Produit scalaire en Première STI2D

Produit scalaire en Première STI2D : cours complet

Définition

Définition — Produit scalaire. Soit $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v deux vecteurs non nuls formant un angle géométrique $\theta$θ. Leur produit scalaire est le nombre réel $$\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \theta$$vecteur u · vecteur v = lVert vecteur u rVert × lVert vecteur v rVert × cosθ Si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u · vecteur v = 0.

Exemple. $\Vert \vec{u}\Vert =3$lVert vecteur u rVert = 3, $\Vert \vec{v}\Vert =4$lVert vecteur v rVert = 4 et $\theta =\frac{\pi }{3}$θ = π/3 : $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 4\times \frac{1}{2}=6$vecteur u · vecteur v = 3 × 4 × 1/2 = 6. Avec $\theta =\frac{2\pi }{3}$θ = 2π/3, on obtiendrait $-6$-6 : le produit scalaire est négatif quand l'angle est obtus.

Définition — Carré scalaire. $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = lVert vecteur u rVert² (angle nul). On le note aussi ${\vec{u}}^2$vecteur u ^(2).

Projection orthogonale

Propriété — Calcul par projection. Soit $A$A, $B$B, $C$C trois points avec $A\ne B$A ≠ B, et $H$H le projeté orthogonal de $C$C sur la droite $(AB)$(AB). Alors $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$$vecteur AB · vecteur AC = vecteur AB · vecteur AH qui vaut $AB\times AH$AB × AH si $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AH}$vecteur AH sont de même sens, et $-AB\times AH$-AB × AH sinon.

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$vecteur AB · vecteur AC ne dépend que de la projection $\overrightarrow{AH}$vecteur AH de $\overrightarrow{AC}$vecteur AC sur $(AB)$(AB).

Exemple. $ABCD$ABCD est un carré de côté $4$4 et $I$I le milieu de $[BC]$[BC]. Le projeté de $I$I sur $(AB)$(AB) est $B$B, donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=AB\times AB=16$vecteur AB · vecteur AI = AB × AB = 16.

Propriétés et orthogonalité

Propriété — Règles de calcul. Pour tous vecteurs $\vec{u}$vecteur u, $\vec{v}$vecteur v, $\vec{w}$vecteur w et tout réel $k$k :

• symétrie : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$vecteur u · vecteur v = vecteur v · vecteur u ;
• bilinéarité : $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$vecteur u · ( vecteur v + vecteur w ) = vecteur u · vecteur v + vecteur u · vecteur w et $(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$(k vecteur u ) · vecteur v = k( vecteur u · vecteur v ) ;
• identités : $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$lVert vecteur u + vecteur v rVert² = lVert vecteur u rVert² + 2 vecteur u · vecteur v + lVert vecteur v rVert² et $\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$lVert vecteur u - vecteur v rVert² = lVert vecteur u rVert² - 2 vecteur u · vecteur v + lVert vecteur v rVert².

Propriété — Orthogonalité. $\vec{u}\cdot \vec{v}=0⟺\vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont orthogonaux}$vecteur u · vecteur v = 0 ⇔ vecteur u et vecteur v sont orthogonaux (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).

En base orthonormée

Propriété — Expression analytique. Dans une base orthonormée, si $\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ;y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ;y') : $$\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}.$$vecteur u · vecteur v = xx' + yy' lVert vecteur u rVert = √(x² + y²).

Exemple — Calculer un angle. $\vec{u}(2;1)$vecteur u (2 ;1) et $\vec{v}(1;3)$vecteur v (1 ;3) : $\vec{u}\cdot \vec{v}=2+3=5$vecteur u · vecteur v = 2 + 3 = 5 ; $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{5}$lVert vecteur u rVert = sqrt5, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{10}$lVert vecteur v rVert = √(10). Donc $\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ = 5/(sqrt5 × √(10)) = 5/√(50) = sqrt2/2 et $\theta =\frac{\pi }{4}$θ = π/4.

Méthode — Prouver une orthogonalité. On calcule $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$xx' + yy' : s'il est nul, les vecteurs (et les droites qu'ils dirigent) sont perpendiculaires. Exemple : $\vec{u}(4;-2)$vecteur u (4 ;-2) et $\vec{v}(1;2)$vecteur v (1 ;2), $4-4=0$4 - 4 = 0.

Longueurs et angles dans un triangle

Théorème — Théorème d'Al-Kashi. Dans un triangle $ABC$ABC, avec $a=BC$a = BC, $b=CA$b = CA, $c=AB$c = AB : $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$$a² = b² + c² - 2bccos Si $\hat{A}$ est droit, on retrouve le théorème de Pythagore.

