Exercices corrigés : Calcul intégral — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   Le domaine sous la courbe est un rectangle de largeur $8$8 (l'intervalle de temps) et de hauteur $250$250.

2. 2

   Son aire vaut $8\times 250=2000$8× 250 = 2 000.

3. 3

   Par une primitive : une primitive de $f(t)=250$f(t) = 250 est $F(t)=250t$F(t) = 250t.

4. 4

   ${\int }_0^{8}250dt=F(8)-F(0)=2000-0=2000$∫₀⁸250 dt = F(8) - F(0) = 2 000 - 0 = 2 000 ✔ Même résultat.

5. 5

   Interprétation physique : l'intégrale d'une puissance (en watts) sur un temps (en secondes) est une ÉNERGIE, en joules.

6. 6

   L'énergie fournie vaut donc $2000$2 000 J, soit $2$2 kJ.

Rappel de cours : ${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$∫ₐ^(b) f(t) dt = F(b) - F(a) où $F$F est une primitive de $f$f. Pour une fonction constante, c'est l'aire d'un rectangle.

Erreur fréquente : Écrire $F(8)-F(0)=250\times 8-250=1750$F(8) - F(0) = 250× 8 - 250 = 1 750 : $F(0)=250\times 0=0$F(0) = 250× 0 = 0, pas $250$250.

Correction détaillée

1. 1

   Première intégrale : une primitive de $2x+1$2x + 1 est $F(x)=x^2+x$F(x) = x² + x.

2. 2

   ${\int }_0^3(2x+1)dx=F(3)-F(0)=(9+3)-0=12$∫₀³(2x+1)dx = F(3) - F(0) = (9 + 3) - 0 = 12.

3. 3

   Contrôle géométrique : le domaine est un trapèze de bases $f(0)=1$f(0) = 1 et $f(3)=7$f(3) = 7, de hauteur $3$3, donc d'aire $\frac{(1+7)\times 3}{2}=12$((1+7)× 3)/2 = 12 ✔.

4. 4

   Seconde intégrale : une primitive de $3x^2$3x² est $G(x)=x^3$G(x) = x³.

5. 5

   ${\int }_1^{2}3x^{2}dx=G(2)-G(1)=8-1=7$∫₁²3x²dx = G(2) - G(1) = 8 - 1 = 7.

6. 6

   Notation usuelle : on écrit ${\left[x^3\right]}_1^2=8-1=7$[x³]₁² = 8 - 1 = 7, les crochets rappelant qu'on évalue la primitive aux deux bornes.

Rappel de cours : On cherche UNE primitive (la constante s'élimine dans la soustraction), puis on calcule $F(b)-F(a)$F(b) - F(a).

Erreur fréquente : Soustraire dans le mauvais sens : $F(a)-F(b)$F(a) - F(b) donne l'opposé. L'ordre est toujours « borne du haut moins borne du bas ».

Correction détaillée

1. 1

   L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales : ${\int }_0^2(f+g)=5+(-3)=2$∫₀²(f+g) = 5 + (-3) = 2.

2. 2

   Un coefficient constant sort de l'intégrale : ${\int }_0^{2}4f=4\times 5=20$∫₀²4f = 4× 5 = 20.

3. 3

   En combinant les deux propriétés : ${\int }_0^2(2f-3g)=2\times 5-3\times (-3)=10+9=19$∫₀²(2f - 3g) = 2× 5 - 3×(-3) = 10 + 9 = 19.

4. 4

   Attention au double signe : $-3\times (-3)=+9$-3×(-3) = +9.

5. 5

   Ces propriétés s'appellent la LINÉARITÉ de l'intégrale.

   Elles permettent de décomposer un calcul compliqué en morceaux simples.

6. 6

   En revanche, il n'existe AUCUNE formule pour l'intégrale d'un produit : $\int fg\ne \left(\int f\right)\left(\int g\right)$∫ fg ≠ (∫ f)(∫ g).

Rappel de cours : $\int (af+bg)=a\int f+b\int g$∫ (af + bg) = a∫ f + b∫ g : la linéarité vaut pour les sommes et les multiples, jamais pour les produits.

Erreur fréquente : Écrire $\int fg=\left(\int f\right)\left(\int g\right)$∫ fg = (∫ f)(∫ g) : ce serait $-15$-15, sans aucun fondement.

