Exercices corrigés : Produit scalaire — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Définition géométrique : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \theta$vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ × ‖ vecteur v ‖ × cosθ.

2. 2

   Avec $\theta =60°$θ = 60° : $\cos 60°=\frac{1}{2}$cos 60° = 1/2, donc $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\times 6\times \frac{1}{2}=12$vecteur u · vecteur v = 4 × 6 × 1/2 = 12.

3. 3

   Avec $\theta =120°$θ = 120° : $\cos 120°=-\frac{1}{2}$cos 120° = -1/2, donc $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\times 6\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-12$vecteur u · vecteur v = 4 × 6 × (-1/2) = -12.

4. 4

   Le produit scalaire change de SIGNE avec l'angle : positif si l'angle est aigu, nul s'il est droit, négatif s'il est obtus.

5. 5

   Interprétation : le signe dit si les deux vecteurs « vont plutôt dans le même sens » (positif) ou « plutôt en sens contraires » (négatif).

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ : le résultat est un NOMBRE, pas un vecteur.

Erreur fréquente : Écrire le résultat sous forme de vecteur (avec une flèche). Un produit scalaire est un scalaire, c'est-à-dire un réel.

Correction détaillée

1. 1

   En base orthonormée : $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 4+(-2)\times 5=12-10=2$vecteur u · vecteur v = 3 × 4 + (-2) × 5 = 12 - 10 = 2.

3. 3

   $\vec{u}\cdot \vec{u}=3\times 3+(-2)\times (-2)=9+4=13$vecteur u · vecteur u = 3 × 3 + (-2)×(-2) = 9 + 4 = 13.

4. 4

   Par ailleurs $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}$‖ vecteur u ‖ = √(3² + (-2)²) = √(13), donc $\Vert \vec{u}{\Vert }^2=13$‖ vecteur u ‖² = 13.

5. 5

   Les deux résultats coïncident : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖².

   C'est cohérent avec la définition géométrique, l'angle d'un vecteur avec lui-même étant nul ($\cos 0=1$cos 0 = 1).

6. 6

   Cette égalité est très utilisée : elle permet de passer d'un carré de longueur à un produit scalaire, et inversement.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v = xx' + yy' (repère ORTHONORMÉ) · $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖².

Erreur fréquente : Multiplier les coordonnées « en croix » ($x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }$xy' + yx') : la formule associe les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

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1. 1

   Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB : $(5-1;5-2)=(4;3)$(5 - 1 ; 5 - 2) = (4 ; 3).

2. 2

   $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$‖ vecteur AB ‖ = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5.

3. 3

   Coordonnées de $\overrightarrow{AC}$vecteur AC : $(-2-1;6-2)=(-3;4)$(-2 - 1 ; 6 - 2) = (-3 ; 4).

4. 4

   $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$‖ vecteur AC ‖ = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5.

5. 5

   Produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times (-3)+3\times 4=-12+12=0$vecteur AB · vecteur AC = 4×(-3) + 3× 4 = -12 + 12 = 0.

6. 6

   Le produit scalaire est NUL : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC sont orthogonaux, donc le triangle $ABC$ABC est rectangle en $A$A (et même isocèle, les deux côtés valant $5$5).

Rappel de cours : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$vecteur AB (x_B - x_A ; y_B - y_A) et $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$‖ vecteur u ‖ = √(x²+y²).

Erreur fréquente : Calculer $\overrightarrow{AB}$vecteur AB comme $(x_A-x_B;y_A-y_B)$(x_A - x_B ; y_A - y_B) : on obtiendrait le vecteur opposé. L'arrivée moins le départ, toujours.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=6\times 2+(-4)\times 3=12-12=0$vecteur u · vecteur v = 6× 2 + (-4)× 3 = 12 - 12 = 0 : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont ORTHOGONAUX.