Démonstration. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$vecteur BC = vecteur AC - vecteur AB, donc $B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{B}^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$BC² = AC² - 2 vecteur AB · vecteur AC + AB² = b² + c² - 2bccosÂ.

Exemple.

• Longueur : $b=5$b = 5, $c=8$c = 8 et $\hat{A}=60^{\circ }$Â = 60° : $a^2=25+64-2\times 5\times 8\times \frac{1}{2}=49$a² = 25 + 64 - 2 × 5 × 8 × 1/2 = 49, donc $a=7$a = 7.
• Angle : un triangle de côtés $4$4, $5$5 et $6$6. L'angle opposé au côté $6$6 vérifie $\cos \theta =\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times 4\times 5}=\frac{5}{40}=0,125$cosθ = (4² + 5² - 6²)/(2 × 4 × 5) = 5/40 = 0,125, d'où $\theta \approx 82,8^{\circ }$θ ≈ 82,8°.

Propriété — Égalité du parallélogramme. $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2+\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2=2\left(\Vert \vec{u}{\Vert }^2+\Vert \vec{v}{\Vert }^2\right)$lVert vecteur u + vecteur v rVert² + lVert vecteur u - vecteur v rVert² = 2(lVert vecteur u rVert² + lVert vecteur v rVert²) : dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

Travail d'une force

Propriété — Travail. Le travail d'une force constante $\vec{F}$vecteur F lors d'un déplacement rectiligne de $A$A à $B$B est $$W=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}=F\times AB\times \cos \theta \text{(en joules, avec }F\text{ en newtons et }AB\text{ en meˋtres).}$$W = vecteur F · vecteur AB = F × AB × cosθ (en joules, avec F en newtons et AB en mètres). Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.

Exemple — Tirer un chariot. On tire un chariot sur $20$20 m avec une force de $50$50 N inclinée de $30^{\circ }$30° sur l'horizontale : $W=50\times 20\times \cos 30^{\circ }=1000\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 866$W = 50 × 20 × cos 30°= 1 000 × sqrt3/2 ≈ 866 J. Le poids, vertical, ne travaille pas lors du déplacement horizontal.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier que le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
• Oublier le cosinus, ou prendre l'angle entre les droites au lieu de l'angle entre les vecteurs.
• Oublier le signe moins quand le projeté est « de l'autre côté » de $A$A.
• Utiliser $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$xx' + yy' dans une base qui n'est pas orthonormée.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Définition

$\Vert \vec{u}\Vert =2$lVert vecteur u rVert = 2, $\Vert \vec{v}\Vert =5$lVert vecteur v rVert = 5 et l'angle entre $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v mesure $\frac{2\pi }{3}$2π/3. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$vecteur u · vecteur v.

Exercice 2 – Coordonnées

Dans une base orthonormée, $\vec{u}(4;-2)$vecteur u (4 ;-2), $\vec{v}(1;2)$vecteur v (1 ;2) et $\vec{w}(3;1)$vecteur w (3 ;1). Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$vecteur u · vecteur v et $\vec{u}\cdot \vec{w}$vecteur u · vecteur w. Que dire de $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v ?

Exercice 3 – Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ABC, $AB=6$AB = 6, $AC=4$AC = 4 et $\widehat{BAC}=120^{\circ }$BAĈ = 120°. Calculer $BC$BC.

Exercice 4 – Travail

Une force de $200$200 N déplace une charge de $15$15 m. Calculer le travail si la force fait un angle de $60^{\circ }$60° avec le déplacement, puis si elle lui est perpendiculaire.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 5\times \cos \frac{2\pi }{3}=10\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-5$vecteur u · vecteur v = 2 × 5 × cos2π/3 = 10 × (-1/2) = -5.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $\vec{u}\cdot \vec{v}=4-4=0$vecteur u · vecteur v = 4 - 4 = 0 : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont orthogonaux. $\vec{u}\cdot \vec{w}=12-2=10$vecteur u · vecteur w = 12 - 2 = 10.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $B{C}^2=36+16-2\times 6\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right)=52+24=76$BC² = 36 + 16 - 2 × 6 × 4 × (-1/2) = 52 + 24 = 76, donc $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\approx 8,72$BC = √(76) = 2√(19) ≈ 8,72.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $W=200\times 15\times \cos 60^{\circ }=1500$W = 200 × 15 × cos 60°= 1 500 J. Perpendiculaire : $\cos 90^{\circ }=0$cos 90°= 0, $W=0$W = 0 J.