Exercices corrigés : Nombres complexes : forme exponentielle — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Par définition, $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$cosθ + isinθ = e^(iθ).

2. 2

   Donc $z_1=4e^{i\pi /3}$z₁ = 4e^(iπ/3) et $z_2=2e^{3i\pi /4}$z₂ = 2e^(3iπ/4).

3. 3

   Lecture directe : $|z_1|=4$|z₁| = 4 et $\arg z_1=\frac{\pi }{3}$arg z₁ = π/3.

4. 4

   $|z_2|=2$|z₂| = 2 et $\arg z_2=\frac{3\pi }{4}$arg z₂ = 3π/4.

5. 5

   La forme exponentielle est donc simplement une écriture plus courte de la forme trigonométrique : le module devant, l'argument en exposant de $i$i.

6. 6

   Attention : le module doit être POSITIF.

   Une écriture $-3e^{i\pi /5}$-3e^(iπ/5) n'est pas une forme exponentielle correcte ; on l'écrirait $3e^{i(\pi /5+\pi )}$3e^(i(π/5 + π)).

Rappel de cours : $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$e^(iθ) = cosθ + isinθ : c'est la définition de l'exponentielle complexe.

Erreur fréquente : Laisser un module négatif : $r$r doit être positif, quitte à ajouter $\pi$π à l'argument.

Correction détaillée

1. 1

   $e^{i\times 0}=\cos 0+i\sin 0=1$e^(i× 0) = cos 0 + isin 0 = 1.

2. 2

   $e^{i\pi /2}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=0+i=i$e^(iπ/2) = cosπ/2 + isinπ/2 = 0 + i = i.

3. 3

   $e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1+0=-1$e^(iπ) = cosπ + isinπ = -1 + 0 = -1.

   C'est la célèbre identité $e^{i\pi }=-1$e^(iπ) = -1.

4. 4

   $e^{3i\pi /2}=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}=0-i=-i$e^(3iπ/2) = cos3π/2 + isin3π/2 = 0 - i = -i.

5. 5

   Module : $\left|e^{i\theta }\right|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\sqrt{1}=1$|e^(iθ)| = √(cos²θ + sin²θ) = √(1) = 1 pour tout $\theta$θ.

6. 6

   Interprétation géométrique essentielle : les points d'affixe $e^{i\theta }$e^(iθ) décrivent exactement le CERCLE de centre $O$O et de rayon $1$1, le cercle trigonométrique.

Rappel de cours : $\left|e^{i\theta }\right|=1$|e^(iθ)| = 1 : l'exponentielle complexe de module $1$1 parcourt le cercle trigonométrique.

Erreur fréquente : Croire que $e^{i\pi }$e^(iπ) est un « grand » nombre par analogie avec $e^{\pi }\approx 23$e^(π) ≈ 23 : l'exposant imaginaire donne toujours un module $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Produit : les modules se MULTIPLIENT et les arguments s'AJOUTENT, exactement comme les exposants d'une exponentielle.

2. 2

   $z_1{z}_2=6\times 3e^{i(\pi /4+\pi /6)}=18e^{i(3\pi /12+2\pi /12)}=18e^{5i\pi /12}$z₁z₂ = 6× 3 e^(i(π/4 + π/6)) = 18 e^(i(3π/12 + 2π/12)) = 18 e^(5iπ/12).

3. 3

   Quotient : les modules se divisent et les arguments se RETRANCHENT.

4. 4

   $\frac{z_1}{z_2}=\frac{6}{3}{e}^{i(\pi /4-\pi /6)}=2e^{i\pi /12}$z₁/z₂ = 6/3e^(i(π/4 - π/6)) = 2 e^(iπ/12).

5. 5

   Contrôle : $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi -2\pi }{12}=\frac{\pi }{12}$π/4 - π/6 = (3π - 2π)/12 = π/12 ✔.

6. 6

   Tout l'intérêt de la forme exponentielle est là : les calculs de produits et de quotients deviennent aussi simples que sur des exponentielles réelles.

Rappel de cours : $r_1{e}^{i{\theta }_1}\times r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$r₁e^(iθ₁)× r₂e^(iθ₂) = r₁r₂ e^(i(θ₁+θ₂)) · le quotient divise les modules et soustrait les arguments.

