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Exercices corrigés : Primitives — Première STI2D

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Primitives

Niveau: Première STI2D
Chapitre: Primitives
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 11 septembre 2026

Chercher une primitive, c'est remonter le temps de la dérivation : on connaît la VITESSE et l'on veut la position, on connaît l'INTENSITÉ et l'on veut la charge, on connaît le DÉBIT et l'on veut le volume. La réponse n'est jamais unique — deux primitives diffèrent d'une constante — et c'est la condition initiale (position de départ, charge initiale) qui fixe cette constante. Quand la dérivée dépend de la grandeur elle-même, comme dans un circuit RC, il n'y a plus de primitive à écrire : on approche la solution pas à pas par la MÉTHODE D'EULER. Ces 20 exercices corrigés couvrent les primitives des polynômes et des signaux sinusoïdaux, les conditions initiales et Euler, du calcul direct au problème type bac. La difficulté est croissante : l'énoncé puis la correction détaillée s'affichent d'un clic.

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Exercice 1 — Vérifier qu'une fonction est une primitive

Application directe

On considère $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ f(x) = 6x² - 4x + 5 et $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7$ F(x) = 2x³ - 2x² + 5x - 7.

1.Vérifie que $F$ F est une primitive de $f$ f sur $R$ ℝ.
2. $G (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 100$ G(x) = 2x³ - 2x² + 5x + 100 est-elle aussi une primitive de $f$ f ?

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Correction détaillée

1
$F$ F est une primitive de $f$ f si $F^{'} (x) = f (x)$ F'(x) = f(x) pour tout $x$ x.
On dérive donc $F$ F.
2
$F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5 + 0 = 6 x^{2} - 4 x + 5$ F'(x) = 6x² - 4x + 5 + 0 = 6x² - 4x + 5.
3
On retrouve exactement $f (x)$ f(x) : $F$ F est bien une primitive de $f$ f ✔.
4
Pour $G$ G : $G^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ G'(x) = 6x² - 4x + 5 également, car la dérivée de la constante $100$ 100 est nulle.
5
Donc $G$ G est AUSSI une primitive de $f$ f.
6
Conclusion importante : une fonction admet une INFINITÉ de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.
Ici $G (x) = F (x) + 107$ G(x) = F(x) + 107.

Réponse :

F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5 = f (x)

F'(x) = 6x² - 4x + 5 = f(x) ✔ ·

G

G est aussi une primitive (elle diffère de

F

F d'une constante).

Rappel de cours : $F$ F primitive de $f$ f $⟺ F^{'} = f$ ⇔ F' = f. Pour vérifier, on DÉRIVE la candidate.

Erreur fréquente : Chercher à « intégrer » pour vérifier. La vérification se fait toujours dans le sens facile : on dérive.

Exercice 2 — Primitives d'un polynôme

Application directe

Détermine une primitive de $f (x) = 4 x^{3} + 6 x - 2$ f(x) = 4x³ + 6x - 2, puis de $g (x) = 5$ g(x) = 5 et de $h (x) = x^{2} - x$ h(x) = x² - x.

1.Donne une primitive de chacune de ces trois fonctions.

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Correction détaillée

1
Règle de base : une primitive de $x^{n}$ xⁿ est $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ xⁿ⁺¹/(n+1) — on AUGMENTE l'exposant de $1$ 1 et l'on divise par le nouvel exposant.
2
Pour $f$ f : une primitive de $4 x^{3}$ 4x³ est $4 \times \frac{x ^{4}}{4} = x^{4}$ 4 × x⁴/4 = x⁴ ; de $6 x$ 6x, c'est $6 \times \frac{x ^{2}}{2} = 3 x^{2}$ 6timesx²/2 = 3x² ; de $- 2$ -2, c'est $- 2 x$ -2x.
3
Donc $F (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$ F(x) = x⁴ + 3x² - 2x.
4
Contrôle : $F^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x - 2$ F'(x) = 4x³ + 6x - 2 ✔.
5
Pour $g (x) = 5$ g(x) = 5 : $G (x) = 5 x$ G(x) = 5x (dérivée $5$ 5 ✔).
6
Pour $h (x) = x^{2} - x$ h(x) = x² - x : $H (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}$ H(x) = x³/3 - x²/2.
7
Contrôle : $H^{'} (x) = \frac{3 x ^{2}}{3} - \frac{2 x}{2} = x^{2} - x$ H'(x) = 3x²/3 - 2x/2 = x² - x ✔.

Réponse :

F (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 2 x

F(x) = x⁴ + 3x² - 2x ·

G (x) = 5 x

G(x) = 5x ·

H (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}

H(x) = x³/3 - x²/2 (à une constante près).

Rappel de cours : Primitive de $x^{n}$ xⁿ : $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ xⁿ⁺¹/(n+1). C'est l'opération inverse de la dérivation, qui abaissait l'exposant.

Erreur fréquente : Diviser par l'ancien exposant : une primitive de $x^{2}$ x² est $\frac{x ^{3}}{3}$ x³/3, pas $\frac{x ^{3}}{2}$ x³/2. Le contrôle par dérivation évite cette erreur.

Exercice 3 — Primitives de cosinus et sinus

Application directe

Détermine une primitive de $f (x) = cos x$ f(x) = cos x, $g (x) = sin x$ g(x) = sin x et $h (x) = 3 cos x - 2 sin x$ h(x) = 3cos x - 2sin x.

1.Donne une primitive de chacune de ces fonctions.

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Correction détaillée

1
On raisonne à partir des dérivées : $(sin x)^{'} = cos x$ (sin x)' = cos x, donc une primitive de $cos x$ cos x est $sin x$ sin x.
2
$(cos x)^{'} = - sin x$ (cos x)' = -sin x, donc une primitive de $sin x$ sin x est $- cos x$ -cos x (le signe moins compense).
3
Vérification : $(- cos x)^{'} = - (- sin x) = sin x$ (-cos x)' = -(-sin x) = sin x ✔.
4
Pour $h$ h, on applique la linéarité : $H (x) = 3 sin x - 2 \times (- cos x) = 3 sin x + 2 cos x$ H(x) = 3sin x - 2 × (-cos x) = 3sin x + 2cos x.
5
Contrôle : $H^{'} (x) = 3 cos x + 2 \times (- sin x) = 3 cos x - 2 sin x$ H'(x) = 3cos x + 2×(-sin x) = 3cos x - 2sin x ✔.
6
Le signe moins « change de camp » par rapport à la dérivation : il est sur le SINUS quand on dérive, sur le COSINUS quand on primitive.

Réponse : Primitive de

cos x

cos x :

sin x

sin x · de

sin x

sin x :

- cos x

-cos x · de

h

h :

3 sin x + 2 cos x

3sin x + 2cos x.

Rappel de cours : $cos \to sin$ cos → sin · $sin \to - cos$ sin → -cos. On vérifie toujours en dérivant le résultat.

Erreur fréquente : Écrire que la primitive de $sin x$ sin x est $cos x$ cos x : en dérivant on obtiendrait $- sin x$ -sin x, donc le signe opposé.

Exercice 4 — Toutes les primitives

Application directe

Soit $f (x) = 2 x + 3$ f(x) = 2x + 3.

1.Donne l'ensemble des primitives de $f$ f sur $R$ ℝ.
2.Combien de primitives $f$ f admet-elle ?

