Dans la spécialité physique-chimie et mathématiques, la trigonométrie est l'outil des signaux périodiques : une tension alternative, une onde mécanique ou un mouvement oscillant se décrivent tous par un cosinus.

Au programme : le cercle trigonométrique et le radian ( $18 0^{\circ} = π$ 180°=π rad), les mesures d'un angle orienté et la mesure principale ; les fonctions $cos$ cos et $sin$ sin, leur périodicité $2 π$ 2π, leur parité ( $cos$ cos paire, $sin$ sin impaire), les valeurs remarquables en $0$ 0, $\frac{π}{6}$ π/6, $\frac{π}{4}$ π/4, $\frac{π}{3}$ π/3, $\frac{π}{2}$ π/2 et $π$ π, et les relations entre angles associés $- x$ -x, $π - x$ π-x, $π + x$ π+x, $\frac{π}{2} - x$ π/2-x, qui expliquent les symétries des courbes.

On étudie ensuite les fonctions $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ t↦ Acos(ω t+φ) et $t \mapsto A sin (ω t + φ)$ t↦ Asin(ω t+φ) : amplitude $A$ A, pulsation $ω$ ω, période $T = \frac{2 π}{ω}$ T=2π/ω, phase à l'origine $φ$ φ. Piège classique : résoudre $cos x = a$ cos x=a en ne donnant qu'une solution — le cercle en fournit deux par tour, $x = α + 2 k π$ x=α+2kπ ou $x = - α + 2 k π$ x=-α+2kπ.

Trigonométrie en Première STI2D : cours complet

Cercle trigonométrique et radian

Définition — Cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ O et de rayon $1$ 1, parcouru dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).

Définition — Radian. Un angle de $1$ 1 radian intercepte sur ce cercle un arc de longueur $1$ 1. Le tour complet mesure $2 π$ 2π rad, donc $18 0^{\circ} = π rad et angle en rad = angle en degr \overset{e}{ˊ} s \times \frac{π}{180} . 180°= π rad et angle en rad = angle en degrés \times π/180.$

Exemple. $3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ 30°= π/6 ; $4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ 45°= π/4 ; $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ 60°= π/3 ; $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ 90°= π/2 ; $12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}$ 120°= 2π/3 ; $\frac{5 π}{6} = 15 0^{\circ}$ 5π/6 = 150°.

Définition — Mesures d'un angle orienté. À chaque réel $x$ x correspond un point $M$ M du cercle (on enroule la droite des réels sur le cercle). Les réels $x + 2 k π$ x + 2kπ ( $k$ k entier) donnent le même point : ce sont les mesures du même angle orienté. Celle qui appartient à $] - π; π]$ ]-π ;π] est la mesure principale.

Exemple — Mesure principale. $\frac{17 π}{3} = \frac{18 π}{3} - \frac{π}{3} = 6 π - \frac{π}{3}$ 17π/3 = 18π/3 - π/3 = 6π - π/3 : on retire $3$ 3 tours, la mesure principale est $- \frac{π}{3}$ -π/3.

Cosinus et sinus d'un réel

Définition — Cosinus et sinus. Si $M$ M est le point du cercle associé au réel $x$ x, alors $cos x$ cos x est l'abscisse de $M$ M et $sin x$ sin x son ordonnée : $M (cos x; sin x), - 1 \leq cos x \leq 1, - 1 \leq sin x \leq 1, cos^{2} x + sin^{2} x = 1 M(cos x ;sin x), -1 \leq cos x \leq 1, -1 \leq sin x \leq 1, cos² x + sin² x = 1$

Le point $M$ M associé à $x = \frac{π}{3}$ x = π/3 : $cos x = \frac{1}{2}$ cos x = 1/2 et $sin x = \frac{3}{2}$ sin x = sqrt3/2.

Propriété — Valeurs remarquables.

