est maximal en $t=0$t = 0, donc $u(0)=A$u(0) = A, ce qui impose $\cos \phi =1$cosφ = 1, donc $\phi =0$φ = 0.

3. 3

   Expression : $u(t)=325\cos (100\pi t)$u(t) = 325cos(100π t).

4. 4

   Tension nulle : $\cos (100\pi t)=0$cos(100π t) = 0, donc $100\pi t=\frac{\pi }{2}+k\pi$100π t = π/2 + kπ.

5. 5

   En divisant par $100\pi$100π : $t=\frac{1}{200}+\frac{k}{100}$t = 1/200 + k/100.

6. 6

   La période vaut $T=0,02$T = 0,02 s.

   Dans $[0;0,02[$[0 ; 0,02[, les valeurs sont $t=\frac{1}{200}=0,005$t = 1/200 = 0,005 s ($k=0$k = 0) et $t=0,005+0,01=0,015$t = 0,005 + 0,01 = 0,015 s ($k=1$k = 1).

7. 7

   La tension s'annule donc à $5$5 ms et à $15$15 ms, soit deux fois par période — ce qui est logique : une sinusoïde traverse zéro deux fois par cycle.

8. 8

   Contrôle : $u(0,005)=325\cos \left(100\pi \times 0,005\right)=325\cos \frac{\pi }{2}=0$u(0,005) = 325cos(100π × 0,005) = 325cosπ/2 = 0 ✔.

Rappel de cours : Maximum en $t=0$t = 0 $\Rightarrow \phi =0$⇒ φ = 0 · $\cos X=0⟺X=\frac{\pi }{2}+k\pi$cos X = 0 ⇔ X = π/2 + kπ.

Erreur fréquente : Écrire $\cos X=0⟺X=\frac{\pi }{2}+2k\pi$cos X = 0 ⇔ X = π/2 + 2kπ : le cosinus s'annule DEUX fois par tour, donc le pas est $\pi$π, pas $2\pi$2π.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux signaux ont la même pulsation $\omega =100\pi$ω = 100π rad/s, donc la même période $T=0,02$T = 0,02 s et la même fréquence $50$50 Hz ✔.

2. 2

   Le déphasage est la différence des phases : ${\phi }_i-{\phi }_u=-\frac{\pi }{4}-0=-\frac{\pi }{4}$φᵢ - φ_u = -π/4 - 0 = -π/4 rad.

3. 3

   En degrés : $-\frac{\pi }{4}=-45°$-π/4 = -45°.

4. 4

   Le signe négatif signifie que le courant est EN RETARD sur la tension (son maximum arrive plus tard).

5. 5

   Retard temporel : un déphasage de $2\pi$2π correspond à une période entière $T$T.

   Donc un déphasage de $\frac{\pi }{4}$π/4 correspond à $\frac{\pi /4}{2\pi }\times T=\frac{T}{8}$(π/4)/2π × T = T/8.

6. 6

   $\frac{T}{8}=\frac{0,02}{8}=0,0025$T/8 = 0,02/8 = 0,0025 s, soit $2,5$2,5 ms.

7. 7

   Contrôle : le maximum de $u$u est en $t=0$t = 0.

   Celui de $i$i vérifie $100\pi t-\frac{\pi }{4}=0$100π t - π/4 = 0, donc $t=\frac{1}{400}=0,0025$t = 1/400 = 0,0025 s ✔ Le courant atteint bien son maximum $2,5$2,5 ms après la tension.

8. 8

   Interprétation physique : ce retard est la signature d'un circuit inductif (bobine, moteur).

   C'est lui qu'on corrige en « relevant le facteur de puissance ».

Rappel de cours : Déphasage $\Delta \phi$Δφ et retard $\Delta t$Δ t sont liés par $\frac{\Delta \phi }{2\pi }=\frac{\Delta t}{T}$Δφ/2π = (Δ t)/T.