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Correction détaillée

1
Une primitive évidente : $F_{0} (x) = x^{2} + 3 x$ F₀(x) = x² + 3x (car $F_{0}^{'} (x) = 2 x + 3$ F₀'(x) = 2x + 3 ✔).
2
Toutes les autres s'en déduisent en ajoutant une constante : les primitives de $f$ f sont les fonctions $F (x) = x^{2} + 3 x + C$ F(x) = x² + 3x + C, où $C$ C est un réel quelconque.
3
$f$ f admet donc une INFINITÉ de primitives, une pour chaque valeur de $C$ C.
4
Pourquoi seulement une constante d'écart ?
Parce que si $F$ F et $G$ G sont deux primitives de $f$ f, alors $(F - G)^{'} = f - f = 0$ (F - G)' = f - f = 0, et une fonction de dérivée nulle est constante.
5
Graphiquement, les courbes des primitives se déduisent l'une de l'autre par TRANSLATION verticale : elles ont la même pente en chaque abscisse.

Réponse :

F (x) = x^{2} + 3 x + C

F(x) = x² + 3x + C,

C \in R

C ∈ ℝ · il y en a une infinité, obtenues par translation verticale.

Rappel de cours : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une CONSTANTE. Il faut donc toujours écrire le « $+ C$ + C ».

Erreur fréquente : Oublier le « $+ C$ + C » quand la question demande TOUTES les primitives : la réponse serait incomplète.

Exercice 5 — Primitive avec une condition

Application directe

Soit $f (x) = 3 x^{2} - 4 x$ f(x) = 3x² - 4x.

On cherche la primitive $F$ F de $f$ f telle que $F (2) = 5$ F(2) = 5.

1.Donne la forme générale des primitives de $f$ f.
2.Détermine celle qui vérifie la condition.

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1
Primitives : $F (x) = \frac{3 x ^{3}}{3} - \frac{4 x ^{2}}{2} + C = x^{3} - 2 x^{2} + C$ F(x) = 3x³/3 - 4x²/2 + C = x³ - 2x² + C.
2
On utilise la condition $F (2) = 5$ F(2) = 5 pour déterminer $C$ C.
3
$F (2) = 8 - 8 + C = C$ F(2) = 8 - 8 + C = C, donc $C = 5$ C = 5.
4
La primitive cherchée est $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5$ F(x) = x³ - 2x² + 5.
5
Contrôle double : $F^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x = f (x)$ F'(x) = 3x² - 4x = f(x) ✔ et $F (2) = 8 - 8 + 5 = 5$ F(2) = 8 - 8 + 5 = 5 ✔.
6
Une condition, une constante : c'est ce qui rend la primitive UNIQUE.
En physique, cette condition est la valeur initiale de la grandeur.

Réponse :

F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + C

F(x) = x³ - 2x² + C · la condition donne

C = 5

C = 5, donc

F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5

F(x) = x³ - 2x² + 5.

Rappel de cours : Une condition du type $F (a) = b$ F(a) = b détermine la constante, donc UNE seule primitive.

Erreur fréquente : Déterminer $C$ C avant d'avoir écrit la primitive générale : il faut d'abord primitiver, puis imposer la condition.

Exercice 6 — Primitives d'un signal sinusoïdal

À maîtriser

Détermine une primitive de $f (t) = cos (4 t)$ f(t) = cos(4t), puis de $g (t) = 5 sin (2 t)$ g(t) = 5sin(2t) et de $h (t) = 3 cos (10 t + \frac{π}{3})$ h(t) = 3cos(10t + π/3).

1.Donne une primitive de chacune.

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1
Principe : dériver $sin (ω t)$ sin(ω t) donne $ω cos (ω t)$ ωcos(ω t).
Pour primitiver $cos (ω t)$ cos(ω t), il faut donc DIVISER par $ω$ ω.
2
$f (t) = cos (4 t)$ f(t) = cos(4t) : une primitive est $F (t) = \frac{1}{4} sin (4 t)$ F(t) = 1/4sin(4t).
3
Contrôle : $F^{'} (t) = \frac{1}{4} \times 4 cos (4 t) = cos (4 t)$ F'(t) = 1/4× 4cos(4t) = cos(4t) ✔.
4
$g (t) = 5 sin (2 t)$ g(t) = 5sin(2t) : une primitive du sinus est $- cos$ -cos, et l'on divise par $2$ 2.
Donc $G (t) = - \frac{5}{2} cos (2 t)$ G(t) = -5/2cos(2t).
5
Contrôle : $G^{'} (t) = - \frac{5}{2} \times (- 2 sin (2 t)) = 5 sin (2 t)$ G'(t) = -5/2×(-2sin(2t)) = 5sin(2t) ✔.
6
$h (t) = 3 cos (10 t + \frac{π}{3})$ h(t) = 3cos(10t + π/3) : la phase ne change rien à la méthode, on divise par $10$ 10.
7
$H (t) = \frac{3}{10} sin (10 t + \frac{π}{3})$ H(t) = 3/10sin(10t + π/3).
8
Contrôle : $H^{'} (t) = \frac{3}{10} \times 10 cos (10 t + \frac{π}{3}) = h (t)$ H'(t) = 3/10× 10cos(10t+π/3) = h(t) ✔.

Réponse :

F (t) = \frac{1}{4} sin (4 t)

F(t) = 1/4sin(4t) ·

G (t) = - \frac{5}{2} cos (2 t)

G(t) = -5/2cos(2t) ·

H (t) = \frac{3}{10} sin (10 t + \frac{π}{3})

H(t) = 3/10sin(10t + π/3).

Rappel de cours : Primitive de $A cos (ω t + φ)$ Acos(ω t + φ) : $\frac{A}{ω} sin (ω t + φ)$ A/ωsin(ω t + φ) · de $A sin (ω t + φ)$ Asin(ω t + φ) : $- \frac{A}{ω} cos (ω t + φ)$ -A/ωcos(ω t + φ).

Erreur fréquente : Multiplier par $ω$ ω au lieu de diviser : la dérivation multiplie par $ω$ ω, donc la primitivation divise.

Exercice 7 — Primitive d'une puissance composée

À maîtriser

Détermine une primitive de $f (x) = (2 x + 1)^{2}$ f(x) = (2x + 1)² et de $g (x) = (3 - x)^{3}$ g(x) = (3 - x)³.

1.Donne une primitive de chacune, en développant si nécessaire.

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Correction détaillée

1
Première méthode pour $f$ f, le développement : $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$ f(x) = 4x² + 4x + 1.
2
Primitive : $F (x) = \frac{4 x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + x$ F(x) = 4x³/3 + 2x² + x.
3
Seconde méthode, par analogie : la dérivée de $(2 x + 1)^{3}$ (2x+1)³ est $2 \times 3 (2 x + 1)^{2} = 6 (2 x + 1)^{2}$ 2 × 3(2x+1)² = 6(2x+1)².
Donc une primitive de $(2 x + 1)^{2}$ (2x+1)² est $\frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6}$ ((2x+1)³)/6.
4
Les deux résultats diffèrent d'une constante : $\frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6} = \frac{8 x ^{3} + 12 x ^{2} + 6 x + 1}{6} = \frac{4 x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + x + \frac{1}{6}$ ((2x+1)³)/6 = (8x³ + 12x² + 6x + 1)/6 = 4x³/3 + 2x² + x + 1/6 ✔ — c'est bien $F (x) + \frac{1}{6}$ F(x) + 1/6.
5
Pour $g (x) = (3 - x)^{3}$ g(x) = (3-x)³ : la dérivée de $(3 - x)^{4}$ (3-x)⁴ est $- 4 (3 - x)^{3}$ -4(3-x)³.
Donc une primitive de $(3 - x)^{3}$ (3-x)³ est $- \frac{( 3 - x ) ^{4}}{4}$ -((3-x)⁴)/4.
6
Contrôle : $(- \frac{( 3 - x ) ^{4}}{4})^{'} = - \frac{- 4 ( 3 - x ) ^{3}}{4} = (3 - x)^{3}$ (-((3-x)⁴)/4)' = -(-4(3-x)³)/4 = (3-x)³ ✔.
7
À retenir : pour $(a x + b)^{n}$ (ax+b)ⁿ, une primitive est $\frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )}$ ((ax+b)ⁿ⁺¹)/(a(n+1)) — on divise par $a$ a ET par le nouvel exposant.