$x$ x	$0$ 0	$\frac{π}{6}$ π/6	$\frac{π}{4}$ π/4	$\frac{π}{3}$ π/3	$\frac{π}{2}$ π/2	$π$ π
$cos x$ cos x	$1$ 1	$\frac{3}{2}$ sqrt3/2	$\frac{2}{2}$ sqrt2/2	$\frac{1}{2}$ 1/2	$0$ 0	$- 1$ -1
$sin x$ sin x	$0$ 0	$\frac{1}{2}$ 1/2	$\frac{2}{2}$ sqrt2/2	$\frac{3}{2}$ sqrt3/2	$1$ 1	$0$ 0

Propriété — Angles associés. Les symétries du cercle donnent, pour tout réel $x$ x :

Angle	cosinus	sinus
$- x$ -x (symétrie par rapport à l'axe des abscisses)	$cos x$ cos x	$- sin x$ -sin x
$π - x$ π - x (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)	$- cos x$ -cos x	$sin x$ sin x
$π + x$ π + x (symétrie de centre $O$ O)	$- cos x$ -cos x	$- sin x$ -sin x
$\frac{π}{2} - x$ π/2 - x (symétrie par rapport à la droite $y = x$ y = x)	$sin x$ sin x	$cos x$ cos x

Exemple. $cos \frac{2 π}{3} = cos (π - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ cos2π/3 = cos(π - π/3) = -1/2 ; $sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$ sin(-π/4) = -sqrt2/2 ; $cos \frac{5 π}{4} = cos (π + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$ cos5π/4 = cos(π + π/4) = -sqrt2/2.

Fonctions cosinus et sinus

Propriété — Périodicité et parité. Pour tout réel $x$ x : $cos (x + 2 π) = cos x$ cos(x + 2π) = cos x et $sin (x + 2 π) = sin x$ sin(x + 2π) = sin x : les deux fonctions sont périodiques de période $2 π$ 2π. $cos (- x) = cos x$ cos(-x) = cos x : cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; $sin (- x) = - sin x$ sin(-x) = -sin x : sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à $O$ O).

Courbes des fonctions cosinus et sinus : on passe de l'une à l'autre par une translation de $\frac{π}{2}$ π/2.

Méthode — Résoudre $cos x = a$ cos x = a ou $sin x = a$ sin x = a. On place $a$ a sur l'axe des abscisses (cosinus) ou des ordonnées (sinus) : la droite correspondante coupe le cercle en deux points en général. Si $cos α = a$ cosα = a, les solutions sont $x = α + 2 k π$ x = α + 2kπ ou $x = - α + 2 k π$ x = -α + 2kπ ; si $sin α = a$ sinα = a, ce sont $x = α + 2 k π$ x = α + 2kπ ou $x = π - α + 2 k π$ x = π - α + 2kπ.

Exemple. Sur $] - π; π]$ ]-π ;π] : $cos x = \frac{1}{2} ⟺ x = \frac{π}{3}$ cos x = 1/2 ⇔ x = π/3 ou $x = - \frac{π}{3}$ x = -π/3. Sur $[0; 2 π [$ [0 ;2π[ : $sin x = \frac{2}{2} ⟺ x = \frac{π}{4}$ sin x = sqrt2/2 ⇔ x = π/4 ou $x = \frac{3 π}{4}$ x = 3π/4.

Signaux sinusoïdaux

Définition — Fonction $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ t ↦ Acos(ω t + φ). Avec $A > 0$ A > 0 et $ω > 0$ ω > 0, la fonction $s (t) = A cos (ω t + φ)$ s(t) = Acos(ω t + φ) modélise un signal sinusoïdal :

$A$ A est l'amplitude : $s$ s varie entre $- A$ -A et $A$ A ;
$ω$ ω est la pulsation (en rad/s) ;
la période est $T = \frac{2 π}{ω}$ T = 2π/ω et la fréquence $f = \frac{1}{T}$ f = 1/T (en hertz), d'où $ω = 2 π f$ ω = 2π f ;
$φ$ φ est la phase à l'origine.

Il en est de même pour $t \mapsto A sin (ω t + φ)$ t ↦ Asin(ω t + φ).

Exemple — Un courant alternatif. $i (t) = 2 cos (100 π t - \frac{π}{3})$ i(t) = 2cos(100π t - π/3) (en ampères, $t$ t en secondes). Amplitude $2$ 2 A ; pulsation $100 π$ 100π rad/s ; période $T = \frac{2 π}{100 π} = 0, 02$ T = 2π/100π = 0,02 s ; fréquence $50$ 50 Hz ; à l'instant $0$ 0 : $i (0) = 2 cos (- \frac{π}{3}) = 1$ i(0) = 2cos(-π/3) = 1 A.