Correction détaillée

1. 1

   Relation de Chasles : ${\int }_0^9={\int }_0^4+{\int }_4^9$∫₀⁹ = ∫₀⁴ + ∫₄⁹.

2. 2

   Donc ${\int }_0^{9}f=12+7=19$∫₀⁹f = 12 + 7 = 19.

3. 3

   Géométriquement : l'aire totale est la somme des aires des deux morceaux, découpés en $x=4$x = 4.

4. 4

   Pour la seconde question, on écrit ${\int }_0^9={\int }_0^6+{\int }_6^9$∫₀⁹ = ∫₀⁶ + ∫₆⁹, soit $19=15+{\int }_6^{9}f$19 = 15 + ∫₆⁹f.

5. 5

   Donc ${\int }_6^{9}f=19-15=4$∫₆⁹f = 19 - 15 = 4.

6. 6

   Contrôle de cohérence : sur $[4;9]$[4 ; 9] l'intégrale vaut $7$7, dont $4$4 sur $[6;9]$[6 ; 9].

   Il reste donc $3$3 sur $[4;6]$[4 ; 6], et $12+3=15={\int }_0^{6}f$12 + 3 = 15 = ∫₀⁶f ✔.

Rappel de cours : Chasles : ${\int }_a^c={\int }_a^b+{\int }_b^c$∫ₐ^(c) = ∫ₐ^(b) + ∫_b^(c) — on découpe l'intervalle, on additionne les aires.

Erreur fréquente : Soustraire dans le mauvais ordre : ${\int }_6^9={\int }_0^9-{\int }_0^6$∫₆⁹ = ∫₀⁹ - ∫₀⁶, et non l'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de $f$f est $F(x)=-4x$F(x) = -4x, donc ${\int }_1^{5}f=-20-(-4)=-16$∫₁⁵f = -20 - (-4) = -16.

2. 2

   Le résultat est NÉGATIF : la courbe est entièrement sous l'axe des abscisses.

   L'intégrale compte alors l'aire avec un signe moins.

3. 3

   L'aire géométrique du domaine vaut bien $4\times 4=16$4× 4 = 16 unités, mais l'intégrale vaut $-16$-16.

4. 4

   Pour $g$g : une primitive est $G(x)=\frac{x^2}{2}-3x$G(x) = x²/2 - 3x.

5. 5

   ${\int }_0^{3}g=G(3)-G(0)=\left(4,5-9\right)-0=-4,5$∫₀³g = G(3) - G(0) = (4,5 - 9) - 0 = -4,5.

6. 6

   Interprétation : sur $[0;3]$[0 ; 3], $g$g est négative (car $x<3$x < 3), d'où une intégrale négative.

7. 7

   À retenir : une intégrale est une aire ALGÉBRIQUE.

   Elle est positive au-dessus de l'axe, négative en dessous, et les deux se compensent si la fonction change de signe.

Rappel de cours : Intégrale = aire ALGÉBRIQUE : négative là où la fonction est négative. Pour une aire géométrique, on intègre $|f|$|f| ou l'on découpe.

Erreur fréquente : Annoncer une aire négative : une aire est positive, c'est l'INTÉGRALE qui peut être négative.

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de $f$f est $F(x)=3x^2-\frac{x^3}{3}$F(x) = 3x² - x³/3.

2. 2

   ${\int }_0^{6}f=F(6)-F(0)=\left(108-\frac{216}{3}\right)-0=108-72=36$∫₀⁶f = F(6) - F(0) = (108 - 216/3) - 0 = 108 - 72 = 36.

3. 3

   L'aire vaut donc $36$36 unités d'aire.

4. 4

   Sur $[0;3]$[0 ; 3] : $F(3)=27-\frac{27}{3}=27-9=18$F(3) = 27 - 27/3 = 27 - 9 = 18.

5. 5

   ${\int }_0^{3}f=18-0=18$∫₀³f = 18 - 0 = 18, soit exactement la MOITIÉ de l'aire totale.

6. 6

   Ce n'est pas un hasard : la parabole est symétrique par rapport à son axe $x=3$x = 3 (milieu des racines $0$0 et $6$6), donc les deux moitiés ont la même aire ✔.

7. 7

   Contrôle de vraisemblance : le domaine est inscrit dans le rectangle $6\times 9$6 × 9 ($f$f atteint son maximum $9$9 en $x=3$x = 3), d'aire $54$54.

   Or $36=\frac{2}{3}\times 54$36 = 2/3× 54 — c'est la règle d'Archimède pour un segment de parabole ✔.