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{w}=6\times (-3)+(-4)\times 2=-18-8=-26\ne 0$vecteur u · vecteur w = 6×(-3) + (-4)× 2 = -18 - 8 = -26 ≠ 0 : pas orthogonaux.

3. 3

   $\vec{v}\cdot \vec{w}=2\times (-3)+3\times 2=-6+6=0$vecteur v · vecteur w = 2×(-3) + 3× 2 = -6 + 6 = 0 : $\vec{v}$vecteur v et $\vec{w}$vecteur w sont ORTHOGONAUX.

4. 4

   Pour la colinéarité, on calcule le déterminant $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$xy' - yx'.

   Pour $\vec{u}$vecteur u et $\vec{w}$vecteur w : $6\times 2-(-4)\times (-3)=12-12=0$6× 2 - (-4)×(-3) = 12 - 12 = 0 : ils sont COLINÉAIRES.

5. 5

   On le voit directement : $\vec{u}=-2\vec{w}$vecteur u = -2 vecteur w (car $-2\times (-3)=6$-2 × (-3) = 6 et $-2\times 2=-4$-2 × 2 = -4).

6. 6

   Cohérence d'ensemble : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{w}$vecteur w sont colinéaires, donc ils sont tous deux orthogonaux au même vecteur $\vec{v}$vecteur v ✔ (et l'on retrouve $\vec{u}\cdot \vec{w}=-26=-2\Vert \vec{w}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur w = -26 = -2‖ vecteur w ‖², avec $\Vert \vec{w}{\Vert }^2=13$‖ vecteur w ‖² = 13).

Rappel de cours : Orthogonaux $⟺x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0$⇔ xx' + yy' = 0 · colinéaires $⟺x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$⇔ xy' - yx' = 0. Deux tests différents, à ne pas confondre.

Erreur fréquente : Utiliser le produit scalaire pour tester la colinéarité. Un produit scalaire non nul ne dit rien sur la colinéarité.

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1. 1

   Même sens : l'angle vaut $0$0, donc $\cos 0=1$cos 0 = 1 et $\vec{u}\cdot \vec{v}=5\times 3\times 1=15$vecteur u · vecteur v = 5 × 3 × 1 = 15.

2. 2

   Sens contraires : l'angle vaut $180°$180°, donc $\cos 180°=-1$cos 180° = -1 et $\vec{u}\cdot \vec{v}=5\times 3\times (-1)=-15$vecteur u · vecteur v = 5 × 3 × (-1) = -15.

3. 3

   Orthogonaux : l'angle vaut $90°$90°, donc $\cos 90°=0$cos 90° = 0 et $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u · vecteur v = 0.

4. 4

   À retenir : le produit scalaire est compris entre $-\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$-‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖ et $+\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$+‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖, c'est-à-dire ici entre $-15$-15 et $15$15.

5. 5

   Les valeurs extrêmes correspondent aux vecteurs colinéaires, la valeur nulle à l'orthogonalité.

   Un produit scalaire de $20$20 avec ces normes serait donc impossible.

Rappel de cours : $-\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \le \vec{u}\cdot \vec{v}\le \Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$-‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖ ≤ vecteur u · vecteur v ≤ ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖ : les extrêmes sont atteints pour des vecteurs colinéaires.

Erreur fréquente : Oublier le signe négatif pour des vecteurs de sens contraires : le produit scalaire vaut $-15$-15, pas $15$15.

Correction détaillée

1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 5+4\times 0=15$vecteur u · vecteur v = 3× 5 + 4× 0 = 15.

2. 2

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{9+16}=5$‖ vecteur u ‖ = √(9 + 16) = 5 et $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{25+0}=5$‖ vecteur v ‖ = √(25 + 0) = 5.

3. 3

   On utilise la définition géométrique pour isoler le cosinus : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ = ( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

4. 4

   $\cos \theta =\frac{15}{5\times 5}=\frac{15}{25}=0,6$cosθ = 15/(5 × 5) = 15/25 = 0,6.

