Nombres complexes en Première STI2D

Nombres complexes en Première STI2D : cours complet

Forme algébrique

Définition — Nombres complexes. Il existe un ensemble $\mathbb{C}$ℂ de nombres, les nombres complexes, qui contient les réels, un nombre $i$i tel que $i^2=-1$i² = -1, et dans lequel on calcule avec les mêmes règles que dans $\mathbb{R}$ℝ. Tout complexe s'écrit de façon unique sous forme algébrique $$z=a+ib,a=\mathrm{Re}(z)\text{ (partie reˊelle)},b=\mathrm{Im}(z)\text{ (partie imaginaire)},$$z = a + ib, a = Re (z) (partie réelle) , b = Im (z) (partie imaginaire) , avec $a$a et $b$b réels. Si $b=0$b = 0, $z$z est réel ; si $a=0$a = 0, $z$z est imaginaire pur.

Remarque — En électricité. Pour ne pas confondre avec l'intensité $i$i, les électriciens notent $j$j le nombre tel que $j^2=-1$j² = -1.

Propriété — Égalité. $a+ib=a^{\prime }+i{b}^{\prime }⟺a=a^{\prime }$a + ib = a' + ib' ⇔ a = a' et $b=b^{\prime }$b = b' (on identifie parties réelles et parties imaginaires).

Exemple — Somme et produit. $(2+3i)+(1-i)=3+2i$(2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i. \qquad $(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i$(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.

Conjugué et quotient

Définition — Conjugué. Le conjugué de $z=a+ib$z = a + ib est $\overline{z}=a-ib$z̅ = a - ib. On a $z\overline{z}=a^2+b^2$zz̅ = a² + b², un réel positif.

Propriété — Règles. $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$z + z'̅ = z̅ + z'̅ ; $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$zz'̅ = z̅ × z'̅ ; $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$(z/z')̅ = z̅/z'̅ ($z^{\prime }\ne 0$z' ≠ 0).

Méthode — Forme algébrique d'un quotient. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient réel.

Exemple. $\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i+2i^2}{9+1}=\frac{1+7i}{10}=0,1+0,7i$(1 + 2i)/(3 - i) = ((1 + 2i)(3 + i))/((3 - i)(3 + i)) = (3 + i + 6i + 2i²)/(9 + 1) = (1 + 7i)/10 = 0,1 + 0,7i.

Plan complexe

Définition — Affixe. Dans un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$(O ; vecteur u , vecteur v ), le point $M(a;b)$M(a ;b) et le vecteur $\overrightarrow{w}(a;b)$vecteur w (a ;b) ont pour affixe $z=a+ib$z = a + ib. L'affixe de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est $z_B-z_A$z_B - z_A ; celle du milieu de $[AB]$[AB] est $\frac{z_A+z_B}{2}$(z_A + z_B)/2.

Le point d'affixe $z=3+2i$z = 3 + 2i, son conjugué (symétrique par rapport à l'axe réel), son module $r$r et un argument $\theta$θ.

Module

Définition — Module. Le module de $z=a+ib$z = a + ib est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}$|z| = √(a² + b²) = √(zz̅) : c'est la distance $OM$OM. Pour deux points, $AB=|z_B-z_A|$AB = |z_B - z_A|.

Propriété — Règles. $|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$|zz'| = |z| × |z'| et $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$|z/z'| = |z|/|z'| ($z^{\prime }\ne 0$z' ≠ 0).

Exemple. $|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$|3 - 4i| = √(9 + 16) = 5 ; $|(3-4i)(1+i)|=5\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$|(3 - 4i)(1 + i)| = 5 × sqrt2 = 5sqrt2.

Argument et forme trigonométrique

Définition — Argument. Pour $z\ne 0$z ≠ 0 d'image $M$M, un argument de $z$z, noté $\arg z$arg z, est une mesure de l'angle orienté $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$( vecteur u , vecteur OM ) ; il est défini à $2k\pi$2kπ près. Avec $r=|z|$r = |z| : $$\cos \theta =\frac{a}{r},\sin \theta =\frac{b}{r}.$$cosθ = a/r, sinθ = b/r.

Définition — Forme trigonométrique. Tout complexe non nul s'écrit $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$z = r(cosθ + isinθ) avec $r=|z|>0$r = |z| > 0 et $\theta =\arg z$θ = arg z. Réciproquement, $a=r\cos \theta$a = rcosθ et $b=r\sin \theta$b = rsinθ.