Erreur fréquente : Multiplier les arguments : ils s'AJOUTENT, comme des exposants.

Correction détaillée

1. 1

   Conjuguer, c'est changer le signe de l'argument : $\overline{z}=5e^{-2i\pi /3}$z̅ = 5e^(-2iπ/3).

2. 2

   Géométriquement, cela correspond à la symétrie par rapport à l'axe des réels.

3. 3

   Opposé : $-1=e^{i\pi }$-1 = e^(iπ), donc $-z=5e^{i(2\pi /3+\pi )}=5e^{5i\pi /3}$-z = 5e^(i(2π/3 + π)) = 5e^(5iπ/3).

4. 4

   On peut aussi l'écrire $5e^{-i\pi /3}$5e^(-iπ/3), puisque $\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}$5π/3 - 2π = -π/3.

5. 5

   Produit : $z\overline{z}=5\times 5e^{i(2\pi /3-2\pi /3)}=25e^0=25$zz̅ = 5× 5 e^(i(2π/3 - 2π/3)) = 25e⁰ = 25.

6. 6

   On retrouve la propriété générale $z\overline{z}=|z{|}^2$zz̅ = |z|² ✔ — un réel positif.

Rappel de cours : $\overline{r{e}^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$re^(iθ)̅ = re^(-iθ) · $-r{e}^{i\theta }=r{e}^{i(\theta +\pi )}$-re^(iθ) = re^(i(θ+π)) · $z\overline{z}=|z{|}^2$zz̅ = |z|².

Erreur fréquente : Conjuguer en changeant le signe du MODULE : c'est l'argument qui change de signe, le module reste positif.

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1. 1

   Règle : ${\left(r{e}^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$(re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ) — le module est élevé à la puissance $n$n, l'argument est multiplié par $n$n.

2. 2

   $z^2=4e^{i\pi /3}$z² = 4e^(iπ/3).

3. 3

   $z^3=8e^{i\pi /2}$z³ = 8e^(iπ/2).

4. 4

   $z^6=64e^{i\pi }$z⁶ = 64e^(iπ).

5. 5

   Forme algébrique : $e^{i\pi }=-1$e^(iπ) = -1, donc $z^6=-64$z⁶ = -64.

6. 6

   Vérification partielle : $z^3=8e^{i\pi /2}=8i$z³ = 8e^(iπ/2) = 8i, et ${\left(8i\right)}^2=64i^2=-64$(8i)² = 64i² = -64 ✔.

7. 7

   C'est la grande économie de la forme exponentielle : calculer $z^6$z⁶ par la forme algébrique demanderait six développements successifs.

Rappel de cours : ${\left(r{e}^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$(re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ) : module à la puissance $n$n, argument multiplié par $n$n.

Erreur fréquente : Multiplier le module par $n$n : $z^6$z⁶ a pour module $2^6=64$2⁶ = 64, et non $12$12.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $z_1=1+i$z₁ = 1+i : $|z_1|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$|z₁| = √(1+1) = √2.

2. 2

   $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ = 1/( √2 ) = ( √2 )/2 et $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ = sqrt2/2, donc $\theta =\frac{\pi }{4}$θ = π/4.

3. 3

   $z_1=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$z₁ = √2 e^(iπ/4).

4. 4

   Pour $z_2=1+i\sqrt{3}$z₂ = 1 + i √3 : $|z_2|=\sqrt{1+3}=2$|z₂| = √(1+3) = 2.

5. 5

   $\cos \theta =\frac{1}{2}$cosθ = 1/2 et $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ = ( √3 )/2, donc $\theta =\frac{\pi }{3}$θ = π/3.

6. 6

   $z_2=2e^{i\pi /3}$z₂ = 2e^(iπ/3).

7. 7

   Pour $z_3=-2$z₃ = -2 : $|z_3|=2$|z₃| = 2, et le point est sur l'axe des réels négatifs, donc $\theta =\pi$θ = π.

8. 8

   $z_3=2e^{i\pi }$z₃ = 2e^(iπ).