5. 5

   À la calculatrice, $\theta =\arccos (0,6)\approx 53,13°$θ = arccos(0,6) ≈ 53,13°, soit environ $53°$53°.

6. 6

   Contrôle de vraisemblance : $\cos \theta =0,6>0$cosθ = 0,6 > 0, l'angle est donc aigu ✔.

   Et $\vec{v}$vecteur v étant porté par l'axe des abscisses, l'angle cherché est simplement l'inclinaison de $\vec{u}(3;4)$vecteur u (3 ; 4), dont la pente $\frac{4}{3}\approx 1,33$4/3 ≈ 1,33 correspond bien à environ $53°$53°.

Rappel de cours : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ = ( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖), puis $\theta =\arccos (\dots )$θ = arccos(…).

Erreur fréquente : Oublier de diviser par le produit des normes : $\arccos (15)$arccos(15) n'existe pas, le cosinus étant toujours dans $[-1;1]$[-1 ; 1].

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1. 1

   Le travail d'une force est le produit scalaire $W=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}=\Vert \vec{F}\Vert \times AB\times \cos \theta$W = vecteur F · vecteur AB = ‖ vecteur F ‖ × AB × cosθ.

2. 2

   $W=150\times 20\times \cos 30°=3000\times \frac{\sqrt{3}}{2}=1500\sqrt{3}$W = 150 × 20 × cos 30° = 3 000 × √(3)/2 = 1 500√(3).

3. 3

   $1500\sqrt{3}\approx 2598$1 500√(3) ≈ 2 598 J.

4. 4

   Composante utile : c'est la PROJECTION de la force sur la direction du déplacement, soit $150\cos 30°=150\times 0,866\approx 129,9$150cos 30° = 150 × 0,866 ≈ 129,9 N.

5. 5

   Contrôle : cette composante multipliée par la distance donne $129,9\times 20\approx 2598$129,9 × 20 ≈ 2 598 J ✔ — même résultat, ce qui illustre bien que le produit scalaire « ne retient que la projection ».

6. 6

   Si la force était verticale, l'angle avec le déplacement horizontal serait de $90°$90°, donc $\cos 90°=0$cos 90° = 0 et $W=0$W = 0 J.

7. 7

   Conclusion physique : une force perpendiculaire au déplacement ne travaille PAS.

   C'est pour cela que le poids ne travaille pas lors d'un déplacement horizontal.

Rappel de cours : $W=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}$W = vecteur F · vecteur AB : seule la composante de la force DANS la direction du déplacement travaille.

Erreur fréquente : Multiplier $150\times 20=3000$150 × 20 = 3 000 J sans tenir compte de l'angle : on surestime le travail de $15\%$15%.

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1. 1

   Le produit scalaire se développe comme un produit de nombres (bilinéarité) : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{v}$( vecteur u + vecteur v )·( vecteur u - vecteur v ) = vecteur u · vecteur u - vecteur u · vecteur v + vecteur v · vecteur u - vecteur v · vecteur v.

2. 2

   Comme $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$vecteur u · vecteur v = vecteur v · vecteur u (symétrie), les deux termes du milieu se compensent : il reste $\Vert \vec{u}{\Vert }^2-\Vert \vec{v}{\Vert }^2$‖ vecteur u ‖² - ‖ vecteur v ‖².

3. 3

   $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=9-25=-16$( vecteur u + vecteur v )·( vecteur u - vecteur v ) = 9 - 25 = -16.

4. 4

   Pour la norme de la somme : $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$‖ vecteur u + vecteur v ‖² = ( vecteur u + vecteur v )·( vecteur u + vecteur v ) = ‖ vecteur u ‖² + 2 vecteur u · vecteur v + ‖ vecteur v ‖².

5. 5

   $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=9+2\times (-4)+25=9-8+25=26$‖ vecteur u + vecteur v ‖² = 9 + 2×(-4) + 25 = 9 - 8 + 25 = 26.

