La Terminale ajoute aux formes algébrique et trigonométrique la notation la plus efficace : $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ e ^(iθ)=cosθ+isinθ. Tout nombre complexe non nul s'écrit alors $z = r e^{i θ}$ z=r e ^(iθ), avec $r = ∣ z ∣ > 0$ r=|z|>0.

Au programme : le passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement ; les produits et quotients, qui deviennent immédiats puisque $r e^{i θ} \times r^{'} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}$ r e ^(iθ)× r' e ^(iθ')=rr' e ^(i(θ+θ')) ; les formules d'addition et de duplication du cosinus et du sinus, démontrées à partir de l'exponentielle complexe ; la linéarisation de $cos^{2} θ$ cos²θ et $sin^{2} θ$ sin²θ, utile pour calculer des primitives.

Deux applications au cœur de la spécialité : transformer $a cos (ω t) + b sin (ω t)$ acos(ω t)+bsin(ω t) en $A cos (ω t + φ)$ Acos(ω t+φ) — la somme de deux signaux de même pulsation reste un signal de même pulsation — et interpréter géométriquement les transformations $z \mapsto z + b$ z↦ z+b (translation) et $z \mapsto a z$ z↦ az selon que $a$ a est réel non nul (homothétie) ou de module $1$ 1 (rotation). On résout aussi dans $C$ ℂ les équations du premier degré et celles du type $z^{2} = a$ z²=a avec $a$ a réel. Piège classique : additionner les modules d'une somme, alors que $∣ z + z^{'} ∣ \neq = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ |z+z'|≠|z|+|z'| en général.

Nombres complexes : forme exponentielle en Terminale STI2D : cours complet

Forme exponentielle

Définition — Notation $e^{i θ}$ e^(iθ). Pour tout réel $θ$ θ : $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ e^(iθ) = cosθ + isinθ. C'est le complexe de module $1$ 1 et d'argument $θ$ θ. Tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i θ}$ z = re^(iθ) avec $r = ∣ z ∣$ r = |z| et $θ = ar g z$ θ = arg z.

Exemple. $1 + i = 2 e^{iπ /4}$ 1 + i = sqrt2 e^(iπ/4) ; \quad $- 2 = 2 e^{iπ}$ -2 = 2e^(iπ) ; \quad $3 i = 3 e^{iπ /2}$ 3i = 3e^(iπ/2) ; \quad $2 e^{iπ /3} = 2 (\frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = 1 + i 3$ 2e^(iπ/3) = 2(1/2 + isqrt3/2) = 1 + isqrt3.

Propriété — Règles de calcul. $e^{i θ} e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})} \frac{1}{e ^{i θ}} = e^{- i θ} = \overline{e^{i θ}} (e^{i θ})^{n} = e^{in θ} e^(iθ)e^(iθ') = e^(i(θ + θ')) 1/e^(iθ) = e^(-iθ) = e^(iθ)̅ (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ)$ Donc $r e^{i θ} \times r^{'} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}$ re^(iθ) × r'e^(iθ') = rr'e^(i(θ + θ')) et $\frac{r e ^{i θ}}{r ^{'} e ^{i θ^{'}}} = \frac{r}{r ^{'}} e^{i (θ - θ^{'})}$ re^(iθ)/r'e^(iθ') = r/r'e^(i(θ - θ')) : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

Exemple. $z_{1} = 2 e^{iπ /6}$ z₁ = 2e^(iπ/6), $z_{2} = 3 e^{iπ /3}$ z₂ = 3e^(iπ/3) : $z_{1} z_{2} = 6 e^{iπ /2} = 6 i$ z₁z₂ = 6e^(iπ/2) = 6i ; $\frac{z _{2}}{z _{1}} = \frac{3}{2} e^{iπ /6}$ z₂/z₁ = 3/2e^(iπ/6) ; $z_{1}^{3} = 8 e^{iπ /2} = 8 i$ z₁³ = 8e^(iπ/2) = 8i.