Réponse :

F (x) = \frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6}

F(x) = ((2x+1)³)/6 (ou

\frac{4 x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + x

4x³/3 + 2x² + x) ·

G (x) = - \frac{( 3 - x ) ^{4}}{4}

G(x) = -((3-x)⁴)/4.

Rappel de cours : Primitive de $(a x + b)^{n}$ (ax+b)ⁿ : $\frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )}$ ((ax+b)ⁿ⁺¹)/(a(n+1)). Toujours vérifier en dérivant.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $a$ a : pour $(3 - x)^{3}$ (3-x)³, $a = - 1$ a = -1 fait apparaître le signe moins, qu'on perd si l'on n'y pense pas.

Exercice 8 — De la vitesse à la position

À maîtriser

Un mobile a pour vitesse $v (t) = 6 t + 2$ v(t) = 6t + 2 mètres par seconde.

À l'instant $t = 0$ t = 0, il se trouve à la position $x = 5$ x = 5 m.

1.Détermine la position $x (t)$ x(t).
2.Où se trouve le mobile à $t = 4$ t = 4 s ?

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1
La vitesse est la dérivée de la position : $x^{'} (t) = v (t)$ x'(t) = v(t).
La position est donc une PRIMITIVE de la vitesse.
2
Primitives de $v$ v : $x (t) = \frac{6 t ^{2}}{2} + 2 t + C = 3 t^{2} + 2 t + C$ x(t) = 6t²/2 + 2t + C = 3t² + 2t + C.
3
Condition initiale : $x (0) = 5$ x(0) = 5, or $x (0) = C$ x(0) = C.
Donc $C = 5$ C = 5.
4
$x (t) = 3 t^{2} + 2 t + 5$ x(t) = 3t² + 2t + 5.
5
À $t = 4$ t = 4 s : $x (4) = 3 \times 16 + 8 + 5 = 48 + 13 = 61$ x(4) = 3 × 16 + 8 + 5 = 48 + 13 = 61 m.
6
Contrôle : $x^{'} (t) = 6 t + 2 = v (t)$ x'(t) = 6t + 2 = v(t) ✔ et $x (0) = 5$ x(0) = 5 ✔.
7
Interprétation : le mobile a parcouru $61 - 5 = 56$ 61 - 5 = 56 m en $4$ 4 s, soit une vitesse moyenne de $14$ 14 m/s — cohérent avec une vitesse passant de $2$ 2 m/s à $26$ 26 m/s ✔.

Réponse :

x (t) = 3 t^{2} + 2 t + 5

x(t) = 3t² + 2t + 5 ·

x (4) = 61

x(4) = 61 m.

Rappel de cours : Position $\to$ → vitesse par dérivation, vitesse $\to$ → position par primitivation. La condition initiale fixe la constante.

Erreur fréquente : Oublier la constante : on trouverait $x (4) = 56$ x(4) = 56 m, en ignorant les $5$ 5 m de position de départ.

Exercice 9 — De l'intensité à la charge

À maîtriser

Un condensateur initialement déchargé est traversé par un courant constant $i = 0, 003$ i = 0,003 A.

On rappelle que $i (t) = q^{'} (t)$ i(t) = q'(t), où $q$ q est la charge en coulombs.

1.Détermine $q (t)$ q(t).
2.Au bout de combien de temps la charge atteint-elle $0, 012$ 0,012 C ?
3.Même question si le courant vaut $i (t) = 0, 003 + 0, 0004 t$ i(t) = 0,003 + 0,0004t.

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Correction détaillée

1
$q$ q est une primitive de $i$ i.
Pour un courant constant : $q (t) = 0, 003 t + C$ q(t) = 0,003t + C.
2
Condensateur initialement déchargé : $q (0) = 0$ q(0) = 0, donc $C = 0$ C = 0 et $q (t) = 0, 003 t$ q(t) = 0,003t.
3
On résout $0, 003 t = 0, 012$ 0,003t = 0,012, soit $t = \frac{0 , 012}{0 , 003} = 4$ t = 0,012/0,003 = 4 s.
4
Avec le courant variable : $q (t) = 0, 003 t + \frac{0 , 0004 t ^{2}}{2} = 0, 003 t + 0, 0002 t^{2}$ q(t) = 0,003t + 0,0004t²/2 = 0,003t + 0,0002t² (toujours avec $C = 0$ C = 0).
5
On résout $0, 0002 t^{2} + 0, 003 t = 0, 012$ 0,0002t² + 0,003t = 0,012.
En multipliant par $5000$ 5 000 : $t^{2} + 15 t = 60$ t² + 15t = 60, soit $t^{2} + 15 t - 60 = 0$ t² + 15t - 60 = 0.
6
Complétons le carré : $t^{2} + 15 t = (t + 7, 5)^{2} - 56, 25$ t² + 15t = (t + 7,5)² - 56,25, donc l'équation devient $(t + 7, 5)^{2} = 116, 25$ (t + 7,5)² = 116,25.
7
$t + 7, 5 = 116, 25 \approx 10, 78$ t + 7,5 = √(116,25) ≈ 10,78 (la solution négative est rejetée), donc $t \approx 3, 28$ t ≈ 3,28 s.
8
Cohérence : le courant augmentant avec le temps, la charge s'accumule plus vite, et le seuil est atteint plus tôt ( $3, 28$ 3,28 s contre $4$ 4 s) ✔.

Réponse :

q (t) = 0, 003 t

q(t) = 0,003t · seuil atteint à

t = 4

t = 4 s · avec le courant variable,

q (t) = 0, 003 t + 0, 0002 t^{2}

q(t) = 0,003t + 0,0002t² et le seuil est atteint à

t \approx 3, 28

t ≈ 3,28 s.

Rappel de cours : $i = \frac{d q}{d t}$ i = dq/dt : la charge est la primitive de l'intensité. Un condensateur déchargé impose $q (0) = 0$ q(0) = 0.

Erreur fréquente : Diviser la charge par l'intensité quand celle-ci est VARIABLE : ce raccourci ne vaut que pour un courant constant.

Exercice 10 — Linéarité des primitives

À maîtriser

Détermine une primitive de $f (t) = 2 t^{2} - 3 cos (5 t) + 4$ f(t) = 2t² - 3cos(5t) + 4.

1.Donne une primitive $F$ F de $f$ f.
2.Détermine celle qui vérifie $F (0) = 1$ F(0) = 1.