6. 6

   Donc $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =\sqrt{26}\approx 5,10$‖ vecteur u + vecteur v ‖ = √(26) ≈ 5,10.

7. 7

   Remarque : $\sqrt{26}<3+5=8$√(26) < 3 + 5 = 8.

   C'est normal, l'inégalité triangulaire impose $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert \le \Vert \vec{u}\Vert +\Vert \vec{v}\Vert$‖ vecteur u + vecteur v ‖ ≤ ‖ vecteur u ‖ + ‖ vecteur v ‖, avec égalité seulement pour des vecteurs de même sens.

Rappel de cours : $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$‖ vecteur u + vecteur v ‖² = ‖ vecteur u ‖² + 2 vecteur u · vecteur v + ‖ vecteur v ‖² : l'identité remarquable vaut aussi pour les vecteurs.

Erreur fréquente : Écrire $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =\Vert \vec{u}\Vert +\Vert \vec{v}\Vert =8$‖ vecteur u + vecteur v ‖ = ‖ vecteur u ‖ + ‖ vecteur v ‖ = 8. Les normes ne s'additionnent que si les vecteurs sont colinéaires de même sens.

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1. 1

   Orthogonalité : $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u · vecteur v = 0, soit $4x+(-3)\times 8=0$4x + (-3)× 8 = 0.

2. 2

   $4x-24=0$4x - 24 = 0, donc $x=6$x = 6.

   Le vecteur $\vec{v}(6;8)$vecteur v (6 ; 8) est orthogonal à $\vec{u}$vecteur u.

3. 3

   Contrôle : $4\times 6+(-3)\times 8=24-24=0$4 × 6 + (-3)× 8 = 24 - 24 = 0 ✔.

4. 4

   Colinéarité : le déterminant doit être nul, soit $4\times 8-(-3)\times x=0$4 × 8 - (-3) × x = 0.

5. 5

   $32+3x=0$32 + 3x = 0, donc $x=-\frac{32}{3}\approx -10,67$x = -32/3 ≈ -10,67.

6. 6

   Contrôle : $\vec{v}\left(-\frac{32}{3};8\right)$vecteur v (-32/3 ; 8) est bien colinéaire à $\vec{u}(4;-3)$vecteur u (4 ; -3), car $\vec{v}=-\frac{8}{3}\vec{u}$vecteur v = -8/3 vecteur u (en effet $-\frac{8}{3}\times 4=-\frac{32}{3}$-8/3× 4 = -32/3 et $-\frac{8}{3}\times (-3)=8$-8/3×(-3) = 8) ✔.

7. 7

   Observation : les deux valeurs de $x$x sont très différentes — l'orthogonalité et la colinéarité sont deux conditions indépendantes, chacune donnant UNE équation.

Rappel de cours : Une condition d'orthogonalité ou de colinéarité donne une ÉQUATION du premier degré en l'inconnue.

Erreur fréquente : Utiliser le produit scalaire pour la seconde question : on retrouverait $x=6$x = 6, qui est la réponse à la première.

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1. 1

   $\overrightarrow{BA}=(-1-3;2-4)=(-4;-2)$vecteur BA = (-1 - 3 ; 2 - 4) = (-4 ; -2) et $\overrightarrow{BC}=(5-3;0-4)=(2;-4)$vecteur BC = (5 - 3 ; 0 - 4) = (2 ; -4).

2. 2

   $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4)\times 2+(-2)\times (-4)=-8+8=0$vecteur BA · vecteur BC = (-4)× 2 + (-2)×(-4) = -8 + 8 = 0.

3. 3

   Le produit scalaire est nul : les côtés $[BA]$[BA] et $[BC]$[BC] sont perpendiculaires.

   Le triangle est donc RECTANGLE EN $B$B.

4. 4

   Longueurs des côtés de l'angle droit : $BA=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$BA = √(16 + 4) = √(20) = 2√(5) et $BC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$BC = √(4 + 16) = √(20) = 2√(5).