Rappel de cours : Si $f\ge 0$f ≥ 0 sur $[a;b]$[a ; b], l'aire du domaine sous la courbe est exactement ${\int }_a^{b}f$∫ₐ^(b)f.

Erreur fréquente : Oublier de diviser $x^3$x³ par $3$3 dans la primitive : on obtiendrait $108-216=-108$108 - 216 = -108, absurde pour une fonction positive.

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de $p$p est $P(t)=40t+3t^2$P(t) = 40t + 3t².

2. 2

   ${\int }_0^{10}p=P(10)-P(0)=(400+300)-0=700$∫₀¹⁰p = P(10) - P(0) = (400 + 300) - 0 = 700.

3. 3

   Interprétation : l'intégrale d'une puissance en kW sur un temps en heures donne une ÉNERGIE en kWh.

   L'atelier a consommé $700$700 kWh.

4. 4

   Valeur moyenne : $m=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}p(t)dt=\frac{700}{10}=70$m = 1/(b-a)∫ₐ^(b)p(t)dt = 700/10 = 70 kW.

5. 5

   Vérification par la géométrie : $p$p étant affine, sa valeur moyenne est la moyenne de ses valeurs aux bornes, soit $\frac{p(0)+p(10)}{2}=\frac{40+100}{2}=70$(p(0) + p(10))/2 = (40 + 100)/2 = 70 ✔.

6. 6

   Sens physique de la valeur moyenne : une puissance CONSTANTE de $70$70 kW pendant $10$10 heures consommerait la même énergie ($700$700 kWh) que la puissance variable réelle.

Rappel de cours : Valeur moyenne : $m=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$m = 1/(b-a)∫ₐ^(b)f. C'est la hauteur du rectangle de même aire.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $b-a$b - a : $700$700 est une énergie (kWh), $70$70 une puissance (kW). Les unités le disent.

Correction détaillée

1. 1

   La fonction $x\mapsto x^2$x ↦ x² est croissante sur $[0;2]$[0 ; 2] : le bord gauche donne donc la valeur la plus petite de chaque rectangle.

2. 2

   Rectangles par défaut : hauteurs $f(0)=0$f(0) = 0, $f(0,5)=0,25$f(0,5) = 0,25, $f(1)=1$f(1) = 1, $f(1,5)=2,25$f(1,5) = 2,25, chacun de largeur $0,5$0,5.

3. 3

   Somme : $0,5\times (0+0,25+1+2,25)=0,5\times 3,5=1,75$0,5×(0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 0,5× 3,5 = 1,75.

4. 4

   Rectangles par excès : hauteurs $f(0,5)=0,25$f(0,5) = 0,25, $f(1)=1$f(1) = 1, $f(1,5)=2,25$f(1,5) = 2,25, $f(2)=4$f(2) = 4.

5. 5

   Somme : $0,5\times (0,25+1+2,25+4)=0,5\times 7,5=3,75$0,5×(0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 0,5 × 7,5 = 3,75.

6. 6

   Encadrement : $1,75\le {\int }_0^2{x}^{2}dx\le 3,75$1,75 ≤ ∫₀²x²dx ≤ 3,75.

7. 7

   Valeur exacte : une primitive est $\frac{x^3}{3}$x³/3, donc ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}\approx 2,667$∫₀²x²dx = 8/3 ≈ 2,667 ✔ bien dans l'encadrement.

8. 8

   Précision : l'encadrement a une amplitude de $2$2, ce qui est large.

   Avec un pas de $0,1$0,1 ($20$20 rectangles), elle tomberait à $0,4$0,4 ; l'amplitude est proportionnelle au pas.

Rappel de cours : Méthode des rectangles : pour une fonction CROISSANTE, le bord gauche minore et le bord droit majore l'intégrale.

Erreur fréquente : Utiliser les mêmes hauteurs pour les deux sommes : elles diffèrent d'un décalage d'un rectangle, d'où l'écart $0,5\times (f(2)-f(0))=2$0,5×(f(2) - f(0)) = 2.

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de $\cos$cos est $\sin$sin, donc ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{\pi /2}=1-0=1$∫₀^(π/2)cos x dx = [sin x]₀^(π/2) = 1 - 0 = 1.

2. 2

   Une primitive de $\sin$sin est $-\cos$-cos, donc ${\int }_0^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=1+1=2$∫₀^(π)sin x dx = [-cos x]₀^(π) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.