9. 9

   Méthode en deux temps, toujours la même : d'abord le module, puis l'argument à l'aide des DEUX valeurs $\cos \theta$cosθ et $\sin \theta$sinθ.

Rappel de cours : $r=|z|$r = |z|, puis $\cos \theta =\frac{a}{r}$cosθ = a/r et $\sin \theta =\frac{b}{r}$sinθ = b/r : il faut les deux pour lever l'ambiguïté.

Erreur fréquente : Déterminer $\theta$θ avec le seul cosinus : $\cos \theta =\frac{1}{2}$cosθ = 1/2 admet $\frac{\pi }{3}$π/3 ET $-\frac{\pi }{3}$-π/3. Le signe du sinus tranche.

Correction détaillée

1. 1

   $z_1=3\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=3(0+i)=3i$z₁ = 3(cosπ/2 + isinπ/2) = 3(0 + i) = 3i.

2. 2

   $z_2=4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)=4\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2-2i\sqrt{3}$z₂ = 4(cos(-π/3) + isin(-π/3)) = 4(1/2 - isqrt3/2) = 2 - 2isqrt3.

3. 3

   $z_3$z₃ : $\frac{5\pi }{4}=225°$5π/4 = 225°, donc $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$cos5π/4 = -sqrt2/2 et $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$sin5π/4 = -sqrt2/2.

4. 4

   $z_3=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1-i$z₃ = sqrt2(-sqrt2/2 - isqrt2/2) = -1 - i.

5. 5

   Contrôle des modules : $|3i|=3$|3i| = 3 ✔ ; $|2-2i\sqrt{3}|=\sqrt{4+12}=4$|2 - 2isqrt3| = √(4 + 12) = 4 ✔ ; $|-1-i|=\sqrt{2}$|-1-i| = √2 ✔.

6. 6

   Ces contrôles sont indispensables : ils détectent immédiatement une erreur de signe ou de valeur remarquable.

Rappel de cours : $r{e}^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta$re^(iθ) = rcosθ + i rsinθ : on distribue le module sur les deux termes.

Erreur fréquente : Oublier que $\cos$cos est paire et $\sin$sin impaire : $\cos (-\frac{\pi }{3})=+\frac{1}{2}$cos(-π/3) = +1/2 mais $\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(-π/3) = -sqrt3/2.

Correction détaillée

1. 1

   Membre de gauche : $e^{i(a+b)}=\cos (a+b)+i\sin (a+b)$e^(i(a+b)) = cos(a+b) + isin(a+b).

2. 2

   Membre de droite : $\left(\cos a+i\sin a\right)\left(\cos b+i\sin b\right)$(cos a + isin a)(cos b + isin b).

3. 3

   On développe : $\cos a\cos b+i\cos a\sin b+i\sin a\cos b+i^2\sin a\sin b$cos acos b + icos asin b + isin acos b + i²sin asin b.

4. 4

   Comme $i^2=-1$i² = -1 : $=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b)$= (cos acos b - sin asin b) + i(cos asin b + sin acos b).

5. 5

   En identifiant parties réelles et imaginaires des deux membres :

6. 6

   $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$cos(a+b) = cos acos b - sin asin b.

7. 7

   $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$sin(a+b) = sin acos b + cos asin b.

8. 8

   Contrôle sur $a=b=\frac{\pi }{4}$a = b = π/4 : la première formule donne $\cos \frac{\pi }{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$cosπ/2 = 1/2 - 1/2 = 0 ✔.

9. 9

   Cette démonstration est le meilleur argument en faveur de la forme exponentielle : deux formules trigonométriques difficiles à mémoriser se déduisent d'une simple règle sur les exposants.

Rappel de cours : $e^{i(a+b)}=e^{ia}{e}^{ib}$e^(i(a+b)) = e^(ia)e^(ib) : en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient les formules d'addition.

Erreur fréquente : Oublier le signe moins dans $\cos (a+b)$cos(a+b) : il vient de $i^2=-1$i² = -1, c'est-à-dire du terme $\sin a\sin b$sin asin b.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $b=a$b = a dans $\cos (a+b)$cos(a+b) : $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$cos 2a = cos²a - sin²a.