5. 5

   Aire d'un triangle rectangle : la moitié du produit des côtés de l'angle droit.

6. 6

   $\mathcal{A}=\frac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}=\frac{4\times 5}{2}=10$A = (2√(5) × 2√(5))/2 = (4 × 5)/2 = 10 unités d'aire.

7. 7

   Contrôle : le triangle est rectangle ISOCÈLE en $B$B (les deux côtés valant $2\sqrt{5}$2√(5)), et son hypoténuse vaut $AC=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$AC = √(36 + 4) = √(40) = 2√(10).

   Vérification par Pythagore : $20+20=40$20 + 20 = 40 ✔.

Rappel de cours : Pour tester un angle droit EN $B$B, on calcule $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$vecteur BA · vecteur BC : les deux vecteurs partent du sommet testé.

Erreur fréquente : Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$vecteur AB · vecteur BC : les vecteurs ne partent pas du même point, le résultat ne teste pas l'angle en $B$B (ici on trouverait $8-8=0$8 - 8 = 0 par coïncidence de signes, mais la méthode est fausse).

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1. 1

   Théorème d'Al-Kashi : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\times AB\times AC\times \cos \hat{A}$BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cosÂ.

2. 2

   $B{C}^2=49+25-2\times 7\times 5\times \cos 60°$BC² = 49 + 25 - 2 × 7 × 5 × cos 60°.

3. 3

   $\cos 60°=0,5$cos 60° = 0,5, donc $2\times 7\times 5\times 0,5=35$2 × 7 × 5 × 0,5 = 35.

4. 4

   $B{C}^2=74-35=39$BC² = 74 - 35 = 39.

5. 5

   $BC=\sqrt{39}\approx 6,245$BC = √(39) ≈ 6,245, soit environ $6,2$6,2 cm.

6. 6

   Pythagore ne s'applique pas : le triangle n'est pas rectangle (l'angle connu vaut $60°$60°).

   Al-Kashi est justement sa généralisation.

7. 7

   Vérification du lien : si $\hat{A}$Â valait $90°$90°, alors $\cos 90°=0$cos 90° = 0, le terme correctif disparaîtrait et l'on retrouverait $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC², c'est-à-dire Pythagore exactement.

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : $BC=6,2$BC = 6,2 est bien compris entre $7-5=2$7 - 5 = 2 et $7+5=12$7 + 5 = 12, comme l'exige l'inégalité triangulaire ✔.

Rappel de cours : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$a² = b² + c² - 2bccosÂ, où $a$a est le côté OPPOSÉ à l'angle $\hat{A}$Â.

Erreur fréquente : Additionner le terme correctif au lieu de le retrancher : on trouverait $BC=\sqrt{109}\approx 10,4$BC = √(109) ≈ 10,4 cm, ce qui est incompatible avec un angle aigu de $60°$60°.

Correction détaillée

1. 1

   On note $a=8$a = 8 le côté opposé à l'angle cherché $\hat{A}$Â, avec $b=5$b = 5 et $c=7$c = 7.

2. 2

   Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$a² = b² + c² - 2bccosÂ, soit $64=25+49-2\times 5\times 7\times \cos \hat{A}$64 = 25 + 49 - 2 × 5 × 7 × cosÂ.

3. 3

   $64=74-70\cos \hat{A}$64 = 74 - 70cosÂ, donc $70\cos \hat{A}=74-64=10$70cos = 74 - 64 = 10.

4. 4

   $\cos \hat{A}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0,1429$cos = 10/70 = 1/7 ≈ 0,1429.

5. 5

   $\hat{A}=\arccos \left(\frac{1}{7}\right)\approx 81,79°$Â = arccos(1/7) ≈ 81,79°, soit environ $82°$82°.

6. 6

   Le triangle n'est donc PAS rectangle : l'angle le plus grand vaut $82°$82° et non $90°$90°.