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Correction détaillée

1
On primitive terme par terme (linéarité).
2
Pour $2 t^{2}$ 2t² : $\frac{2 t ^{3}}{3}$ 2t³/3.
3
Pour $- 3 cos (5 t)$ -3cos(5t) : la primitive de $cos (5 t)$ cos(5t) est $\frac{1}{5} sin (5 t)$ 1/5sin(5t), donc celle de $- 3 cos (5 t)$ -3cos(5t) est $- \frac{3}{5} sin (5 t)$ -3/5sin(5t).
4
Pour $4$ 4 : $4 t$ 4t.
5
Donc $F (t) = \frac{2 t ^{3}}{3} - \frac{3}{5} sin (5 t) + 4 t + C$ F(t) = 2t³/3 - 3/5sin(5t) + 4t + C.
6
Condition : $F (0) = 0 - \frac{3}{5} sin 0 + 0 + C = C$ F(0) = 0 - 3/5sin 0 + 0 + C = C, donc $C = 1$ C = 1.
7
$F (t) = \frac{2 t ^{3}}{3} - \frac{3}{5} sin (5 t) + 4 t + 1$ F(t) = 2t³/3 - 3/5sin(5t) + 4t + 1.
8
Contrôle par dérivation : $F^{'} (t) = 2 t^{2} - \frac{3}{5} \times 5 cos (5 t) + 4 = 2 t^{2} - 3 cos (5 t) + 4$ F'(t) = 2t² - 3/5× 5cos(5t) + 4 = 2t² - 3cos(5t) + 4 ✔.

Réponse :

F (t) = \frac{2 t ^{3}}{3} - \frac{3}{5} sin (5 t) + 4 t + C

F(t) = 2t³/3 - 3/5sin(5t) + 4t + C, et

C = 1

C = 1 avec la condition donnée.

Rappel de cours : Linéarité : la primitive d'une somme est la somme des primitives, et les coefficients restent devant.

Erreur fréquente : Ne pas propager le signe moins : la primitive de $- 3 cos (5 t)$ -3cos(5t) est $- \frac{3}{5} sin (5 t)$ -3/5sin(5t), pas $+ \frac{3}{5} sin (5 t)$ +3/5sin(5t).

Exercice 11 — Mouvement à accélération constante

Type contrôle

Un chariot part du repos à la position $x = 0$ x = 0 et subit une accélération constante $a = 2, 4$ a = 2,4 m/s².

1.Détermine la vitesse $v (t)$ v(t).
2.Détermine la position $x (t)$ x(t).
3.Quelle distance a-t-il parcourue au bout de $5$ 5 s, et quelle est alors sa vitesse ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
La vitesse est une primitive de l'accélération : $v (t) = 2, 4 t + C_{1}$ v(t) = 2,4t + C₁.
2
Départ du repos : $v (0) = 0$ v(0) = 0, donc $C_{1} = 0$ C₁ = 0 et $v (t) = 2, 4 t$ v(t) = 2,4t.
3
La position est une primitive de la vitesse : $x (t) = \frac{2 , 4 t ^{2}}{2} + C_{2} = 1, 2 t^{2} + C_{2}$ x(t) = 2,4t²/2 + C₂ = 1,2t² + C₂.
4
Position initiale nulle : $x (0) = 0$ x(0) = 0, donc $C_{2} = 0$ C₂ = 0 et $x (t) = 1, 2 t^{2}$ x(t) = 1,2t².
5
À $t = 5$ t = 5 s : $x (5) = 1, 2 \times 25 = 30$ x(5) = 1,2 × 25 = 30 m et $v (5) = 2, 4 \times 5 = 12$ v(5) = 2,4 × 5 = 12 m/s.
6
Contrôle par la vitesse moyenne : la vitesse croît linéairement de $0$ 0 à $12$ 12 m/s, donc sa moyenne vaut $6$ 6 m/s, et $6 \times 5 = 30$ 6 × 5 = 30 m ✔.
7
On retrouve ainsi les formules du mouvement uniformément accéléré, $v = a t$ v = at et $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ x = 1/2at² : elles ne sont rien d'autre que deux primitivations successives.

Réponse :

v (t) = 2, 4 t

v(t) = 2,4t ·

x (t) = 1, 2 t^{2}

x(t) = 1,2t² · à

t = 5

t = 5 s :

30

30 m parcourus à

12

12 m/s.

Rappel de cours : Deux primitivations successives : accélération $\to$ → vitesse $\to$ → position, avec DEUX constantes à déterminer.

Erreur fréquente : Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ 1/2 en primitivant : $x (t) = 2, 4 t^{2}$ x(t) = 2,4t² donnerait le double de la distance réelle.

Exercice 12 — Du signal alternatif à sa primitive

Type contrôle

Un condensateur initialement déchargé reçoit un courant $i (t) = 0, 5 cos (100 π t)$ i(t) = 0,5cos(100π t) ampères.

1.Détermine la charge $q (t)$ q(t).
2.Donne l'amplitude de la charge.
3.Compare l'amplitude de $q$ q à celle de $i$ i et commente.

Voir la correction

Correction détaillée

1
$q$ q est une primitive de $i$ i : $q (t) = \frac{0 , 5}{100 π} sin (100 π t) + C$ q(t) = 0,5/100πsin(100π t) + C.
2
$\frac{0 , 5}{100 π} = \frac{1}{200 π} \approx 1, 59 \times 1 0^{- 3}$ 0,5/100π = 1/200π ≈ 1,59 × 10⁻³.
3
Condition initiale : $q (0) = 0$ q(0) = 0, et comme $sin 0 = 0$ sin 0 = 0, on obtient $C = 0$ C = 0.
4
Donc $q (t) = \frac{1}{200 π} sin (100 π t) \approx 1, 59 \times 1 0^{- 3} sin (100 π t)$ q(t) = 1/200πsin(100π t) ≈ 1,59× 10⁻³sin(100π t) coulombs.
5
Amplitude de la charge : environ $1, 59$ 1,59 mC.
6
Comparaison : le courant a une amplitude de $0, 5$ 0,5 A, la charge de $1, 59$ 1,59 mC seulement.
La primitivation a DIVISÉ l'amplitude par $ω = 100 π \approx 314$ ω = 100π ≈ 314.
7
Interprétation : plus la fréquence est élevée, moins le condensateur a le temps de se charger entre deux alternances.
C'est exactement pourquoi son impédance $\frac{1}{C ω}$ 1/Cω décroît avec la fréquence.
8
Contrôle : $q^{'} (t) = \frac{1}{200 π} \times 100 π cos (100 π t) = 0, 5 cos (100 π t) = i (t)$ q'(t) = 1/200π× 100πcos(100π t) = 0,5cos(100π t) = i(t) ✔.

Réponse :

q (t) = \frac{1}{200 π} sin (100 π t) \approx 1, 59 \times 1 0^{- 3} sin (100 π t)

q(t) = 1/200πsin(100π t) ≈ 1,59× 10⁻³sin(100π t) C · amplitude

\approx 1, 59

≈ 1,59 mC · l'amplitude est divisée par

ω \approx 314

ω ≈ 314.

Rappel de cours : Primitiver un signal DIVISE son amplitude par $ω$ ω ; dériver la MULTIPLIE par $ω$ ω.

Erreur fréquente : Conserver l'amplitude $0, 5$ 0,5 pour la charge : l'oubli du $\frac{1}{ω}$ 1/ω fausse le résultat d'un facteur $314$ 314.

Exercice 13 — Méthode d'Euler : premiers pas

Type contrôle

On considère la fonction $y$ y vérifiant $y^{'} (t) = 2 t + 1$ y'(t) = 2t + 1 et $y (0) = 3$ y(0) = 3.

