Exercices corrigés : Nombres complexes — Première STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Pour la somme, on ajoute séparément les parties réelles et les parties imaginaires.

2. 2

   $z_1+z_2=(3+4)+(5-2)i=7+3i$z₁ + z₂ = (3 + 4) + (5 - 2)i = 7 + 3i.

3. 3

   $z_1-z_2=(3-4)+(5-(-2))i=-1+7i$z₁ - z₂ = (3 - 4) + (5 - (-2))i = -1 + 7i.

4. 4

   Pour le produit, on développe comme avec des réels, puis on remplace $i^2$i² par $-1$-1.

5. 5

   $z_1{z}_2=(3+5i)(4-2i)=12-6i+20i-10i^2$z₁ z₂ = (3 + 5i)(4 - 2i) = 12 - 6i + 20i - 10i².

6. 6

   $-10i^2=-10\times (-1)=+10$-10i² = -10 × (-1) = +10, donc $z_1{z}_2=12+10+14i=22+14i$z₁ z₂ = 12 + 10 + 14i = 22 + 14i.

7. 7

   Contrôle du terme imaginaire : $-6i+20i=14i$-6i + 20i = 14i ✔.

Rappel de cours : $i^2=-1$i² = -1. Tout le calcul algébrique habituel reste valable, à cette substitution près.

Erreur fréquente : Laisser $-10i^2$-10i² tel quel ou l'écrire $-10$-10 : comme $i^2=-1$i² = -1, ce terme vaut $+10$+10, et il change la partie réelle.

Correction détaillée

1. 1

   $i^3=i^2\times i=-1\times i=-i$i³ = i² × i = -1 × i = -i.

2. 2

   $i^4=i^2\times i^2=(-1)\times (-1)=1$i⁴ = i² × i² = (-1)×(-1) = 1.

3. 3

   $i^5=i^4\times i=1\times i=i$i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i.

4. 4

   Les puissances de $i$i se répètent donc par cycles de $4$4 : $i$i, $-1$-1, $-i$-i, $1$1, puis à nouveau $i$i…

5. 5

   Pour $i^{2026}$i²⁰²⁶, on divise l'exposant par $4$4 : $2026=4\times 506+2$2026 = 4 × 506 + 2.

6. 6

   Donc $i^{2026}={\left(i^4\right)}^{506}\times i^2=1^{506}\times (-1)=-1$i²⁰²⁶ = (i⁴)⁵⁰⁶ × i² = 1⁵⁰⁶ × (-1) = -1.

7. 7

   Méthode générale : seul le RESTE de la division de l'exposant par $4$4 compte.

Rappel de cours : Cycle de longueur $4$4 : $i^{4k}=1$i^(4k) = 1, $i^{4k+1}=i$i^(4k+1) = i, $i^{4k+2}=-1$i^(4k+2) = -1, $i^{4k+3}=-i$i^(4k+3) = -i.

Erreur fréquente : Écrire $i^4=-1$i⁴ = -1 : c'est $i^2$i² qui vaut $-1$-1 ; le carré de $-1$-1 redonne $+1$+1.

Correction détaillée

1. 1

   Un complexe s'écrit $z=a+bi$z = a + bi : $a$a est sa partie réelle (notée $\mathrm{Re}(z)$Re (z)), $b$b sa partie imaginaire (notée $\mathrm{Im}(z)$Im (z)).

2. 2

   $z=-2+7i$z = -2 + 7i : $\mathrm{Re}(z)=-2$Re (z) = -2 et $\mathrm{Im}(z)=7$Im (z) = 7.

3. 3

   $z^{\prime }=5=5+0i$z' = 5 = 5 + 0i : $\mathrm{Re}(z^{\prime })=5$Re (z') = 5 et $\mathrm{Im}(z^{\prime })=0$Im (z') = 0.

   C'est un RÉEL.

4. 4

   $z^{\prime \prime }=-3i=0-3i$z'' = -3i = 0 - 3i : $\mathrm{Re}(z^{\prime \prime })=0$Re (z'') = 0 et $\mathrm{Im}(z^{\prime \prime })=-3$Im (z'') = -3.