7. 7

   Contrôle par Pythagore : $5^2+7^2=74$5² + 7² = 74 alors que $8^2=64$8² = 64.

   Comme $64<74$64 < 74, l'angle opposé au plus grand côté est AIGU ✔ — cohérent avec $82°$82°.

8. 8

   Règle utile : si $a^2<b^2+c^2$a² < b² + c², l'angle $\hat{A}$Â est aigu ; s'il est égal, l'angle est droit ; s'il est plus grand, l'angle est obtus.

Rappel de cours : Al-Kashi se retourne pour donner un angle : $\cos \hat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$cos = (b²+c²-a²)/2bc.

Erreur fréquente : Prendre le côté de $8$8 cm pour $b$b ou $c$c : dans la formule, $a$a est TOUJOURS le côté opposé à l'angle cherché.

Correction détaillée

1. 1

   Norme du poids : $P=mg=40\times 9,81=392,4$P = m g = 40 × 9,81 = 392,4 N.

2. 2

   Le déplacement fait un angle de $20°$20° avec l'horizontale, donc un angle de $90°+20°=110°$90° + 20° = 110° avec le poids (vertical vers le bas), puisque la caisse MONTE.

3. 3

   Travail : $W=\vec{P}\cdot \overrightarrow{AB}=P\times AB\times \cos 110°$W = vecteur P · vecteur AB = P × AB × cos 110°.

4. 4

   $\cos 110°\approx -0,342$cos 110° ≈ -0,342, donc $W\approx 392,4\times 12\times (-0,342)\approx -1610,8$W ≈ 392,4 × 12 × (-0,342) ≈ -1 610,8 J.

5. 5

   Le travail est NÉGATIF : le poids s'oppose au déplacement.

   On dit qu'il est résistant.

6. 6

   Contrôle par une autre route : le travail du poids ne dépend que du dénivelé, $h=12\sin 20°\approx 4,104$h = 12sin 20° ≈ 4,104 m.

   On attend $W=-Ph\approx -392,4\times 4,104\approx -1610,5$W = -P h ≈ -392,4 × 4,104 ≈ -1 610,5 J ✔ (l'écart vient des arrondis).

7. 7

   Interprétation : il faut fournir au moins $1611$1 611 J pour élever cette caisse de $4,1$4,1 m — c'est l'énergie que « coûte » la montée, indépendamment de la longueur de la pente.

Rappel de cours : $W=\Vert \vec{F}\Vert \times AB\times \cos \theta$W = ‖ vecteur F ‖ × AB × cosθ, avec $\theta$θ l'angle entre la FORCE et le DÉPLACEMENT. Un $\cos$cos négatif donne un travail résistant.

Erreur fréquente : Prendre $\theta =20°$θ = 20° : c'est l'angle du plan avec l'horizontale, pas l'angle entre le poids et le déplacement, qui vaut $110°$110°.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}(8;0)$vecteur AB (8 ; 0) et $\overrightarrow{AC}(2;5)$vecteur AC (2 ; 5), donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\times 2+0\times 5=16$vecteur AB · vecteur AC = 8× 2 + 0× 5 = 16.

2. 2

   Le projeté $H$H appartient à $(AB)$(AB), qui est l'axe des abscisses : donc $H(x_H;0)$H(x_H ; 0).

3. 3

   La longueur $AH$AH se lit dans le produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH$vecteur AB · vecteur AC = AB × AH lorsque $H$H est du même côté que $B$B (projection sur une direction).

4. 4

   Ici $AB=8$AB = 8, donc $8\times AH=16$8 × AH = 16 et $AH=2$AH = 2.

5. 5

   Ainsi $H(2;0)$H(2 ; 0) — ce qui se voit aussi directement : le projeté de $C(2;5)$C(2 ; 5) sur l'axe des abscisses a la même abscisse.

6. 6

   $CH$CH : $\overrightarrow{HC}(0;5)$vecteur HC (0 ; 5), donc $CH=5$CH = 5.