On applique la méthode d'Euler avec un pas $h = 0, 5$ h = 0,5.

1.Rappelle la relation d'Euler.
2.Calcule les valeurs approchées de $y$ y en $t = 0, 5$ t = 0,5, $1$ 1 et $1, 5$ 1,5.
3.Compare à la solution exacte.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Relation d'Euler : $y_{n + 1} = y_{n} + h \times y^{'} (t_{n})$ yₙ₊₁ = yₙ + h × y'(tₙ).
On avance par petits segments de tangente.
2
Départ : $t_{0} = 0$ t₀ = 0, $y_{0} = 3$ y₀ = 3.
Pente : $y^{'} (0) = 1$ y'(0) = 1.
3
$y_{1} = 3 + 0, 5 \times 1 = 3, 5$ y₁ = 3 + 0,5 × 1 = 3,5 (approximation de $y (0, 5)$ y(0,5)).
4
En $t_{1} = 0, 5$ t₁ = 0,5 : pente $y^{'} (0, 5) = 2 \times 0, 5 + 1 = 2$ y'(0,5) = 2× 0,5 + 1 = 2, donc $y_{2} = 3, 5 + 0, 5 \times 2 = 4, 5$ y₂ = 3,5 + 0,5× 2 = 4,5 (approximation de $y (1)$ y(1)).
5
En $t_{2} = 1$ t₂ = 1 : pente $y^{'} (1) = 3$ y'(1) = 3, donc $y_{3} = 4, 5 + 0, 5 \times 3 = 6$ y₃ = 4,5 + 0,5 × 3 = 6 (approximation de $y (1, 5)$ y(1,5)).
6
Solution exacte : $y$ y est la primitive de $2 t + 1$ 2t+1 valant $3$ 3 en $0$ 0, soit $y (t) = t^{2} + t + 3$ y(t) = t² + t + 3.
7
Valeurs exactes : $y (0, 5) = 0, 25 + 0, 5 + 3 = 3, 75$ y(0,5) = 0,25 + 0,5 + 3 = 3,75 ; $y (1) = 5$ y(1) = 5 ; $y (1, 5) = 2, 25 + 1, 5 + 3 = 6, 75$ y(1,5) = 2,25 + 1,5 + 3 = 6,75.
8
Comparaison : Euler donne $3, 5$ 3,5 ; $4, 5$ 4,5 ; $6$ 6 contre $3, 75$ 3,75 ; $5$ 5 ; $6, 75$ 6,75.
L'écart croît ( $0, 25$ 0,25 puis $0, 5$ 0,5 puis $0, 75$ 0,75) : les erreurs s'ACCUMULENT.
9
Euler sous-estime ici systématiquement, parce que la pente utilisée est celle du DÉBUT de chaque intervalle, alors qu'elle augmente sur l'intervalle.
Un pas plus petit réduirait l'écart.

Réponse :

y_{n + 1} = y_{n} + h y^{'} (t_{n})

yₙ₊₁ = yₙ + h y'(tₙ) · Euler donne

3, 5

3,5 ;

4, 5

4,5 ;

6

6 · solution exacte

y (t) = t^{2} + t + 3

y(t) = t²+t+3, soit

3, 75

3,75 ;

5

5 ;

6, 75

6,75 : l'erreur s'accumule.

Rappel de cours : Euler remplace la courbe par une succession de segments de TANGENTE : chaque pas introduit une petite erreur, qui se cumule.

Erreur fréquente : Utiliser la pente au point d'ARRIVÉE : la méthode d'Euler utilise la pente au point de départ de chaque pas.

Exercice 14 — Euler pour un circuit RC

Type contrôle

La tension aux bornes d'un condensateur en charge vérifie $u^{'} (t) = \frac{E - u ( t )}{R C}$ u'(t) = (E - u(t))/RC, avec $E = 12$ E = 12 V et $R C = 0, 02$ RC = 0,02 s.

Initialement $u (0) = 0$ u(0) = 0.

On prend un pas $h = 0, 005$ h = 0,005 s.

1.Calcule $u^{'} (0)$ u'(0).
2.Calcule les valeurs approchées de $u$ u aux instants $0, 005$ 0,005 ; $0, 01$ 0,01 ; $0, 015$ 0,015 et $0, 02$ 0,02 s.
3.Que vaut la tension finale prévue par le modèle ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$u^{'} (0) = \frac{12 - 0}{0 , 02} = 600$ u'(0) = (12 - 0)/0,02 = 600 V/s : la charge démarre très vite.
2
Premier pas : $u_{1} = u_{0} + h u^{'} (0) = 0 + 0, 005 \times 600 = 3$ u₁ = u₀ + h u'(0) = 0 + 0,005 × 600 = 3 V (à $t = 0, 005$ t = 0,005 s).
3
Pente en $u_{1} = 3$ u₁ = 3 : $u^{'} = \frac{12 - 3}{0 , 02} = 450$ u' = (12 - 3)/0,02 = 450 V/s, donc $u_{2} = 3 + 0, 005 \times 450 = 5, 25$ u₂ = 3 + 0,005 × 450 = 5,25 V (à $t = 0, 01$ t = 0,01 s).
4
Pente en $u_{2} = 5, 25$ u₂ = 5,25 : $u^{'} = \frac{6 , 75}{0 , 02} = 337, 5$ u' = 6,75/0,02 = 337,5 V/s, donc $u_{3} = 5, 25 + 1, 6875 = 6, 9375$ u₃ = 5,25 + 1,687 5 = 6,937 5 V (à $t = 0, 015$ t = 0,015 s).
5
Pente en $u_{3}$ u₃ : $u^{'} = \frac{12 - 6 , 9375}{0 , 02} = 253, 125$ u' = (12 - 6,9375)/0,02 = 253,125 V/s, donc $u_{4} = 6, 9375 + 1, 2656 \approx 8, 203$ u₄ = 6,9375 + 1,265 6 ≈ 8,203 V (à $t = 0, 02$ t = 0,02 s).
6
On observe que la pente DIMINUE à chaque pas : plus le condensateur se charge, plus la charge ralentit.
7
Tension finale : la charge s'arrête quand $u^{'} = 0$ u' = 0, c'est-à-dire quand $u = E = 12$ u = E = 12 V.
Le condensateur tend vers $12$ 12 V sans jamais l'atteindre exactement.
8
Ordre de grandeur : après $0, 02$ 0,02 s (soit une constante de temps $R C$ RC), le modèle exact donnerait $7, 59$ 7,59 V.
Euler annonce $8, 20$ 8,20 V, soit une surestimation de $8%$ 8% — le pas est un peu grand.

Réponse :

u^{'} (0) = 600

u'(0) = 600 V/s · Euler donne

3

3 ;

5, 25

5,25 ;

6, 94

6,94 et

8, 20

8,20 V · la tension tend vers

E = 12

E = 12 V.

Rappel de cours : Quand $y^{'}$ y' dépend de $y$ y, il n'y a pas de primitive à écrire : Euler recalcule la PENTE à chaque pas, avec la valeur courante.

Erreur fréquente : Garder la pente initiale de $600$ 600 V/s pour tous les pas : on obtiendrait $12$ 12 V dès $0, 02$ 0,02 s, puis des tensions supérieures à $E$ E, ce qui est impossible.

Exercice 15 — De l'accélération à la vitesse d'un oscillateur

Type contrôle

Un point mobile subit l'accélération $a (t) = - 20 cos (20 t)$ a(t) = -20cos(20t) m/s².