2. 2

   Avec $b=a$b = a dans $\sin (a+b)$sin(a+b) : $\sin 2a=2\sin a\cos a$sin 2a = 2sin acos a.

3. 3

   On peut aussi utiliser ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$cos²a + sin²a = 1 pour écrire $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$cos 2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a.

4. 4

   Application : $\cos \frac{\pi }{3}=\cos \left(2\times \frac{\pi }{6}\right)={\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{6}$cosπ/3 = cos(2×π/6) = cos²π/6 - sin²π/6.

5. 5

   $={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$= (sqrt3/2)² - (1/2)² = 3/4 - 1/4 = 1/2 ✔ conforme à la valeur connue.

6. 6

   Contrôle de la seconde formule : $\sin \frac{\pi }{3}=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπ/3 = 2×1/2×sqrt3/2 = sqrt3/2 ✔.

Rappel de cours : $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$cos 2a = 2cos²a - 1 et $\sin 2a=2\sin a\cos a$sin 2a = 2sin acos a : ce sont les formules d'addition avec $b=a$b = a.

Erreur fréquente : Écrire $\cos 2a=2\cos a$cos 2a = 2cos a : la duplication d'angle n'est PAS une multiplication de la valeur. $\cos \frac{\pi }{3}=0,5$cosπ/3 = 0,5 alors que $2\cos \frac{\pi }{6}\approx 1,73$2cosπ/6 ≈ 1,73.

Correction détaillée

1. 1

   De $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$cos 2a = 2cos²a - 1, on tire $2{\cos }^{2}a=1+\cos 2a$2cos²a = 1 + cos 2a.

2. 2

   Donc ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$cos²a = (1 + cos 2a)/2.

3. 3

   De même, $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$cos 2a = 1 - 2sin²a donne ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$sin²a = (1 - cos 2a)/2.

4. 4

   Ces deux égalités s'appellent formules de LINÉARISATION : elles remplacent un carré par une expression du premier degré en cosinus.

5. 5

   Application : ${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$cos²π/8 = (1 + cosπ/4)/2 = (1 + sqrt2/2)/2 = (2 + sqrt2)/4.

6. 6

   Valeur approchée : $\frac{2+1,414}{4}\approx 0,8536$(2 + 1,414)/4 ≈ 0,853 6.

7. 7

   Contrôle : $\cos \frac{\pi }{8}\approx 0,9239$cosπ/8 ≈ 0,923 9 et $0,9239^2\approx 0,8536$0,923 9² ≈ 0,853 6 ✔.

8. 8

   Utilité : sans cette formule, on ne saurait pas intégrer ${\cos }^2$cos² — et donc pas calculer la valeur efficace d'un signal, ce que fait l'exercice type bac plus loin.

Rappel de cours : Linéarisation : ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$cos²a = (1+cos 2a)/2 et ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$sin²a = (1-cos 2a)/2. Indispensable pour intégrer un carré.

Erreur fréquente : Confondre les deux formules : celle du sinus porte le signe MOINS. Un contrôle en $a=0$a = 0 tranche (${\sin }^{2}0=0$sin²0 = 0).

Correction détaillée

1. 1

   Module : $|Z|=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\Omega$|Z| = √(40² + 30²) = √(1 600 + 900) = √(2 500) = 50 Ω.

2. 2

   Argument : $\cos \phi =\frac{40}{50}=0,8$cosφ = 40/50 = 0,8 et $\sin \phi =\frac{30}{50}=0,6$sinφ = 30/50 = 0,6, tous deux positifs.

3. 3

   $\phi =\arccos (0,8)\approx 0,6435$φ = arccos(0,8) ≈ 0,643 5 rad, soit environ $36,87°$36,87°.

4. 4

   Forme exponentielle : $Z\approx 50e^{0,6435j}$Z ≈ 50e^(0,6435 j), ou $50e^{36,87°j}$50e^(36,87° j) en degrés.

5. 5

   Amplitude de la tension : $U=|Z|\times I=50\times 3=150$U = |Z|× I = 50× 3 = 150 V.

6. 6

   Déphasage : l'argument de $Z$Z est le déphasage de la tension par rapport au courant, soit $+36,87°$+36,87° — la tension est en avance, comportement inductif.