7. 7

   Aire du triangle : $\mathcal{A}=\frac{AB\times CH}{2}=\frac{8\times 5}{2}=20$A = (AB × CH)/2 = (8 × 5)/2 = 20 unités d'aire.

8. 8

   Contrôle de l'orthogonalité : $\overrightarrow{HC}(0;5)$vecteur HC (0 ; 5) et $\overrightarrow{AB}(8;0)$vecteur AB (8 ; 0) donnent $0\times 8+5\times 0=0$0 × 8 + 5 × 0 = 0 ✔ $H$H est bien le projeté orthogonal.

Rappel de cours : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH$vecteur AB · vecteur AC = AB × AH où $H$H est le projeté orthogonal de $C$C sur $(AB)$(AB) : le produit scalaire MESURE la projection.

Erreur fréquente : Confondre $AH$AH (projection, ici $2$2) et $AC$AC (longueur réelle, ici $\sqrt{29}\approx 5,39$√(29) ≈ 5,39).

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}=(6;2)$vecteur AB = (6 ; 2) et $\overrightarrow{DC}=(5-(-1);5-3)=(6;2)$vecteur DC = (5 - (-1) ; 5 - 3) = (6 ; 2).

2. 2

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC : le quadrilatère $ABCD$ABCD est donc un PARALLÉLOGRAMME.

3. 3

   Pour l'angle droit, on teste l'angle en $A$A : $\overrightarrow{AB}=(6;2)$vecteur AB = (6 ; 2) et $\overrightarrow{AD}=(-1;3)$vecteur AD = (-1 ; 3).

4. 4

   $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=6\times (-1)+2\times 3=-6+6=0$vecteur AB · vecteur AD = 6 × (-1) + 2 × 3 = -6 + 6 = 0.

5. 5

   Le produit scalaire est nul : l'angle en $A$A est DROIT.

6. 6

   Un parallélogramme ayant un angle droit est un RECTANGLE.

7. 7

   Dimensions : $AB=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$AB = √(36 + 4) = √(40) = 2√(10) ≈ 6,32 cm et $AD=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\approx 3,16$AD = √(1 + 9) = √(10) ≈ 3,16 cm.

8. 8

   Aire : $\mathcal{A}=AB\times AD=2\sqrt{10}\times \sqrt{10}=2\times 10=20$A = AB × AD = 2√(10) × √(10) = 2 × 10 = 20 cm².

9. 9

   Contrôle : la plaque est deux fois plus longue que large ($AB=2\times AD$AB = 2 × AD) ✔, et son aire de $20$20 cm² est cohérente avec $6,32\times 3,16\approx 20$6,32 × 3,16 ≈ 20 ✔.

10. 10

    Remarque : ce n'est pas un carré, puisque les côtés consécutifs ne sont pas égaux.

Rappel de cours : Parallélogramme ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC) + un angle droit (produit scalaire nul) $\Rightarrow$⇒ rectangle.

Erreur fréquente : Tester $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}$vecteur AB · vecteur DC : ces deux vecteurs sont égaux, leur produit scalaire vaut $40$40 et ne renseigne pas sur les angles. Il faut deux côtés CONSÉCUTIFS.

Correction détaillée

1. 1

   On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.

2. 2

   $A{C}^2=3^2=9$AC² = 3² = 9 et $A{B}^2+B{C}^2=2,4^2+1,8^2=5,76+3,24=9$AB² + BC² = 2,4² + 1,8² = 5,76 + 3,24 = 9.

3. 3

   Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est RECTANGLE EN $B$B.

4. 4

   (On reconnaît un triangle $3$3-$4$4-$5$5 à l'échelle $0,6$0,6 : $1,8=0,6\times 3$1,8 = 0,6× 3, $2,4=0,6\times 4$2,4 = 0,6 × 4, $3=0,6\times 5$3 = 0,6× 5.)