À l'instant $t = 0$ t = 0, sa vitesse est nulle et sa position vaut $0, 05$ 0,05 m.

1.Détermine la vitesse $v (t)$ v(t).
2.Détermine la position $x (t)$ x(t).
3.Vérifie que $a (t) = - 400 x (t)$ a(t) = -400 x(t).

Voir la correction

Correction détaillée

1
$v$ v est une primitive de $a$ a.
Une primitive de $cos (20 t)$ cos(20t) est $\frac{1}{20} sin (20 t)$ 1/20sin(20t).
2
Donc $v (t) = - 20 \times \frac{1}{20} sin (20 t) + C_{1} = - sin (20 t) + C_{1}$ v(t) = -20 × 1/20sin(20t) + C₁ = -sin(20t) + C₁.
3
Condition initiale : $v (0) = 0$ v(0) = 0.
Or $v (0) = - sin 0 + C_{1} = C_{1}$ v(0) = -sin 0 + C₁ = C₁, donc $C_{1} = 0$ C₁ = 0.
4
$v (t) = - sin (20 t)$ v(t) = -sin(20t) m/s.
5
$x$ x est une primitive de $v$ v.
Une primitive de $sin (20 t)$ sin(20t) est $- \frac{1}{20} cos (20 t)$ -1/20cos(20t).
6
Donc $x (t) = - (- \frac{1}{20} cos (20 t)) + C_{2} = 0, 05 cos (20 t) + C_{2}$ x(t) = -(-1/20cos(20t)) + C₂ = 0,05cos(20t) + C₂.
7
Condition initiale : $x (0) = 0, 05$ x(0) = 0,05.
Or $x (0) = 0, 05 cos 0 + C_{2} = 0, 05 + C_{2}$ x(0) = 0,05cos 0 + C₂ = 0,05 + C₂, donc $C_{2} = 0$ C₂ = 0.
8
$x (t) = 0, 05 cos (20 t)$ x(t) = 0,05cos(20t) m.
9
Vérification : $- 400 x (t) = - 400 \times 0, 05 cos (20 t) = - 20 cos (20 t) = a (t)$ -400 x(t) = -400 × 0,05cos(20t) = -20cos(20t) = a(t) ✔.
10
Cette relation $a = - ω^{2} x$ a = -ω²x (avec $ω = 20$ ω = 20) est la signature de l'oscillateur harmonique.
On l'a obtenue ici par deux primitivations successives, en partant de l'accélération.
11
Cohérence physique : la position est maximale ( $5$ 5 cm) à l'instant initial, où la vitesse est nulle — c'est bien le point de rebroussement d'une oscillation ✔.

Réponse :

v (t) = - sin (20 t)

v(t) = -sin(20t) m/s ·

x (t) = 0, 05 cos (20 t)

x(t) = 0,05cos(20t) m · et

- 400 x (t) = - 20 cos (20 t) = a (t)

-400 x(t) = -20cos(20t) = a(t) ✔.

Rappel de cours : Deux primitivations, deux constantes : la vitesse initiale fixe la première, la position initiale la seconde.

Erreur fréquente : Multiplier par $20$ 20 au lieu de diviser en primitivant $cos (20 t)$ cos(20t) : l'amplitude de la vitesse serait $400$ 400 fois trop grande.

Exercice 16 — Type bac : décollage d'un chariot automatisé

Type bac / défi

Un chariot démarre à l'arrêt (position $0$ 0) avec une accélération $a (t) = 3 - 0, 6 t$ a(t) = 3 - 0,6t m/s², pour $0 \leq t \leq 5$ 0 ≤ t ≤ 5 s.

1.Détermine la vitesse $v (t)$ v(t).
2.À quel instant l'accélération devient-elle nulle, et quelle est alors la vitesse ?
3.Détermine la position $x (t)$ x(t) et la distance parcourue en $5$ 5 s.
4.La vitesse est-elle maximale à $t = 5$ t = 5 s ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$v$ v est une primitive de $a$ a : $v (t) = 3 t - \frac{0 , 6 t ^{2}}{2} + C_{1} = 3 t - 0, 3 t^{2} + C_{1}$ v(t) = 3t - 0,6t²/2 + C₁ = 3t - 0,3t² + C₁.
2
Départ à l'arrêt : $v (0) = 0$ v(0) = 0, donc $C_{1} = 0$ C₁ = 0 et $v (t) = 3 t - 0, 3 t^{2}$ v(t) = 3t - 0,3t².
3
Accélération nulle : $3 - 0, 6 t = 0$ 3 - 0,6t = 0, soit $t = 5$ t = 5 s.
4
Vitesse à cet instant : $v (5) = 15 - 0, 3 \times 25 = 15 - 7, 5 = 7, 5$ v(5) = 15 - 0,3× 25 = 15 - 7,5 = 7,5 m/s.
5
Position : $x (t) = \frac{3 t ^{2}}{2} - \frac{0 , 3 t ^{3}}{3} + C_{2} = 1, 5 t^{2} - 0, 1 t^{3} + C_{2}$ x(t) = 3t²/2 - 0,3t³/3 + C₂ = 1,5t² - 0,1t³ + C₂, avec $x (0) = 0$ x(0) = 0 donc $C_{2} = 0$ C₂ = 0.
6
$x (5) = 1, 5 \times 25 - 0, 1 \times 125 = 37, 5 - 12, 5 = 25$ x(5) = 1,5× 25 - 0,1 × 125 = 37,5 - 12,5 = 25 m.
7
Dernière question : la vitesse est maximale là où sa dérivée — c'est-à-dire l'accélération — s'annule en changeant de signe.
8
Or $a (t) = 3 - 0, 6 t$ a(t) = 3 - 0,6t est positive sur $[0; 5 [$ [0 ; 5[ et nulle en $5$ 5 : la vitesse croît sur tout l'intervalle et atteint son maximum à $t = 5$ t = 5 s, soit $7, 5$ 7,5 m/s ✔.
9
Au-delà de $5$ 5 s (hors du domaine étudié), l'accélération deviendrait négative et le chariot ralentirait.
10
Contrôle de cohérence : la vitesse moyenne vaut $\frac{25}{5} = 5$ 25/5 = 5 m/s, bien comprise entre $0$ 0 et $7, 5$ 7,5 m/s ✔.

Réponse :

v (t) = 3 t - 0, 3 t^{2}

v(t) = 3t - 0,3t² · accélération nulle à

t = 5

t = 5 s, où

v = 7, 5

v = 7,5 m/s ·

x (t) = 1, 5 t^{2} - 0, 1 t^{3}

x(t) = 1,5t² - 0,1t³ et

x (5) = 25

x(5) = 25 m · la vitesse est bien maximale à

t = 5

t = 5 s.

Rappel de cours : La vitesse est maximale quand l'ACCÉLÉRATION s'annule : c'est l'étude du signe de $a$ a qui le dit, pas celle de $v$ v.

Erreur fréquente : Confondre « accélération nulle » et « vitesse nulle ». À $t = 5$ t = 5 s, le chariot ne s'arrête pas : il cesse d'accélérer, à $7, 5$ 7,5 m/s.

Exercice 17 — Type bac : Euler et influence du pas

Type bac / défi

On étudie $y^{'} = - 2 y$ y' = -2y avec $y (0) = 10$ y(0) = 10.

On compare deux applications de la méthode d'Euler, avec $h = 0, 25$ h = 0,25 puis $h = 0, 125$ h = 0,125, pour estimer $y (0, 5)$ y(0,5).