Formules de trigonométrie

Propriété — Formules d'addition. $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos acos b - sin asin b sin(a + b) = sin acos b + cos asin b$

Démonstration. $e^{i (a + b)} = e^{ia} e^{ib} = (cos a + i sin a) (cos b + i sin b) = (cos a cos b - sin a sin b) + i (sin a cos b + cos a sin b)$ e^(i(a+b)) = e^(ia)e^(ib) = (cos a + isin a)(cos b + isin b) = (cos acos b - sin asin b) + i(sin acos b + cos asin b). On identifie avec $e^{i (a + b)} = cos (a + b) + i sin (a + b)$ e^(i(a+b)) = cos(a + b) + isin(a + b).

Propriété — Duplication et linéarisation. $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a$ cos 2a = cos² a - sin² a = 2cos² a - 1 = 1 - 2sin² a ; $sin 2 a = 2 sin a cos a$ sin 2a = 2sin acos a. D'où $cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2} sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2} . cos² a = (1 + cos 2a)/2 sin² a = (1 - cos 2a)/2.$

Exemple — Une primitive. $cos^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 x$ cos² x = 1/2 + 1/2cos 2x a pour primitive $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} sin 2 x$ x/2 + 1/4sin 2x. Ainsi la valeur moyenne de $cos^{2}$ cos² sur une période est $\frac{1}{2}$ 1/2 : c'est l'origine du facteur $\frac{1}{2}$ 1/sqrt2 des valeurs efficaces.

Somme de signaux sinusoïdaux

Méthode — Écrire $a cos (ω t) + b sin (ω t)$ acos(ω t) + bsin(ω t) sous la forme $A cos (ω t + φ)$ Acos(ω t + φ). D'après la formule d'addition, $A cos (ω t + φ) = A cos φ cos (ω t) - A sin φ sin (ω t)$ Acos(ω t + φ) = Acosφcos(ω t) - Asinφsin(ω t). Il faut donc $a = A cos φ$ a = Acosφ et $b = - A sin φ$ b = -Asinφ, c'est-à-dire $a - ib = A e^{i φ} A = a^{2} + b^{2} . a - ib = Ae^(iφ) A = \sqrt(a² + b²).$ La somme de deux signaux de même pulsation est un signal de même pulsation.

Exemple. $3 cos (ω t) - sin (ω t)$ sqrt3cos(ω t) - sin(ω t) : $a - ib = 3 + i = 2 e^{iπ /6}$ a - ib = sqrt3 + i = 2e^(iπ/6), donc $3 cos (ω t) - sin (ω t) = 2 cos (ω t + \frac{π}{6})$ sqrt3cos(ω t) - sin(ω t) = 2cos(ω t + π/6).

Géométrie et équations

Propriété — Transformations du plan.

$z \mapsto z + b$ z ↦ z + b : translation de vecteur d'affixe $b$ b ;
$z \mapsto k z$ z ↦ kz ( $k$ k réel non nul) : homothétie de centre $O$ O et de rapport $k$ k ;
$z \mapsto e^{i θ} z$ z ↦ e^(iθ)z : rotation de centre $O$ O et d'angle $θ$ θ.

Exemple. La rotation de centre $O$ O et d'angle $\frac{π}{2}$ π/2 envoie le point d'affixe $3 + i$ 3 + i sur $i (3 + i) = - 1 + 3 i$ i(3 + i) = -1 + 3i.

Méthode — Équations.

$a z + b = 0$ az + b = 0 ( $a \neq = 0$ a ≠ 0) : $z = - \frac{b}{a}$ z = -b/a, mis sous forme algébrique avec le conjugué. Exemple : $(1 + i) z = 3 - i$ (1 + i)z = 3 - i donne $z = \frac{( 3 - i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{2 - 4 i}{2} = 1 - 2 i$ z = ((3 - i)(1 - i))/2 = (2 - 4i)/2 = 1 - 2i.
$z^{2} = a$ z² = a ( $a$ a réel) : si $a \geq 0$ a ≥ 0, $z = \pm a$ z = ± √a ; si $a < 0$ a < 0, $z = \pm i - a$ z = ± i√(-a). Exemple : $z^{2} = - 9 ⟺ z = 3 i$ z² = -9 ⇔ z = 3i ou $z = - 3 i$ z = -3i.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Additionner les modules d'une somme : $∣ z + z^{'} ∣ \neq = ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ |z + z'| ≠ |z| + |z'| en général.
Multiplier les arguments au lieu de les additionner.
Se tromper de signe dans $a - ib = A e^{i φ}$ a - ib = Ae^(iφ).
Oublier la seconde solution de $z^{2} = a$ z² = a.