   C'est un IMAGINAIRE PUR.

5. 5

   Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : $\overline{z}=-2-7i$z̅ = -2 - 7i.

6. 6

   $\overline{z^{\prime }}=5$z'̅ = 5 (un réel est son propre conjugué) et $\overline{z^{\prime \prime }}=3i$z''̅ = 3i.

7. 7

   Attention : la partie imaginaire est un NOMBRE RÉEL, pas « $7i$7i ».

   On écrit $\mathrm{Im}(z)=7$Im (z) = 7.

Rappel de cours : $\overline{a+bi}=a-bi$a + bi̅ = a - bi : seul le signe de la partie imaginaire change.

Erreur fréquente : Répondre « $\mathrm{Im}(z)=7i$Im (z) = 7i ». La partie imaginaire est le COEFFICIENT de $i$i, donc un réel.

Correction détaillée

1. 1

   Le module de $z=a+bi$z = a + bi est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$|z| = √(a² + b²) : c'est la distance de l'origine au point d'affixe $z$z.

2. 2

   $|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$|z₁| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5.

3. 3

   $|z_2|=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$|z₂| = √((-5)² + 12²) = √(25 + 144) = √(169) = 13.

4. 4

   $|z_3|=\sqrt{(-6{)}^2+0^2}=\sqrt{36}=6$|z₃| = √((-6)² + 0²) = √(36) = 6.

5. 5

   Pour un réel, le module coïncide avec la valeur absolue : $|-6|=6$|-6| = 6 ✔ — ce qui justifie la même notation.

6. 6

   Un module est toujours POSITIF ou nul, même quand les parties réelle et imaginaire sont négatives.

Rappel de cours : $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$|a + bi| = √(a² + b²), toujours positif. Un module nul caractérise $z=0$z = 0.

Erreur fréquente : Écrire $|-5+12i|=-5+12=7$|-5 + 12i| = -5 + 12 = 7 : le module n'est pas une somme, c'est une racine de somme de CARRÉS.

Correction détaillée

1. 1

   L'affixe $a+bi$a + bi correspond au point de coordonnées $(a;b)$(a ; b).

2. 2

   Donc $A(2;3)$A(2 ; 3) et $B(6;-1)$B(6 ; -1).

3. 3

   L'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est la différence $z_B-z_A$z_B - z_A (arrivée moins départ).

4. 4

   $z_{\overrightarrow{AB}}=(6-i)-(2+3i)=4-4i$z_vecteur AB = (6 - i) - (2 + 3i) = 4 - 4i.

5. 5

   La distance $AB$AB est le module de cette affixe : $AB=|4-4i|=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$AB = |4 - 4i| = √(16 + 16) = √(32) = 4√(2).

6. 6

   $4\sqrt{2}\approx 5,66$4√(2) ≈ 5,66.

7. 7

   Contrôle par les coordonnées : $AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$AB = √((6-2)² + (-1-3)²) = √(16 + 16) = √(32) ✔ — les deux méthodes sont la même.

Rappel de cours : $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$z_vecteur AB = z_B - z_A et $AB=|z_B-z_A|$AB = |z_B - z_A| : le module d'une différence est une DISTANCE.

Erreur fréquente : Calculer $z_A-z_B$z_A - z_B : on obtient l'affixe de $\overrightarrow{BA}$vecteur BA, c'est-à-dire l'opposé (la distance, elle, est inchangée).

Correction détaillée

1. 1

   Méthode : on multiplie numérateur et dénominateur par le CONJUGUÉ du dénominateur, ce qui rend le dénominateur réel.

2. 2

   $Z=\frac{(5+10i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$Z = ((5 + 10i)(1 - 2i))/((1 + 2i)(1 - 2i)).

3. 3

   Dénominateur : $(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i{)}^2=1-4i^2=1+4=5$(1+2i)(1-2i) = 1² - (2i)² = 1 - 4i² = 1 + 4 = 5.