Erreur fréquente : Comparer deux signaux de fréquences différentes : la notion de déphasage constant n'a alors plus de sens. On vérifie TOUJOURS l'égalité des pulsations d'abord.

Correction détaillée

1. 1

   $T=\frac{2\pi }{20\pi }=\frac{1}{10}=0,1$T = 2π/20π = 1/10 = 0,1 s.

2. 2

   On résout $100\cos (20\pi t)=50$100cos(20π t) = 50, soit $\cos (20\pi t)=0,5$cos(20π t) = 0,5.

3. 3

   Les solutions de $\cos X=0,5$cos X = 0,5 sont $X=\frac{\pi }{3}+2k\pi$X = π/3 + 2kπ et $X=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$X = -π/3 + 2kπ.

4. 4

   Premier cas : $20\pi t=\frac{\pi }{3}$20π t = π/3 donne $t=\frac{1}{60}\approx 0,0167$t = 1/60 ≈ 0,0167 s.

5. 5

   Second cas : $20\pi t=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$20π t = -π/3 + 2π = 5π/3 donne $t=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\approx 0,0833$t = 5/60 = 1/12 ≈ 0,0833 s.

6. 6

   Les deux instants appartiennent à $[0;0,1]$[0 ; 0,1] ✔.

   La tension atteint $50$50 V deux fois par période : une fois en descendant, une fois en remontant.

7. 7

   Contrôle de symétrie : $0,0167$0,0167 et $0,0833$0,0833 sont symétriques par rapport à $\frac{T}{2}=0,05$T/2 = 0,05 s ($0,05-0,0167=0,0333$0,05 - 0,0167 = 0,0333 et $0,0833-0,05=0,0333$0,0833 - 0,05 = 0,0333) ✔, ce qui traduit la symétrie du cosinus.

Rappel de cours : On isole le cosinus, on résout sur l'argument, PUIS on revient au temps en divisant par $\omega$ω.

Erreur fréquente : Diviser directement l'équation par $\cos$cos ou « passer $\cos$cos de l'autre côté ». L'inconnue est dans l'argument : il faut d'abord résoudre en $X=\omega t$X = ω t.

Correction détaillée

1. 1

   $\omega =2\pi f=2\pi \times 50=100\pi$ω = 2π f = 2π × 50 = 100π rad/s.

2. 2

   On cherche $u(t)=12\cos (100\pi t+\phi )$u(t) = 12cos(100π t + φ) avec $u(0)=6$u(0) = 6.

3. 3

   $u(0)=12\cos \phi =6$u(0) = 12cosφ = 6, donc $\cos \phi =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$cosφ = 6/12 = 1/2.

4. 4

   Les deux solutions dans $]-\pi ;\pi ]$]-π ; π] sont $\phi =\frac{\pi }{3}$φ = π/3 et $\phi =-\frac{\pi }{3}$φ = -π/3.

5. 5

   Pour trancher, on regarde le sens de variation en $t=0$t = 0, c'est-à-dire le signe de $u^{\prime }(0)$u'(0).

6. 6

   $u^{\prime }(t)=-12\times 100\pi \sin (100\pi t+\phi )$u'(t) = -12 × 100π sin(100π t + φ), donc $u^{\prime }(0)=-1200\pi \sin \phi$u'(0) = -1 200πsinφ.

7. 7

   Avec $\phi =\frac{\pi }{3}$φ = π/3 : $\sin \phi >0$sinφ > 0, donc $u^{\prime }(0)<0$u'(0) < 0 — la tension DÉCROÎT ✔ C'est le cas décrit par l'énoncé.

8. 8

   Avec $\phi =-\frac{\pi }{3}$φ = -π/3 : $\sin \phi <0$sinφ < 0, donc $u^{\prime }(0)>0$u'(0) > 0, la tension croîtrait ✘

9. 9

   Conclusion : $\phi =\frac{\pi }{3}$φ = π/3 et $u(t)=12\cos \left(100\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$u(t) = 12cos(100π t + π/3).