1.Applique Euler avec $h = 0, 25$ h = 0,25 (deux pas).
2.Applique Euler avec $h = 0, 125$ h = 0,125 (quatre pas).
3.La valeur exacte est $y (0, 5) \approx 3, 679$ y(0,5) ≈ 3,679. Compare les deux estimations.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Relation : $y_{n + 1} = y_{n} + h \times (- 2 y_{n}) = y_{n} (1 - 2 h)$ yₙ₊₁ = yₙ + h × (-2yₙ) = yₙ(1 - 2h).
2
Avec $h = 0, 25$ h = 0,25 : le facteur est $1 - 0, 5 = 0, 5$ 1 - 0,5 = 0,5.
3
$y_{1} = 10 \times 0, 5 = 5$ y₁ = 10 × 0,5 = 5 (à $t = 0, 25$ t = 0,25), puis $y_{2} = 5 \times 0, 5 = 2, 5$ y₂ = 5 × 0,5 = 2,5 (à $t = 0, 5$ t = 0,5).
4
Avec $h = 0, 125$ h = 0,125 : le facteur est $1 - 0, 25 = 0, 75$ 1 - 0,25 = 0,75.
5
$y_{1} = 7, 5$ y₁ = 7,5 ; $y_{2} = 5, 625$ y₂ = 5,625 ; $y_{3} = 4, 21875$ y₃ = 4,218 75 ; $y_{4} = 3, 164$ y₄ = 3,164 environ (à $t = 0, 5$ t = 0,5).
6
Comparaison à la valeur exacte $3, 679$ 3,679 : avec $h = 0, 25$ h = 0,25, l'erreur est de $1, 179$ 1,179 (soit $32%$ 32%) ; avec $h = 0, 125$ h = 0,125, elle tombe à $0, 515$ 0,515 (soit $14%$ 14%).
7
Diviser le pas par $2$ 2 a donc divisé l'erreur par un peu plus de $2$ 2 : c'est le comportement attendu de la méthode d'Euler, dont l'erreur est proportionnelle au pas.
8
Les deux estimations SOUS-estiment la valeur exacte, parce que la pente utilisée (celle du début de chaque pas) est trop « raide » pour une fonction décroissante qui s'aplatit.
9
Conclusion pratique : la méthode d'Euler est simple mais coûteuse en précision.
Pour un résultat fiable, il faut beaucoup de pas — ce qui, en pratique, se confie à un programme.

Réponse :

h = 0, 25

h = 0,25 :

y (0, 5) \approx 2, 5

y(0,5) ≈ 2,5 ·

h = 0, 125

h = 0,125 :

y (0, 5) \approx 3, 16

y(0,5) ≈ 3,16 · l'erreur passe de

32%

32% à

14%

14% : diviser le pas par

2

2 divise l'erreur par environ

2

Rappel de cours : L'erreur de la méthode d'Euler est à peu près PROPORTIONNELLE au pas $h$ h : pas deux fois plus petit, erreur deux fois plus petite.

Erreur fréquente : Croire qu'Euler donne la valeur exacte quand le calcul « tombe juste ». C'est toujours une approximation, et toujours du même côté pour une fonction de courbure constante.

Exercice 18 — Type bac : du débit au volume

Type bac / défi

Une cuve initialement vide est remplie avec un débit $d (t) = 40 + 6 t$ d(t) = 40 + 6t litres par minute, $t$ t en minutes, pendant $10$ 10 minutes.

1.Détermine le volume $V (t)$ V(t) contenu dans la cuve.
2.Calcule le volume au bout de $10$ 10 minutes.
3.Au bout de combien de temps la cuve contient-elle $300$ 300 L ?
4.Quel débit constant aurait donné le même volume final ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Le débit est la dérivée du volume : $V^{'} = d$ V' = d.
Donc $V$ V est une primitive de $d$ d.
2
$V (t) = 40 t + \frac{6 t ^{2}}{2} + C = 40 t + 3 t^{2} + C$ V(t) = 40t + 6t²/2 + C = 40t + 3t² + C.
3
Cuve initialement vide : $V (0) = 0$ V(0) = 0, donc $C = 0$ C = 0 et $V (t) = 40 t + 3 t^{2}$ V(t) = 40t + 3t².
4
$V (10) = 400 + 300 = 700$ V(10) = 400 + 300 = 700 L.
5
Pour $300$ 300 L : on résout $3 t^{2} + 40 t = 300$ 3t² + 40t = 300, soit $3 t^{2} + 40 t - 300 = 0$ 3t² + 40t - 300 = 0.
6
On divise par $3$ 3 : $t^{2} + \frac{40}{3} t - 100 = 0$ t² + 40/3t - 100 = 0.
Complétons le carré : $(t + \frac{20}{3})^{2} - \frac{400}{9} - 100 = 0$ (t + 20/3)² - 400/9 - 100 = 0.
7
$(t + \frac{20}{3})^{2} = \frac{400 + 900}{9} = \frac{1 300}{9}$ (t + 20/3)² = (400 + 900)/9 = (1 300)/9, donc $t + \frac{20}{3} = \frac{1 300}{3} \approx 12, 019$ t + 20/3 = (√(1 300))/3 ≈ 12,019.
8
$t \approx 12, 019 - 6, 667 = 5, 35$ t ≈ 12,019 - 6,667 = 5,35 minutes.
La cuve atteint $300$ 300 L au bout d'environ $5$ 5 min $21$ 21 s.
9
Contrôle : $V (5, 35) = 40 \times 5, 35 + 3 \times 28, 62 \approx 214 + 85, 9 \approx 299, 9$ V(5,35) = 40× 5,35 + 3 × 28,62 ≈ 214 + 85,9 ≈ 299,9 L ✔.
10
Débit constant équivalent : il faudrait $700$ 700 L en $10$ 10 min, soit $70$ 70 L/min.
11
Cohérence : le débit réel passe de $40$ 40 à $100$ 100 L/min, dont la moyenne est bien $70$ 70 L/min ✔ (la moyenne d'une fonction affine est la moyenne de ses valeurs extrêmes).

Réponse :

V (t) = 40 t + 3 t^{2}

V(t) = 40t + 3t² ·

V (10) = 700

V(10) = 700 L ·

300

300 L atteints vers

t \approx 5, 35

t ≈ 5,35 min · débit constant équivalent :

70

70 L/min.

Rappel de cours : Débit $\to$ → volume par primitivation : $V (t) = \int$ V(t) = ∫ « cumul du débit », et la condition initiale donne la constante.

Erreur fréquente : Multiplier le débit initial par la durée ( $40 \times 10 = 400$ 40 × 10 = 400 L) : le débit augmente, le volume réel est bien plus grand.

Exercice 19 — Type bac : signal en dents de scie

Type bac / défi

Un courant vaut $i (t) = 0, 02$ i(t) = 0,02 A pour $0 \leq t \leq 0, 01$ 0 ≤ t ≤ 0,01 s, puis $i (t) = - 0, 02$ i(t) = -0,02 A pour $0, 01 \leq t \leq 0, 02$ 0,01 ≤ t ≤ 0,02 s.

Le condensateur est déchargé à $t = 0$ t = 0.