4. 4

   Numérateur : $(5+10i)(1-2i)=5-10i+10i-20i^2=5+20=25$(5 + 10i)(1 - 2i) = 5 - 10i + 10i - 20i² = 5 + 20 = 25.

5. 5

   Donc $Z=\frac{25}{5}=5$Z = 25/5 = 5 : le quotient est un RÉEL (les termes en $i$i se sont compensés).

6. 6

   Pour $Z^{\prime }$Z' : $Z^{\prime }=\frac{3(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{6+3i}{4+1}=\frac{6+3i}{5}$Z' = (3(2 + i))/((2 - i)(2 + i)) = (6 + 3i)/(4 + 1) = (6 + 3i)/5.

7. 7

   Donc $Z^{\prime }=\frac{6}{5}+\frac{3}{5}i=1,2+0,6i$Z' = 6/5 + 3/5i = 1,2 + 0,6i.

8. 8

   Contrôle : $Z^{\prime }\times (2-i)=(1,2+0,6i)(2-i)=2,4-1,2i+1,2i-0,6i^2=2,4+0,6=3$Z' × (2 - i) = (1,2 + 0,6i)(2 - i) = 2,4 - 1,2i + 1,2i - 0,6i² = 2,4 + 0,6 = 3 ✔.

Rappel de cours : $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$(a+bi)(a-bi) = a² + b² : le produit d'un complexe par son conjugué est un RÉEL positif.

Erreur fréquente : Multiplier par le conjugué du NUMÉRATEUR : le dénominateur resterait complexe, et le calcul n'avancerait pas.

Correction détaillée

1. 1

   On isole $z$z en divisant par $(2+i)$(2 + i) : $z=\frac{5-5i}{2+i}$z = (5 - 5i)/(2 + i).

2. 2

   On multiplie par le conjugué : $z=\frac{(5-5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{10-5i-10i+5i^2}{4+1}$z = ((5 - 5i)(2 - i))/((2+i)(2-i)) = (10 - 5i - 10i + 5i²)/(4 + 1).

3. 3

   Numérateur : $10-5-15i=5-15i$10 - 5 - 15i = 5 - 15i.

   Dénominateur : $5$5.

4. 4

   Donc $z=\frac{5-15i}{5}=1-3i$z = (5 - 15i)/5 = 1 - 3i.

5. 5

   Contrôle : $(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=2+3-5i=5-5i$(2+i)(1 - 3i) = 2 - 6i + i - 3i² = 2 + 3 - 5i = 5 - 5i ✔.

6. 6

   Seconde équation : on regroupe les $z$z d'un côté.

   $3z-z=-4-2i$3z - z = -4 - 2i, soit $2z=-4-2i$2z = -4 - 2i.

7. 7

   $z=\frac{-4-2i}{2}=-2-i$z = (-4 - 2i)/2 = -2 - i.

8. 8

   Contrôle : $3(-2-i)+2i=-6-3i+2i=-6-i$3(-2-i) + 2i = -6 - 3i + 2i = -6 - i, et $(-2-i)-4=-6-i$(-2-i) - 4 = -6 - i ✔.

Rappel de cours : Une équation du premier degré dans $\mathbb{C}$ℂ se résout comme dans $\mathbb{R}$ℝ : on isole $z$z, puis on met le quotient sous forme algébrique.

Erreur fréquente : Arrêter la réponse à $z=\frac{5-5i}{2+i}$z = (5-5i)/(2+i) : ce n'est pas une forme algébrique. Il faut toujours terminer en $a+bi$a + bi.

Correction détaillée

1. 1

   $|z_2|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$|z₂| = √(1² + (-1)²) = √(2).

2. 2

   Propriété : le module d'un produit est le produit des modules.

   Donc $|z_1{z}_2|=5\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx 7,07$|z₁ z₂| = 5 × √(2) = 5√(2) ≈ 7,07.

3. 3

   De même pour le quotient : $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54$|z₁/z₂| = 5/√(2) = 5√(2)/2 ≈ 3,54.