3. 3

   Enfin ${\int }_0^{2\pi }\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{2\pi }=0-0=0$∫₀^(2π)cos x dx = [sin x]₀^(2π) = 0 - 0 = 0.

4. 4

   Commentaire : ce résultat nul ne signifie pas que la fonction est nulle, mais que les aires au-dessus et en dessous de l'axe se COMPENSENT exactement sur une période.

5. 5

   C'est un résultat fondamental en électricité : la valeur moyenne d'un signal alternatif sur une période est NULLE.

6. 6

   Contrôle : sur $[0;\pi /2]$[0 ; π/2] l'aire est $1$1, et par symétrie l'aire négative sur $[\pi /2;3\pi /2]$[π/2 ; 3π/2] vaut $-2$-2, puis $+1$+1 sur $[3\pi /2;2\pi ]$[3π/2 ; 2π] : total $1-2+1=0$1 - 2 + 1 = 0 ✔.

Rappel de cours : Primitives : $\cos \to \sin$cos → sin et $\sin \to -\cos$sin → -cos. Sur une période complète, l'intégrale d'une sinusoïde est nulle.

Erreur fréquente : Conclure « aire nulle donc pas de signal » : l'aire ALGÉBRIQUE est nulle, mais l'énergie transportée, elle, ne l'est pas.

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1. 1

   Première intégrale : une primitive de $(2x+3{)}^2$(2x+3)² est $\frac{(2x+3{)}^3}{2\times 3}=\frac{(2x+3{)}^3}{6}$((2x+3)³)/(2× 3) = ((2x+3)³)/6 (on divise par le coefficient $2$2 et par le nouvel exposant $3$3).

2. 2

   ${\int }_0^1(2x+3{)}^{2}dx={\left[\frac{(2x+3{)}^3}{6}\right]}_0^1=\frac{125}{6}-\frac{27}{6}=\frac{98}{6}=\frac{49}{3}\approx 16,33$∫₀¹(2x+3)²dx = [((2x+3)³)/6]₀¹ = 125/6 - 27/6 = 98/6 = 49/3 ≈ 16,33.

3. 3

   Contrôle par développement : $(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$(2x+3)² = 4x² + 12x + 9, de primitive $\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x$4x³/3 + 6x² + 9x, qui donne $\frac{4}{3}+6+9=\frac{4+45}{3}=\frac{49}{3}$4/3 + 6 + 9 = (4 + 45)/3 = 49/3 ✔.

4. 4

   Seconde intégrale : une primitive de $\cos (2t)$cos(2t) est $\frac{1}{2}\sin (2t)$1/2sin(2t).

5. 5

   ${\int }_0^{\pi /4}\cos (2t)dt={\left[\frac{\sin (2t)}{2}\right]}_0^{\pi /4}=\frac{\sin (\pi /2)}{2}-\frac{\sin 0}{2}=\frac{1}{2}$∫₀^(π/4)cos(2t)dt = [sin(2t)/2]₀^(π/4) = (sin(π/2))/2 - (sin 0)/2 = 1/2.

6. 6

   À retenir : pour une composée $f(ax+b)$f(ax+b), la primitive fait apparaître un facteur $\frac{1}{a}$1/a.

Rappel de cours : Primitive de $(ax+b{)}^n$(ax+b)ⁿ : $\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}$((ax+b)ⁿ⁺¹)/(a(n+1)) · de $\cos (at)$cos(at) : $\frac{\sin (at)}{a}$sin(at)/a.

Erreur fréquente : Oublier le $\frac{1}{a}$1/a : on trouverait $1$1 au lieu de $\frac{1}{2}$1/2 pour la seconde intégrale, soit le double.

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1. 1

   On étudie la différence : $f(x)-g(x)=8-x^2-2x=-x^2-2x+8$f(x) - g(x) = 8 - x² - 2x = -x² - 2x + 8.

2. 2

   On la factorise : $-(x^2+2x-8)=-(x+4)(x-2)$-(x² + 2x - 8) = -(x+4)(x-2).

3. 3

   Sur $[0;2]$[0 ; 2], le facteur $(x+4)$(x+4) est positif et $(x-2)$(x - 2) est négatif ou nul, donc $-(x+4)(x-2)\ge 0$-(x+4)(x-2) ≥ 0 ✔ On a bien $f\ge g$f ≥ g.