10. 10

    Contrôle : $u(0)=12\cos \frac{\pi }{3}=6$u(0) = 12cosπ/3 = 6 V ✔, et le maximum a été atteint AVANT $t=0$t = 0 (à $t=-\frac{1}{300}$t = -1/300 s), ce qui est cohérent avec une tension déjà en train de redescendre.

Rappel de cours : La valeur initiale donne $\cos \phi$cosφ (deux possibilités), le SENS DE VARIATION initial (signe de $-\sin \phi$-sinφ) lève l'ambiguïté.

Erreur fréquente : Choisir $\phi$φ au hasard entre les deux valeurs : le signal obtenu serait en avance au lieu d'être en retard, et tous les calculs d'instants seraient décalés.

Correction détaillée

1. 1

   $A=230\sqrt{2}\approx 325,27$A = 230√(2) ≈ 325,27, soit $A\approx 325$A ≈ 325 V.

2. 2

   $\omega =2\pi f=100\pi$ω = 2π f = 100π rad/s.

3. 3

   La tension est nulle et croissante en $t=0$t = 0.

   Avec un cosinus, $u(0)=A\cos \phi =0$u(0) = Acosφ = 0 impose $\phi =\pm \frac{\pi }{2}$φ = ±π/2.

4. 4

   Pour savoir lequel, on regarde la croissance : avec $\phi =-\frac{\pi }{2}$φ = -π/2, on a $u(t)=A\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)=A\sin (\omega t)$u(t) = Acos(ω t - π/2) = Asin(ω t), qui est bien croissante en $0$0 ✔.

   Avec $+\frac{\pi }{2}$+π/2, on obtiendrait $-A\sin (\omega t)$-Asin(ω t), décroissante.

5. 5

   Donc $u(t)=325\cos \left(100\pi t-\frac{\pi }{2}\right)$u(t) = 325cos(100π t - π/2), ce qui s'écrit aussi $u(t)=325\sin (100\pi t)$u(t) = 325sin(100π t).

6. 6

   $u(4\text{ ms})$u(4 ms ) : l'argument vaut $100\pi \times 0,004=0,4\pi$100π × 0,004 = 0,4π rad.

7. 7

   $u=325\sin (0,4\pi )=325\sin (72°)\approx 325\times 0,951\approx 309,1$u = 325sin(0,4π) = 325sin(72°) ≈ 325 × 0,951 ≈ 309,1 V.

8. 8

   Dernière question : $u(t)>230$u(t) > 230 équivaut à $325\sin (100\pi t)>230$325sin(100π t) > 230, soit $\sin (100\pi t)>\frac{230}{325}\approx 0,7077$sin(100π t) > 230/325 ≈ 0,7077.

9. 9

   Or $\frac{230}{325}=\frac{230}{230\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$230/325 = 230/230√(2) = 1/√(2) = √(2)/2 exactement : la valeur efficace correspond précisément au sinus de $\frac{\pi }{4}$π/4.

10. 10

    $\sin X>\frac{\sqrt{2}}{2}$sin X > √(2)/2 pour $\frac{\pi }{4}<X<\frac{3\pi }{4}$π/4 < X < 3π/4, soit un intervalle d'argument de longueur $\frac{\pi }{2}$π/2.

11. 11

    Sur une période complète (argument de $0$0 à $2\pi$2π), cela représente $\frac{\pi /2}{2\pi }=\frac{1}{4}$(π/2)/2π = 1/4 de la période — mais uniquement dans l'alternance positive.

12. 12

    Conclusion : la tension dépasse $+230$+230 V pendant un quart de la période, soit $5$5 ms.

    En valeur absolue ($|u|>230$|u| > 230 V), ce serait la moitié du temps, la même durée se répétant dans l'alternance négative.