4. 4

   Vérification directe : $z_1{z}_2=(3+4i)(1-i)=3-3i+4i-4i^2=3+4+i=7+i$z₁ z₂ = (3+4i)(1-i) = 3 - 3i + 4i - 4i² = 3 + 4 + i = 7 + i.

5. 5

   $|7+i|=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$|7 + i| = √(49 + 1) = √(50) = 5√(2) ✔ Les deux méthodes concordent.

6. 6

   Intérêt de la propriété : elle évite de développer le produit quand seul le module intéresse — situation très fréquente en électricité, où l'on cherche une amplitude.

Rappel de cours : $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$|zz'| = |z| |z'| et $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$|z/z'| = |z|/|z'|. En revanche $|z+z^{\prime }|\ne |z|+|z^{\prime }|$|z + z'| ≠ |z| + |z'| en général.

Erreur fréquente : Appliquer la propriété à une SOMME : $|z_1+z_2|=|4+3i|=5$|z₁ + z₂| = |4 + 3i| = 5, alors que $|z_1|+|z_2|=5+\sqrt{2}\approx 6,41$|z₁| + |z₂| = 5 + √(2) ≈ 6,41. Les modules ne s'additionnent pas.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $z_1=1+i$z₁ = 1 + i : $r=|z_1|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$r = |z₁| = √(1 + 1) = √(2).

2. 2

   On cherche $\theta$θ tel que $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ = 1/√(2) = √(2)/2 et $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ = √(2)/2 : c'est $\theta =\frac{\pi }{4}$θ = π/4.

3. 3

   Donc $z_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$z₁ = √(2)(cosπ/4 + isinπ/4).

4. 4

   Pour $z_2=2i$z₂ = 2i : $r=2$r = 2, et le point est sur l'axe des ordonnées, vers le haut, donc $\theta =\frac{\pi }{2}$θ = π/2.

5. 5

   $z_2=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$z₂ = 2(cosπ/2 + isinπ/2).

6. 6

   Pour $z_3=-3$z₃ = -3 : $r=3$r = 3, et le point est sur l'axe des réels NÉGATIFS, donc $\theta =\pi$θ = π.

7. 7

   $z_3=3(\cos \pi +i\sin \pi )$z₃ = 3(cosπ + isinπ).

8. 8

   Contrôle de $z_3$z₃ : $3(\cos \pi +i\sin \pi )=3(-1+0i)=-3$3(cosπ + isinπ) = 3(-1 + 0i) = -3 ✔.

Rappel de cours : $r=|z|$r = |z| puis $\cos \theta =\frac{a}{r}$cosθ = a/r et $\sin \theta =\frac{b}{r}$sinθ = b/r : il faut les DEUX pour déterminer $\theta$θ sans ambiguïté.

Erreur fréquente : Prendre $\theta =0$θ = 0 pour $z_3=-3$z₃ = -3 en oubliant le signe : le module doit être positif, c'est l'argument qui porte le signe ($\theta =\pi$θ = π).

Correction détaillée

1. 1

   Pour $z_1$z₁ : $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$cosπ/3 = 1/2 et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπ/3 = √(3)/2.

2. 2

   $z_1=4\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+2\sqrt{3}i$z₁ = 4(1/2 + i√(3)/2) = 2 + 2√(3) i.

3. 3

   Valeur approchée : $z_1\approx 2+3,46i$z₁ ≈ 2 + 3,46i.

4. 4

   Pour $z_2$z₂ : $\frac{5\pi }{6}=150°$5π/6 = 150°, donc $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5π/6 = -√(3)/2 et $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$sin5π/6 = 1/2.

5. 5

   $z_2=6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right)=-3\sqrt{3}+3i\approx -5,20+3i$z₂ = 6(-√(3)/2 + i1/2) = -3√(3) + 3i ≈ -5,20 + 3i.

6. 6

   Contrôle des modules : $|z_1|=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$|z₁| = √(4 + 12) = √(16) = 4 ✔ et $|z_2|=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$|z₂| = √(27 + 9) = √(36) = 6 ✔.

Rappel de cours : $a=r\cos \theta$a = rcosθ et $b=r\sin \theta$b = rsinθ : c'est le passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique.