Fiche de synthèse

Forme exponentielle	$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ e^(iθ) = cosθ + isinθ ; $z = r e^{i θ}$ z = re^(iθ)
Produit, quotient	$r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}$ rr'e^(i(θ + θ')) ; $\frac{r}{r ^{'}} e^{i (θ - θ^{'})}$ r/r'e^(i(θ - θ'))
Addition	$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ cos(a + b) = cos acos b - sin asin b ; $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ sin(a + b) = sin acos b + cos asin b
Linéarisation	$cos^{2} a = \frac{1 + c o s 2 a}{2}$ cos² a = (1 + cos 2a)/2 ; $sin^{2} a = \frac{1 - c o s 2 a}{2}$ sin² a = (1 - cos 2a)/2
Signaux	$a cos ω t + b sin ω t = A cos (ω t + φ)$ acosω t + bsinω t = Acos(ω t + φ) avec $a - ib = A e^{i φ}$ a - ib = Ae^(iφ)
Transformations	$z + b$ z + b : translation ; $k z$ kz : homothétie ; $e^{i θ} z$ e^(iθ)z : rotation

Exercices d'application

Exercice 1 – Forme exponentielle

Écrire $- 1 + i$ -1 + i et $- 3 - i$ -sqrt3 - i sous forme exponentielle.

Exercice 2 – Valeur exacte

En écrivant $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ π/12 = π/3 - π/4, calculer $cos \frac{π}{12}$ cosπ/12.

Exercice 3 – Signal

Écrire $s (t) = cos (100 π t) + sin (100 π t)$ s(t) = cos(100π t) + sin(100π t) sous la forme $A cos (100 π t + φ)$ Acos(100π t + φ).

Exercice 4 – Équation

Résoudre dans $C$ ℂ : $z^{2} = - 16$ z² = -16.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $- 1 + i = 2 e^{3 iπ /4}$ -1 + i = sqrt2 e^(3iπ/4) ; $- 3 - i = 2 e^{- 5 iπ /6}$ -sqrt3 - i = 2e^(-5iπ/6) (module $2$ 2, $cos θ = - \frac{3}{2}$ cosθ = -sqrt3/2, $sin θ = - \frac{1}{2}$ sinθ = -1/2).

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $cos \frac{π}{12} = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} + sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{2 + 6}{4}$ cosπ/12 = cosπ/3cosπ/4 + sinπ/3sinπ/4 = 1/2 × sqrt2/2 + sqrt3/2 × sqrt2/2 = (sqrt2 + sqrt6)/4 (on utilise $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ cos(a - b) = cos acos b + sin asin b).

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $a = 1$ a = 1, $b = 1$ b = 1 : $a - ib = 1 - i = 2 e^{- iπ /4}$ a - ib = 1 - i = sqrt2 e^(-iπ/4). Donc $s (t) = 2 cos (100 π t - \frac{π}{4})$ s(t) = sqrt2cos(100π t - π/4).

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $z = 4 i$ z = 4i ou $z = - 4 i$ z = -4i.

Nombres complexes : forme exponentielle en Terminale STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Notation exponentielle, produits, quotients et impédances

Plaquette 2 – Forme exponentielle et plan complexe : lire, placer, tourner

Plaquette 3 – Exponentielle complexe : produits, puissances, formules d'Euler

Plaquette 4 – Signaux sinusoïdaux et amplitudes complexes

Plaquette 5 – Filtres : fonction de transfert, gain et déphasage

Leçon complète