7. 7

   Intérêt de la forme exponentielle : $U=ZI$U = Z I se lit d'un coup, le module donnant l'amplitude et l'argument le déphasage.

   C'est toute la méthode des impédances complexes.

Rappel de cours : $Z=|Z|e^{j\phi }$Z = |Z|e^(jφ) : le module donne le rapport des amplitudes, l'argument le déphasage tension/courant.

Erreur fréquente : Additionner $40+30=70\Omega$40 + 30 = 70 Ω : résistance et réactance se composent « en quadrature », d'où $\sqrt{40^2+30^2}=50$√(40²+30²) = 50.

Correction détaillée

1. 1

   $Z_1=20e^0=20$Z₁ = 20e⁰ = 20 (tension de référence, phase nulle).

2. 2

   $Z_2=20e^{i\pi /2}=20i$Z₂ = 20e^(iπ/2) = 20i (tension déphasée de $90°$90°).

3. 3

   Somme : $Z=20+20i$Z = 20 + 20i.

4. 4

   Module : $|Z|=\sqrt{400+400}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}\approx 28,28$|Z| = √(400 + 400) = √(800) = 20sqrt2 ≈ 28,28.

5. 5

   Argument : $\cos \theta =\frac{20}{20\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$cosθ = 20/20sqrt2 = 1/sqrt2 et $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$sinθ = 1/( √2 ), donc $\theta =\frac{\pi }{4}$θ = π/4.

6. 6

   Forme exponentielle : $Z=20\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$Z = 20sqrt2 e^(iπ/4).

7. 7

   Résultat physique : la tension résultante a une amplitude de $28,28$28,28 V et un déphasage de $45°$45° par rapport à la référence.

8. 8

   Point essentiel : les amplitudes ne s'additionnent PAS ($20+20=40$20 + 20 = 40 V serait faux).

   En quadrature, la somme vaut $20\sqrt{2}$20 √2.

9. 9

   Contrôle par la trigonométrie : $20\cos (\omega t)+20\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)=20\cos (\omega t)+20\sin (\omega t)$20cos(ω t) + 20cos(ω t - π/2) = 20cos(ω t) + 20sin(ω t), d'amplitude $\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}$√(20²+20²) = 20sqrt2 ✔.

Rappel de cours : Pour ADDITIONNER des signaux, on passe par la forme algébrique ; pour MULTIPLIER, par la forme exponentielle.

Erreur fréquente : Additionner les formes exponentielles en ajoutant modules et arguments : cela ne vaut que pour le PRODUIT.

Correction détaillée

1. 1

   $3\times e^{i\pi /2}=3e^{i\pi /2}=3i$3× e^(iπ/2) = 3e^(iπ/2) = 3i : le point passe de $(3;0)$(3 ; 0) à $(0;3)$(0 ; 3).

2. 2

   Interprétation : multiplier par $e^{i\pi /2}$e^(iπ/2) fait TOURNER le point d'un quart de tour autour de l'origine, sans changer sa distance à $O$O (le module reste $3$3).

3. 3

   $3\times 2e^{i\pi /2}=6e^{i\pi /2}=6i$3× 2e^(iπ/2) = 6e^(iπ/2) = 6i : le point tourne d'un quart de tour ET s'éloigne, sa distance à l'origine passant de $3$3 à $6$6.

4. 4

   Interprétation : multiplier par $2e^{i\pi /2}$2e^(iπ/2) combine une rotation de $90°$90° et une homothétie de rapport $2$2.

   C'est une SIMILITUDE.

5. 5

   Pour tourner de $-60°$-60° sans changer la distance, il faut multiplier par un complexe de module $1$1 et d'argument $-\frac{\pi }{3}$-π/3, c'est-à-dire par $e^{-i\pi /3}$e^(-iπ/3).

6. 6

   Sous forme algébrique : $e^{-i\pi /3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$e^(-iπ/3) = 1/2 - isqrt3/2.

7. 7

   Règle générale : multiplier par $r{e}^{i\theta }$re^(iθ) revient à tourner de $\theta$θ et à multiplier les distances par $r$r.