Erreur fréquente : Distribuer le module sur un seul terme : il multiplie À LA FOIS le cosinus et le sinus.

Correction détaillée

1. 1

   Règle du produit : les modules se MULTIPLIENT, les arguments s'AJOUTENT.

2. 2

   $|z_1{z}_2|=2\times 3=6$|z₁ z₂| = 2 × 3 = 6.

3. 3

   $\arg (z_1{z}_2)=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{12}+\frac{3\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$arg(z₁ z₂) = π/6 + π/4 = 2π/12 + 3π/12 = 5π/12.

4. 4

   Règle du quotient : les modules se divisent, les arguments se RETRANCHENT.

5. 5

   $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{2}{3}$|z₁/z₂| = 2/3 et $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi -3\pi }{12}=-\frac{\pi }{12}$arg(z₁/z₂) = π/6 - π/4 = (2π - 3π)/12 = -π/12.

6. 6

   Forme trigonométrique du produit : $z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$z₁ z₂ = 6(cos5π/12 + isin5π/12).

7. 7

   Vérification numérique : $\frac{5\pi }{12}=75°$5π/12 = 75°, donc $z_1{z}_2\approx 6(0,2588+0,9659i)\approx 1,553+5,796i$z₁z₂ ≈ 6(0,2588 + 0,9659i) ≈ 1,553 + 5,796i.

8. 8

   Par le calcul direct : $z_1\approx 2(0,866+0,5i)=1,732+i$z₁ ≈ 2(0,866 + 0,5i) = 1,732 + i et $z_2\approx 3(0,707+0,707i)=2,121+2,121i$z₂ ≈ 3(0,707 + 0,707i) = 2,121 + 2,121i, dont le produit vaut $\approx (1,732)(2,121)-(1)(2,121)+i[(1,732)(2,121)+(1)(2,121)]\approx 1,553+5,796i$≈ (1,732)(2,121) - (1)(2,121) + i[(1,732)(2,121) + (1)(2,121)] ≈ 1,553 + 5,796i ✔.

9. 9

   Voilà tout l'intérêt de la forme trigonométrique : le produit y devient une simple addition d'angles.

Rappel de cours : Produit : modules $\times$×, arguments $+$+ · quotient : modules $÷$÷, arguments $-$-.

Erreur fréquente : Multiplier les arguments : $\frac{\pi }{6}\times \frac{\pi }{4}$π/6 × π/4 n'a aucun sens ici. Les arguments s'ajoutent, comme des angles de rotations successives.

Correction détaillée

1. 1

   $z^2+25=0$z² + 25 = 0 équivaut à $z^2=-25$z² = -25.

   Dans $\mathbb{R}$ℝ il n'y aurait pas de solution ; dans $\mathbb{C}$ℂ, si.

2. 2

   On écrit $-25=25\times (-1)=25i^2=(5i{)}^2$-25 = 25 × (-1) = 25 i² = (5i)².

3. 3

   Donc $z^2=(5i{)}^2$z² = (5i)², ce qui donne $z=5i$z = 5i ou $z=-5i$z = -5i.

4. 4

   Contrôle : $(5i{)}^2=25i^2=-25$(5i)² = 25i² = -25 ✔ et $(-5i{)}^2=25i^2=-25$(-5i)² = 25i² = -25 ✔.

5. 5

   Seconde équation : $4z^2=-9$4z² = -9, donc $z^2=-\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}i\right)}^2$z² = -9/4 = (3/2i)².

6. 6

   Les solutions sont $z=\frac{3}{2}i$z = 3/2i et $z=-\frac{3}{2}i$z = -3/2i, soit $1,5i$1,5i et $-1,5i$-1,5i.

7. 7

   Remarque : ces solutions sont deux complexes CONJUGUÉS, tous deux imaginaires purs.

   C'est toujours le cas pour une équation $z^2=-k$z² = -k avec $k>0$k > 0.

Rappel de cours : $z^2=-k$z² = -k avec $k>0$k > 0 admet DEUX solutions imaginaires pures, $\pm i\sqrt{k}$± i√(k).