Méthode — De la forme algébrique à la forme trigonométrique. On calcule $r=|z|$r = |z|, puis $\cos \theta =\frac{a}{r}$cosθ = a/r et $\sin \theta =\frac{b}{r}$sinθ = b/r ; on reconnaît $\theta$θ dans les valeurs remarquables en vérifiant les deux signes (le quadrant).

Exemple.

• $z=1+i\sqrt{3}$z = 1 + isqrt3 : $r=\sqrt{1+3}=2$r = √(1 + 3) = 2, $\cos \theta =\frac{1}{2}$cosθ = 1/2, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ = sqrt3/2, donc $\theta =\frac{\pi }{3}$θ = π/3 et $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$z = 2(cosπ/3 + isinπ/3).
• $z=-1+i$z = -1 + i : $r=\sqrt{2}$r = sqrt2, $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ = -sqrt2/2, $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ = sqrt2/2, donc $\theta =\frac{3\pi }{4}$θ = 3π/4.
• Dans l'autre sens : $4\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-2\sqrt{3}+2i$4(cos5π/6 + isin5π/6) = 4(-sqrt3/2 + 1/2 i) = -2sqrt3 + 2i.

Exemple — Impédance d'un dipôle. Un dipôle a pour impédance complexe $Z=30+40j$Z = 30 + 40j (en ohms). Son module $|Z|=\sqrt{900+1600}=50$|Z| = √(900 + 1 600) = 50 $\Omega$Ω est le rapport des amplitudes de la tension et de l'intensité ; son argument, tel que $\cos \theta =0,6$cosθ = 0,6 et $\sin \theta =0,8$sinθ = 0,8, vaut environ $0,93$0,93 rad ($53,1^{\circ }$53,1°) : c'est le déphasage de la tension sur l'intensité.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier que $i^2=-1$i² = -1 en développant.
• Écrire $|a+ib|=a+b$|a + ib| = a + b ou oublier la racine carrée.
• Donner un argument sans vérifier le quadrant : $\cos \theta =\frac{1}{2}$cosθ = 1/2 ne suffit pas à conclure $\theta =\frac{\pi }{3}$θ = π/3.
• Multiplier un quotient par le dénominateur au lieu de son conjugué.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Calculs

Calculer $(3-2i)+(1+5i)$(3 - 2i) + (1 + 5i) et $(3-2i)(1+5i)$(3 - 2i)(1 + 5i).

Exercice 2 – Quotient

Écrire $\frac{5}{2+i}$5/(2 + i) sous forme algébrique.

Exercice 3 – Forme trigonométrique

Déterminer le module et un argument de $z=\sqrt{3}-i$z = sqrt3 - i, puis sa forme trigonométrique.

Exercice 4 – Distance

$A$A et $B$B ont pour affixes $1+2i$1 + 2i et $4-2i$4 - 2i. Calculer $AB$AB et l'affixe du milieu de $[AB]$[AB].

Exercice 5 – Forme algébrique

Écrire $2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$2(cosπ/4 + isinπ/4) sous forme algébrique.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $(3-2i)+(1+5i)=4+3i$(3 - 2i) + (1 + 5i) = 4 + 3i. $(3-2i)(1+5i)=3+15i-2i-10i^2=3+13i+10=13+13i$(3 - 2i)(1 + 5i) = 3 + 15i - 2i - 10i² = 3 + 13i + 10 = 13 + 13i.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $\frac{5}{2+i}=\frac{5(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(2-i)}{5}=2-i$5/(2 + i) = (5(2 - i))/((2 + i)(2 - i)) = (5(2 - i))/5 = 2 - i.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $r=\sqrt{3+1}=2$r = √(3 + 1) = 2 ; $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ = sqrt3/2, $\sin \theta =-\frac{1}{2}$sinθ = -1/2, donc $\theta =-\frac{\pi }{6}$θ = -π/6 : $z=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$z = 2(cos(-π/6) + isin(-π/6)).

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $z_B-z_A=3-4i$z_B - z_A = 3 - 4i, donc $AB=\sqrt{9+16}=5$AB = √(9 + 16) = 5. Milieu : $\frac{(1+2i)+(4-2i)}{2}=2,5$((1 + 2i) + (4 - 2i))/2 = 2,5.

Corrigé de l'exercice 5

Corrigé. $2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$2(sqrt2/2 + isqrt2/2) = sqrt2 + isqrt2.