1.Détermine $q (t)$ q(t) sur $[0; 0, 01]$ [0 ; 0,01] et calcule $q (0, 01)$ q(0,01).
2.Détermine $q (t)$ q(t) sur $[0, 01; 0, 02]$ [0,01 ; 0,02].
3.Calcule $q (0, 02)$ q(0,02) et commente.
4.Quelle est la charge maximale atteinte ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Sur la première phase, le courant est constant : $q (t) = 0, 02 t + C_{1}$ q(t) = 0,02t + C₁, avec $q (0) = 0$ q(0) = 0 donc $C_{1} = 0$ C₁ = 0.
2
$q (t) = 0, 02 t$ q(t) = 0,02t sur $[0; 0, 01]$ [0 ; 0,01], d'où $q (0, 01) = 0, 02 \times 0, 01 = 2 \times 1 0^{- 4}$ q(0,01) = 0,02 × 0,01 = 2 × 10⁻⁴ C, soit $0, 2$ 0,2 mC.
3
Sur la seconde phase : $q (t) = - 0, 02 t + C_{2}$ q(t) = -0,02t + C₂.
La charge est CONTINUE, donc elle vaut encore $2 \times 1 0^{- 4}$ 2× 10⁻⁴ C à $t = 0, 01$ t = 0,01.
4
$2 \times 1 0^{- 4} = - 0, 02 \times 0, 01 + C_{2} = - 2 \times 1 0^{- 4} + C_{2}$ 2× 10⁻⁴ = -0,02 × 0,01 + C₂ = -2× 10⁻⁴ + C₂, donc $C_{2} = 4 \times 1 0^{- 4}$ C₂ = 4 × 10⁻⁴.
5
$q (t) = - 0, 02 t + 4 \times 1 0^{- 4}$ q(t) = -0,02t + 4× 10⁻⁴ sur $[0, 01; 0, 02]$ [0,01 ; 0,02].
6
$q (0, 02) = - 4 \times 1 0^{- 4} + 4 \times 1 0^{- 4} = 0$ q(0,02) = -4× 10⁻⁴ + 4× 10⁻⁴ = 0 C.
7
Commentaire : le condensateur se retrouve DÉCHARGÉ au bout d'une période.
C'est logique : il a reçu autant de charge qu'il en a rendu, le courant ayant la même valeur absolue pendant des durées égales.
8
Charge maximale : sur la première phase $q$ q croît, sur la seconde elle décroît.
Le maximum est donc atteint à la charnière $t = 0, 01$ t = 0,01 s, avec $2 \times 1 0^{- 4}$ 2× 10⁻⁴ C, soit $0, 2$ 0,2 mC.
9
Allure du signal : un courant CARRÉ produit une charge TRIANGULAIRE (montée puis descente linéaires).
C'est le principe du générateur de dents de scie.
10
Contrôle de pente : sur la descente, $q^{'} = - 0, 02$ q' = -0,02 A, soit l'opposé de la montée ✔ le triangle est bien symétrique.

Réponse :

q (t) = 0, 02 t

q(t) = 0,02t puis

q (t) = - 0, 02 t + 4 \times 1 0^{- 4}

q(t) = -0,02t + 4× 10⁻⁴ ·

q (0, 01) = 0, 2

q(0,01) = 0,2 mC et

q (0, 02) = 0

q(0,02) = 0 · charge maximale

0, 2

0,2 mC à

t = 0, 01

t = 0,01 s : un courant carré donne une charge triangulaire.

Rappel de cours : Sur un signal défini par morceaux, on primitive morceau par morceau, et l'on raccorde par CONTINUITÉ de la grandeur cumulée.

Erreur fréquente : Repartir de $C_{2} = 0$ C₂ = 0 sur la seconde phase : la charge sauterait brutalement de $0, 2$ 0,2 mC à $- 0, 2$ -0,2 mC, ce qui est physiquement impossible.

Exercice 20 — Type bac : Euler programmé

Type bac / défi

On modélise le refroidissement d'une pièce par $T^{'} (t) = - 0, 05 (T (t) - 20)$ T'(t) = -0,05(T(t) - 20), avec $T (0) = 200$ T(0) = 200 °C (températures en °C, temps en minutes).

1.Calcule $T^{'} (0)$ T'(0) et interprète.
2.Applique la méthode d'Euler avec $h = 2$ h = 2 minutes pour estimer $T (2)$ T(2), $T (4)$ T(4) et $T (6)$ T(6).
3.Écris un programme Python calculant $T$ T après $n$ n pas.
4.Vers quelle température la pièce tend-elle ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$T^{'} (0) = - 0, 05 \times (200 - 20) = - 0, 05 \times 180 = - 9$ T'(0) = -0,05 × (200 - 20) = -0,05 × 180 = -9 °C/min : la pièce perd $9$ 9 degrés par minute au début.
2
Euler : $T_{n + 1} = T_{n} + h \times (- 0, 05 (T_{n} - 20)) = T_{n} - 0, 1 (T_{n} - 20)$ Tₙ₊₁ = Tₙ + h × (-0,05(Tₙ - 20)) = Tₙ - 0,1(Tₙ - 20) pour $h = 2$ h = 2.
3
$T_{1} = 200 - 0, 1 \times 180 = 200 - 18 = 182$ T₁ = 200 - 0,1 × 180 = 200 - 18 = 182 °C (à $t = 2$ t = 2 min).
4
$T_{2} = 182 - 0, 1 \times 162 = 182 - 16, 2 = 165, 8$ T₂ = 182 - 0,1 × 162 = 182 - 16,2 = 165,8 °C (à $t = 4$ t = 4 min).
5
$T_{3} = 165, 8 - 0, 1 \times 145, 8 = 165, 8 - 14, 58 = 151, 22$ T₃ = 165,8 - 0,1 × 145,8 = 165,8 - 14,58 = 151,22 °C (à $t = 6$ t = 6 min).
6
On observe que la perte par pas diminue ( $18$ 18, puis $16, 2$ 16,2, puis $14, 58$ 14,58) : le refroidissement ralentit à mesure que la pièce s'approche de l'air ambiant.
7
Programme : $def euler(n):$ def euler(n): $T = 200$ T = 200 $h = 2$ h = 2 $for k in range(n):$ for k in range(n): $T = T - 0.05 * (T - 20) * h$ T = T - 0.05 * (T - 20) * h $return T$ return T
8
Avec $euler(3)$ euler(3), le programme renvoie $151, 22$ 151,22 ✔ conforme au calcul à la main.
9
Température limite : le refroidissement s'arrête quand $T^{'} = 0$ T' = 0, c'est-à-dire quand $T = 20$ T = 20 °C — la température ambiante.
10
La pièce tend donc vers $20$ 20 °C sans jamais l'atteindre exactement : $euler(30)$ euler(30) (soit une heure) donne environ $27, 6$ 27,6 °C, et $euler(60)$ euler(60) environ $20, 3$ 20,3 °C.

Réponse :

T^{'} (0) = - 9

T'(0) = -9 °C/min · Euler :

182

182 ;

165, 8

165,8 ;

151, 22

151,22 °C · boucle

T = T - 0.05*(T-20)*h

T = T - 0.05*(T-20)*h · la pièce tend vers

20

20 °C (l'ambiante).

Rappel de cours : Dans une loi de refroidissement, $T^{'} = - k (T - T_{amb})$ T' = -k(T - T_amb) : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'ÉCART avec l'ambiante.

Erreur fréquente : Écrire $T^{'} = - 0, 05 T$ T' = -0,05 T en oubliant le $- 20$ -20 : la pièce descendrait vers $0$ 0 °C, ce qu'aucun refroidissement à l'air libre ne fait.

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