5. 5

   Angle en $A$A : dans le triangle rectangle, $\cos \hat{A}=\frac{AB}{AC}=\frac{2,4}{3}=0,8$cos = AB/AC = 2,4/3 = 0,8.

6. 6

   $\hat{A}=\arccos (0,8)\approx 36,87°$Â = arccos(0,8) ≈ 36,87°, soit environ $37°$37°.

7. 7

   Angle en $C$C : la somme des angles valant $180°$180°, $\hat{C}=180-90-36,87=53,13°$Ĉ = 180 - 90 - 36,87 = 53,13°, soit environ $53°$53°.

8. 8

   Contrôle par Al-Kashi en $C$C : $\cos \hat{C}=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\times BC\times AC}=\frac{3,24+9-5,76}{2\times 1,8\times 3}=\frac{6,48}{10,8}=0,6$cosĈ = (BC² + AC² - AB²)/(2 × BC × AC) = (3,24 + 9 - 5,76)/(2 × 1,8 × 3) = 6,48/10,8 = 0,6, et $\arccos (0,6)\approx 53,13°$arccos(0,6) ≈ 53,13° ✔.

9. 9

   Aire : le triangle étant rectangle en $B$B, $\mathcal{A}=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{2,4\times 1,8}{2}=\frac{4,32}{2}=2,16$A = (AB × BC)/2 = (2,4 × 1,8)/2 = 4,32/2 = 2,16 m².

10. 10

    Lecture pour le bureau d'études : les angles de $37°$37° et $53°$53° sont les angles de coupe des barres aux nœuds $A$A et $C$C.

Rappel de cours : Réciproque de Pythagore : si $a^2=b^2+c^2$a² = b² + c², le triangle est rectangle au sommet OPPOSÉ au côté $a$a.

Erreur fréquente : Annoncer « rectangle en $A$A » : l'angle droit est opposé au plus GRAND côté, ici $AC$AC, donc il est en $B$B.

Correction détaillée

1. 1

   Travail de la traction : $W_1=200\times 15\times \cos 25°$W₁ = 200 × 15 × cos 25°.

2. 2

   $\cos 25°\approx 0,9063$cos 25° ≈ 0,9063, donc $W_1\approx 3000\times 0,9063\approx 2718,9$W₁ ≈ 3 000 × 0,9063 ≈ 2 718,9 J.

3. 3

   Travail du frottement : la force est opposée au déplacement, donc l'angle vaut $180°$180° et $\cos 180°=-1$cos 180° = -1.

4. 4

   $W_2=60\times 15\times (-1)=-900$W₂ = 60 × 15 × (-1) = -900 J.

5. 5

   Travail total : $W=W_1+W_2\approx 2718,9-900=1818,9$W = W₁ + W₂ ≈ 2 718,9 - 900 = 1 818,9 J, soit environ $1819$1 819 J.

6. 6

   Le travail total est positif : le chariot reçoit de l'énergie, il peut accélérer.

7. 7

   Dernière question : on cherche l'angle $\alpha$α tel que $200\times 15\times \cos \alpha -900=0$200 × 15 × cosα - 900 = 0.

8. 8

   $3000\cos \alpha =900$3 000cosα = 900, donc $\cos \alpha =0,3$cosα = 0,3.

9. 9

   $\alpha =\arccos (0,3)\approx 72,54°$α = arccos(0,3) ≈ 72,54°, soit environ $73°$73°.

10. 10

    Interprétation : si l'on tirait à plus de $73°$73° au-dessus de l'horizontale, la composante utile de la traction ne suffirait plus à vaincre les frottements — le chariot ralentirait au lieu d'avancer.

    Tirer « trop haut » revient à gaspiller la force.

11. 11

    Contrôle : à $\alpha =73°$α = 73°, la composante horizontale vaut $200\cos 73°\approx 58,5$200cos 73° ≈ 58,5 N, tout juste inférieure aux $60$60 N de frottement ✔.