4. 4

   Aire entre les courbes : $\mathcal{A}={\int }_0^2(f(x)-g(x))dx={\int }_0^2\left(-x^2-2x+8\right)dx$A = ∫₀²(f(x) - g(x))dx = ∫₀²(-x² - 2x + 8)dx.

5. 5

   Une primitive est $-\frac{x^3}{3}-x^2+8x$-x³/3 - x² + 8x.

6. 6

   En $x=2$x = 2 : $-\frac{8}{3}-4+16=12-\frac{8}{3}=\frac{36-8}{3}=\frac{28}{3}$-8/3 - 4 + 16 = 12 - 8/3 = (36 - 8)/3 = 28/3.

7. 7

   En $x=0$x = 0 : $0$0.

8. 8

   Donc $\mathcal{A}=\frac{28}{3}\approx 9,33$A = 28/3 ≈ 9,33 unités d'aire.

9. 9

   Contrôle d'ordre de grandeur : l'écart $f-g$f - g vaut $8$8 en $x=0$x = 0 et $0$0 en $x=2$x = 2, donc l'aire doit être inférieure à celle du triangle $\frac{2\times 8}{2}=8$(2× 8)/2 = 8… or l'on trouve $9,33$9,33.

   L'écart n'est pas linéaire mais CONCAVE (il vaut $5$5 en $x=1$x = 1 au lieu de $4$4), ce qui explique l'aire supérieure ✔.

Rappel de cours : Aire entre deux courbes : ${\int }_a^b(\text{courbe du haut}-\text{courbe du bas})$∫ₐ^(b)( courbe du haut - courbe du bas ). Il faut donc d'abord déterminer laquelle est au-dessus.

Erreur fréquente : Intégrer $g-f$g - f : on obtiendrait $-\frac{28}{3}$-28/3, une aire négative. L'ordre de la soustraction se décide en étudiant le signe de la différence.

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1. 1

   Énergie : $E={\int }_0^8(12t-t^2)dt$E = ∫₀⁸(12t - t²)dt.

2. 2

   Une primitive est $6t^2-\frac{t^3}{3}$6t² - t³/3.

3. 3

   En $t=8$t = 8 : $6\times 64-\frac{512}{3}=384-170,67=213,33$6× 64 - 512/3 = 384 - 170,67 = 213,33.

4. 4

   Donc $E\approx 213,3$E ≈ 213,3 kWh.

5. 5

   Puissance moyenne : $m=\frac{213,33}{8}\approx 26,7$m = 213,33/8 ≈ 26,7 kW.

6. 6

   Maximum de la puissance : $p^{\prime }(t)=12-2t$p'(t) = 12 - 2t, nulle en $t=6$t = 6 h, avec changement de signe du positif au négatif : c'est un maximum.

7. 7

   $p(6)=72-36=36$p(6) = 72 - 36 = 36 kW.

8. 8

   Lecture d'ensemble : la puissance culmine à $36$36 kW mais sa moyenne n'est que de $26,7$26,7 kW.

   C'est cette distinction qui compte pour la facturation : l'énergie dépend de la MOYENNE, l'abonnement du MAXIMUM.

9. 9

   Contrôle : une puissance constante de $26,7$26,7 kW pendant $8$8 h donnerait $213,6$213,6 kWh ✔ (l'écart vient des arrondis).

Rappel de cours : Énergie $=\int$= ∫ puissance · puissance moyenne $=\frac{\text{eˊnergie}}{\text{dureˊe}}$= énergie/durée. Le maximum, lui, s'obtient en dérivant.

Erreur fréquente : Confondre puissance maximale ($36$36 kW, obtenue par dérivation) et puissance moyenne ($26,7$26,7 kW, obtenue par intégration).

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1. 1

   On factorise : $3t^2-12t+12=3(t^2-4t+4)=3(t-2{)}^2$3t² - 12t + 12 = 3(t² - 4t + 4) = 3(t-2)².

2. 2

   Un carré étant toujours positif, $v(t)\ge 0$v(t) ≥ 0 sur $[0;5]$[0 ; 5] ✔ (et $v(2)=0$v(2) = 0 : le chariot s'arrête un instant).

3. 3

   Distance : $d={\int }_0^{5}3(t-2{)}^{2}dt$d = ∫₀⁵3(t-2)²dt.

4. 4

   Une primitive de $3(t-2{)}^2$3(t-2)² est $(t-2{)}^3$(t-2)³ (car la dérivée de $(t-2{)}^3$(t-2)³ est $3(t-2{)}^2$3(t-2)²).