Le courant $i (t) = 2 cos (100 π t - \frac{π}{3})$ i(t) = 2cos(100π t - π/3) : deux maxima consécutifs sont séparés d'une période.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Mélanger degrés et radians (calculatrice mal réglée).
Donner une seule solution à $cos x = a$ cos x = a : il y en a deux par tour en général.
Écrire $T = \frac{ω}{2 π}$ T = ω/2π au lieu de $T = \frac{2 π}{ω}$ T = 2π/ω.
Confondre $cos (π - x) = - cos x$ cos(π - x) = -cos x et $sin (π - x) = sin x$ sin(π - x) = sin x.

Fiche de synthèse

Radian	$18 0^{\circ} = π$ 180°= π rad ; mesures $x + 2 k π$ x + 2kπ ; principale dans $] - π; π]$ ]-π ;π]
Cercle	$M (cos x; sin x)$ M(cos x ;sin x) ; $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ cos² x + sin² x = 1
Angles associés	$cos (- x) = cos x$ cos(-x) = cos x ; $sin (- x) = - sin x$ sin(-x) = -sin x ; $cos (π - x) = - cos x$ cos(π - x) = -cos x ; $sin (π - x) = sin x$ sin(π - x) = sin x
Fonctions	période $2 π$ 2π ; $cos$ cos paire, $sin$ sin impaire
Signal	$A cos (ω t + φ)$ Acos(ω t + φ) : $T = \frac{2 π}{ω}$ T = 2π/ω, $f = \frac{1}{T}$ f = 1/T, $ω = 2 π f$ ω = 2π f

Exercices d'application

Exercice 1 – Conversions

Convertir $13 5^{\circ}$ 135° en radians et $\frac{5 π}{6}$ 5π/6 rad en degrés.

Exercice 2 – Mesure principale

Déterminer la mesure principale de $\frac{25 π}{4}$ 25π/4.

Exercice 3 – Valeurs exactes

Calculer $cos \frac{5 π}{6}$ cos5π/6 et $sin (- \frac{2 π}{3})$ sin(-2π/3).

Exercice 4 – Équation

Résoudre $sin x = \frac{1}{2}$ sin x = 1/2 dans $] - π; π]$ ]-π ;π].

Exercice 5 – Signal

On considère $u (t) = 12 sin (200 π t)$ u(t) = 12sin(200π t). Donner l'amplitude, la période et la fréquence, puis calculer $u (0, 0025)$ u(0,0025).

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}$ 135 × π/180 = 3π/4 rad ; $\frac{5 π}{6} = \frac{5 \times 18 0 ^{\circ}}{6} = 15 0^{\circ}$ 5π/6 = dfrac5 × 180°6 = 150°.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $\frac{25 π}{4} = \frac{24 π}{4} + \frac{π}{4} = 6 π + \frac{π}{4}$ 25π/4 = 24π/4 + π/4 = 6π + π/4 : mesure principale $\frac{π}{4}$ π/4.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $cos \frac{5 π}{6} = cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$ cos5π/6 = cos(π - π/6) = -sqrt3/2 ; $sin (- \frac{2 π}{3}) = - sin (π - \frac{π}{3}) = - sin \frac{π}{3} = - \frac{3}{2}$ sin(-2π/3) = -sin(π - π/3) = -sinπ/3 = -sqrt3/2.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ sinπ/6 = 1/2, donc $x = \frac{π}{6}$ x = π/6 ou $x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ x = π - π/6 = 5π/6 (les deux sont dans $] - π; π]$ ]-π ;π]).

Corrigé de l'exercice 5

Corrigé. Amplitude $12$ 12 ; $ω = 200 π$ ω = 200π, $T = \frac{2 π}{200 π} = 0, 01$ T = 2π/200π = 0,01 s, $f = 100$ f = 100 Hz. $u (0, 0025) = 12 sin (0, 5 π) = 12 sin \frac{π}{2} = 12$ u(0,0025) = 12sin(0,5π) = 12sinπ/2 = 12.

Trigonométrie en Première STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Radians, cercle trigonométrique et signaux sinusoïdaux

Plaquette 2 – Radians et cercle trigonométrique

Plaquette 3 – Résoudre cos x = a et sin x = a

Plaquette 4 – Signaux sinusoïdaux : amplitude, période, fréquence

Plaquette 5 – Déphasage : lire et exploiter A cos(ωt + φ)

Leçon complète