Erreur fréquente : Écrire $\sqrt{-25}=-5$√(-25) = -5 : la racine carrée d'un négatif n'est pas définie. On passe par $i^2=-1$i² = -1.

Correction détaillée

1. 1

   $AB=|z_B-z_A|=|4+2i|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$AB = |z_B - z_A| = |4 + 2i| = √(16 + 4) = √(20) = 2√(5).

2. 2

   $BC=|z_C-z_B|=|-2+2i|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$BC = |z_C - z_B| = |-2 + 2i| = √(4 + 4) = √(8) = 2√(2).

3. 3

   $AC=|z_C-z_A|=|2+4i|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$AC = |z_C - z_A| = |2 + 4i| = √(4 + 16) = √(20) = 2√(5).

4. 4

   $AB=AC=2\sqrt{5}$AB = AC = 2√(5) : le triangle est ISOCÈLE en $A$A.

5. 5

   Est-il rectangle ?

   Le plus grand côté est $2\sqrt{5}$2√(5) (soit $\approx 4,47$≈ 4,47) ; on teste $B{C}^2+A{C}^2=8+20=28$BC² + AC² = 8 + 20 = 28 contre $A{B}^2=20$AB² = 20.

   Les valeurs diffèrent.

6. 6

   On teste aussi l'angle en $A$A : $A{B}^2+A{C}^2=20+20=40$AB² + AC² = 20 + 20 = 40 contre $B{C}^2=8$BC² = 8.

   Différent également.

7. 7

   Le triangle est donc isocèle en $A$A, mais pas rectangle.

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : avec une base $BC=2,83$BC = 2,83 et deux côtés de $4,47$4,47, le triangle est « pointu » en $A$A — l'angle en $A$A vaut environ $36,9°$36,9° d'après Al-Kashi.

Rappel de cours : $AB=|z_B-z_A|$AB = |z_B - z_A| : toute question de distance dans le plan complexe se ramène à un module de différence.

Erreur fréquente : Calculer $|z_B|-|z_A|$|z_B| - |z_A| : cela donne une différence de distances à l'origine, pas la distance $AB$AB.

Correction détaillée

1. 1

   $|Z|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\Omega$|Z| = √(30² + 40²) = √(900 + 1 600) = √(2 500) = 50 Ω.

2. 2

   Interprétation : le module de l'impédance est le rapport entre l'amplitude de la tension et celle du courant.

   Ici, $50$50 ohms.

3. 3

   Pour l'argument $\phi$φ : $\cos \phi =\frac{30}{50}=0,6$cosφ = 30/50 = 0,6 et $\sin \phi =\frac{40}{50}=0,8$sinφ = 40/50 = 0,8, tous deux positifs.

4. 4

   $\phi =\arccos (0,6)\approx 53,13°$φ = arccos(0,6) ≈ 53,13°, soit environ $53°$53° (soit $0,927$0,927 rad).

5. 5

   Interprétation : l'argument est le DÉPHASAGE de la tension par rapport au courant.

   Ici la tension est en avance de $53°$53° : c'est le comportement d'un circuit inductif (bobine).

6. 6

   Amplitude de la tension : $U=|Z|\times I=50\times 2=100$U = |Z| × I = 50 × 2 = 100 V.

7. 7

   Contrôle de cohérence : la réactance $X=40\Omega$X = 40 Ω est positive, ce qui correspond bien à un circuit inductif, en accord avec le déphasage positif ✔.

Rappel de cours : Module de $Z$Z $\to$→ rapport des amplitudes · argument de $Z$Z $\to$→ déphasage. Le complexe porte les DEUX informations.

Erreur fréquente : Additionner $30+40=70\Omega$30 + 40 = 70 Ω pour l'impédance : résistance et réactance ne s'additionnent pas arithmétiquement, mais « en quadrature ».

Correction détaillée

1. 1

   $Z=\frac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{6+2i+3i+i^2}{9+1}$Z = ((2+i)(3+i))/((3-i)(3+i)) = (6 + 2i + 3i + i²)/(9 + 1).