Rappel de cours : Multiplier par $r{e}^{i\theta }$re^(iθ) : ROTATION d'angle $\theta$θ autour de $O$O et HOMOTHÉTIE de rapport $r$r.

Erreur fréquente : Croire qu'une multiplication par un complexe de module $1$1 change la distance : elle ne fait que tourner.

Correction détaillée

1. 1

   $z^2=e^{4i\pi /3}$z² = e^(4iπ/3) et $z^3=e^{6i\pi /3}=e^{2i\pi }=1$z³ = e^(6iπ/3) = e^(2iπ) = 1.

2. 2

   $z$z est donc une RACINE CUBIQUE de l'unité : son cube vaut $1$1.

3. 3

   Formes algébriques : $z=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$z = cos2π/3 + isin2π/3 = -1/2 + isqrt3/2.

4. 4

   $z^2=\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$z² = cos4π/3 + isin4π/3 = -1/2 - isqrt3/2.

5. 5

   Somme : $1+z+z^2=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$1 + z + z² = 1 - 1/2 - 1/2 + i(sqrt3/2 - sqrt3/2) = 0.

6. 6

   La somme des trois racines cubiques de l'unité est donc NULLE.

7. 7

   Géométriquement : les trois points sont sur le cercle de rayon $1$1, espacés de $\frac{2\pi }{3}$2π/3 (soit $120°$120°) : ils forment un TRIANGLE ÉQUILATÉRAL de centre $O$O.

8. 8

   C'est exactement la configuration d'un système TRIPHASÉ en électricité : trois tensions de même amplitude, déphasées de $120°$120°, dont la somme est nulle.

Rappel de cours : $e^{2i\pi }=1$e^(2iπ) = 1 : les racines $n$n-ièmes de l'unité sont régulièrement réparties sur le cercle unité, et leur somme est nulle.

Erreur fréquente : Calculer $z^3=e^{2i\pi }\ne 1$z³ = e^(2iπ) ≠ 1 : un tour complet ramène exactement au point de départ, donc $e^{2i\pi }=1$e^(2iπ) = 1.

Correction détaillée

1. 1

   $2e^{i\pi /2}=2i$2e^(iπ/2) = 2i, donc la transformation s'écrit $z^{\prime }=2iz+1$z' = 2iz + 1.

2. 2

   Pour $z=1$z = 1 : $z^{\prime }=2i+1=1+2i$z' = 2i + 1 = 1 + 2i.

3. 3

   Pour $z=i$z = i : $z^{\prime }=2i\times i+1=2i^2+1=-2+1=-1$z' = 2i× i + 1 = 2i² + 1 = -2 + 1 = -1.

4. 4

   Décomposition : la multiplication par $2i=2e^{i\pi /2}$2i = 2e^(iπ/2) est une rotation de $90°$90° autour de $O$O suivie d'une homothétie de rapport $2$2.

5. 5

   L'addition de $1$1 est ensuite une TRANSLATION de vecteur d'affixe $1$1, c'est-à-dire d'une unité vers la droite.

6. 6

   La transformation complète est donc : rotation de $90°$90°, agrandissement d'un facteur $2$2, puis translation d'une unité vers la droite.

7. 7

   Contrôle sur les distances : les points $1$1 et $i$i sont distants de $|i-1|=\sqrt{2}$|i - 1| = √2.

   Leurs images $1+2i$1+2i et $-1$-1 sont distantes de $|(1+2i)-(-1)|=|2+2i|=2\sqrt{2}$|(1+2i) - (-1)| = |2 + 2i| = 2sqrt2 ✔ exactement le double, conformément au rapport $2$2.

Rappel de cours : $z^{\prime }=az+b$z' = az + b avec $a=r{e}^{i\theta }$a = re^(iθ) : rotation d'angle $\theta$θ, homothétie de rapport $r$r, puis translation de $b$b. Les distances sont multipliées par $|a|$|a|.

Erreur fréquente : Traiter $2i\times i$2i× i comme $2i^2=2$2i² = 2 : $i^2=-1$i² = -1, donc le résultat est $-2$-2.