2. 2

   Numérateur : $6-1+5i=5+5i$6 - 1 + 5i = 5 + 5i.

   Dénominateur : $10$10.

3. 3

   Donc $Z=\frac{5+5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=0,5+0,5i$Z = (5 + 5i)/10 = 1/2 + 1/2i = 0,5 + 0,5i.

4. 4

   Conjugué : $\overline{Z}=0,5-0,5i$Z̅ = 0,5 - 0,5i.

5. 5

   Somme : $Z+\overline{Z}=(0,5+0,5)+(0,5-0,5)i=1$Z + Z̅ = (0,5 + 0,5) + (0,5 - 0,5)i = 1.

   C'est un réel, égal à $2\mathrm{Re}(Z)$2 Re (Z) ✔.

6. 6

   Produit : $Z\overline{Z}=(0,5{)}^2+(0,5{)}^2=0,25+0,25=0,5$ZZ̅ = (0,5)² + (0,5)² = 0,25 + 0,25 = 0,5.

   C'est aussi un réel, égal à $|Z{|}^2$|Z|² ✔.

7. 7

   Contrôle : $|Z|=\sqrt{0,25+0,25}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$|Z| = √(0,25 + 0,25) = √(0,5) ≈ 0,707, et $|Z{|}^2=0,5$|Z|² = 0,5 ✔.

8. 8

   Ces deux résultats sont généraux : $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$z + z̅ = 2 Re (z) et $z\overline{z}=|z{|}^2$zz̅ = |z|², toujours réels.

Rappel de cours : $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$z + z̅ = 2 Re (z) · $z-\overline{z}=2i\mathrm{Im}(z)$z - z̅ = 2i Im (z) · $z\overline{z}=|z{|}^2$zz̅ = |z|².

Erreur fréquente : Écrire $z\overline{z}=z^2$zz̅ = z² : ici $Z^2=(0,5+0,5i{)}^2=0,5i$Z² = (0,5+0,5i)² = 0,5i, qui n'est même pas réel.

Correction détaillée

1. 1

   $\omega =2\pi \times 50=100\pi \approx 314,16$ω = 2π × 50 = 100π ≈ 314,16 rad/s.

2. 2

   Réactance : $L\omega =0,2\times 314,16\approx 62,83$Lω = 0,2 × 314,16 ≈ 62,83, soit environ $63\Omega$63 Ω.

3. 3

   Forme algébrique : $Z\approx 100+63j$Z ≈ 100 + 63j (en ohms).

4. 4

   Module : $|Z|=\sqrt{100^2+62,83^2}=\sqrt{10000+3947,6}=\sqrt{13947,6}\approx 118,1\Omega$|Z| = √(100² + 62,83²) = √(10 000 + 3 947,6) = √(13 947,6) ≈ 118,1 Ω.

5. 5

   Déphasage : $\tan \phi =\frac{62,83}{100}=0,6283$tanφ = 62,83/100 = 0,6283, donc $\phi =\arctan (0,6283)\approx 32,14°$φ = arctan(0,6283) ≈ 32,14°, soit environ $32°$32°.

6. 6

   L'argument est positif : la tension est en avance sur le courant, comportement inductif attendu pour une bobine ✔.

7. 7

   Amplitude du courant : $I=\frac{U}{|Z|}=\frac{325}{118,1}\approx 2,75$I = U/|Z| = 325/118,1 ≈ 2,75 A.

8. 8

   Contrôle de cohérence : si la bobine était absente ($Z=100\Omega$Z = 100 Ω), on aurait $I=3,25$I = 3,25 A et aucun déphasage.

   La bobine réduit donc le courant de $15\%$15% tout en introduisant un déphasage de $32°$32°.

9. 9

   Remarque pratique : à $50$50 Hz cette bobine « pèse » $63\Omega$63 Ω ; à $500$500 Hz elle pèserait $628\Omega$628 Ω.

   La réactance croît proportionnellement à la fréquence, ce qui fait de la bobine un filtre naturel des hautes fréquences.