Correction détaillée

1. 1

   Réactance totale : $100-20=80\Omega$100 - 20 = 80 Ω, donc $Z=60+80j$Z = 60 + 80j ohms.

2. 2

   Module : $|Z|=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100\Omega$|Z| = √(60² + 80²) = √(3 600 + 6 400) = √(10 000) = 100 Ω.

3. 3

   Argument : $\cos \phi =\frac{60}{100}=0,6$cosφ = 60/100 = 0,6 et $\sin \phi =\frac{80}{100}=0,8$sinφ = 80/100 = 0,8.

4. 4

   $\phi =\arccos (0,6)\approx 0,9273$φ = arccos(0,6) ≈ 0,927 3 rad, soit environ $53,13°$53,13°.

5. 5

   Forme exponentielle : $Z=100e^{0,9273j}$Z = 100e^(0,9273j), ou $100e^{53,13°j}$100e^(53,13°j).

6. 6

   Amplitude du courant : $I=\frac{U}{|Z|}=\frac{200}{100}=2$I = U/|Z| = 200/100 = 2 A.

7. 7

   Déphasage : l'argument de $Z$Z étant positif, la tension est en AVANCE de $53,13°$53,13° sur le courant.

   Le circuit est globalement inductif, la bobine l'emportant sur le condensateur.

8. 8

   Remarque : à la résonance, $L\omega =\frac{1}{C\omega }$Lω = 1/Cω, la réactance s'annule et $Z=R=60\Omega$Z = R = 60 Ω.

   Le courant atteindrait alors $\frac{200}{60}\approx 3,33$200/60 ≈ 3,33 A, avec un déphasage nul.

9. 9

   Contrôle : $|Z|=100\Omega$|Z| = 100 Ω est supérieur à $R=60\Omega$R = 60 Ω ✔ toute réactance non compensée augmente l'impédance.

Rappel de cours : $Z=R+j\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)$Z = R + j(Lω - 1/Cω) : la réactance est la DIFFÉRENCE des deux, et elle s'annule à la résonance.

Erreur fréquente : Additionner les deux réactances ($100+20=120$100 + 20 = 120) : celle du condensateur est NÉGATIVE, elle se retranche.

Correction détaillée

1. 1

   Linéarisation : ${\cos }^2(\omega t)=\frac{1+\cos (2\omega t)}{2}$cos²(ω t) = (1 + cos(2ω t))/2.

2. 2

   Donc $p(t)=\frac{R{I}^2}{2}(1+\cos (2\omega t))$p(t) = (R I²)/2(1 + cos(2ω t)).

3. 3

   Valeur moyenne sur une période : celle du terme constant est $\frac{R{I}^2}{2}$(R I²)/2, et celle de $\cos (2\omega t)$cos(2ω t) est NULLE (il effectue exactement deux périodes sur l'intervalle $[0;T]$[0 ; T]).

4. 4

   Donc $P_{\text{moy}}=\frac{R{I}^2}{2}$P_moy = (R I²)/2.

5. 5

   Par définition de l'intensité efficace : $R{I}_{\text{eff}}^2=\frac{R{I}^2}{2}$R I_eff² = (R I²)/2, donc $I_{\text{eff}}^2=\frac{I^2}{2}$I_eff² = I²/2.

6. 6

   D'où $I_{\text{eff}}=\frac{I}{\sqrt{2}}\approx 0,707I$I_eff = I/sqrt2 ≈ 0,707 I.

7. 7

   C'est LA relation fondamentale du régime sinusoïdal : la valeur efficace vaut l'amplitude divisée par $\sqrt{2}$sqrt2.

8. 8

   Application : pour $I=4$I = 4 A, $I_{\text{eff}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2,83$I_eff = 4/sqrt2 = 2sqrt2 ≈ 2,83 A.

9. 9

   Contrôle de cohérence avec le secteur : $230$230 V efficaces correspondent à une amplitude de $230\sqrt{2}\approx 325$230 √2 ≈ 325 V ✔ — la relation réciproque.

10. 10

    Et c'est bien la linéarisation qui a permis ce résultat : sans elle, la valeur moyenne de ${\cos }^2$cos² serait incalculable au niveau du programme.