5. 5

   $d={\left[(t-2{)}^3\right]}_0^5=3^3-(-2{)}^3=27+8=35$d = [(t-2)³]₀⁵ = 3³ - (-2)³ = 27 + 8 = 35 m.

6. 6

   Vitesse moyenne : $\frac{35}{5}=7$35/5 = 7 m/s.

7. 7

   Contrôle : $v(0)=12$v(0) = 12 m/s, $v(2)=0$v(2) = 0, $v(5)=27$v(5) = 27 m/s.

   Une moyenne de $7$7 m/s est cohérente avec ces valeurs, la vitesse étant faible sur une bonne partie de l'intervalle ✔.

8. 8

   Remarque : la vitesse s'annulant sans changer de signe, le chariot ne recule jamais.

   Si elle avait changé de signe, la distance PARCOURUE aurait exigé d'intégrer $|v|$|v|, alors que l'intégrale de $v$v donne seulement le DÉPLACEMENT.

Rappel de cours : ${\int }_a^{b}v(t)dt$∫ₐ^(b)v(t)dt est le DÉPLACEMENT. Il coïncide avec la distance parcourue seulement si $v$v garde un signe constant.

Erreur fréquente : Développer $3(t-2{)}^2$3(t-2)² puis primitiver terme à terme est correct mais plus long ; reconnaître la forme $(t-2{)}^3$(t-2)³ évite trois calculs.

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1. 1

   Une primitive de $325\sin (100\pi t)$325sin(100π t) est $-\frac{325}{100\pi }\cos (100\pi t)$-325/100πcos(100π t).

2. 2

   En $t=0,01$t = 0,01 : $100\pi \times 0,01=\pi$100π × 0,01 = π, donc $\cos \pi =-1$cosπ = -1 et le terme vaut $+\frac{325}{100\pi }$+325/100π.

3. 3

   En $t=0$t = 0 : $\cos 0=1$cos 0 = 1, donc le terme vaut $-\frac{325}{100\pi }$-325/100π.

4. 4

   Intégrale : $\frac{325}{100\pi }+\frac{325}{100\pi }=\frac{650}{100\pi }=\frac{6,5}{\pi }\approx 2,069$325/100π + 325/100π = 650/100π = 6,5/π ≈ 2,069.

5. 5

   Valeur moyenne sur la demi-période : $\frac{1}{0,01}\times 2,069\approx 206,9$1/0,01× 2,069 ≈ 206,9 V.

6. 6

   Formule générale retrouvée : $\frac{2A}{\pi }=\frac{2\times 325}{\pi }\approx 206,9$2A/π = (2× 325)/π ≈ 206,9 V ✔ — la valeur moyenne d'une demi-sinusoïde vaut $\frac{2}{\pi }\approx 0,637$2/π ≈ 0,637 fois l'amplitude.

7. 7

   Sur la période entière : la tension est nulle pendant la seconde demi-période, donc l'intégrale reste $2,069$2,069 mais la durée double.

8. 8

   Valeur moyenne : $\frac{2,069}{0,02}\approx 103,5$2,069/0,02 ≈ 103,5 V, soit exactement la moitié de la précédente — c'est-à-dire $\frac{A}{\pi }\approx 103,5$A/π ≈ 103,5 V.

9. 9

   C'est la valeur qu'indiquerait un voltmètre en position « courant continu » branché sur ce redresseur simple alternance.

Rappel de cours : Valeur moyenne d'une demi-sinusoïde : $\frac{2A}{\pi }\approx 0,637A$2A/π ≈ 0,637 A. Sur une période complète avec redressement simple : $\frac{A}{\pi }$A/π.

Erreur fréquente : Diviser par la mauvaise durée : la valeur moyenne dépend de l'intervalle choisi, et elle est deux fois plus petite sur la période entière.

Correction détaillée

1. 1

   La fonction étant DÉCROISSANTE, le bord gauche donne la valeur la plus grande de chaque rectangle : c'est lui qui majore.

2. 2

   Somme par excès (bords gauches $1$1, $1,5$1,5, $2$2, $2,5$2,5) : $0,5\left(1+\frac{1}{1,5}+0,5+0,4\right)$0,5(1 + 1/1,5 + 0,5 + 0,4).

3. 3

   $=0,5\left(1+0,6667+0,5+0,4\right)=0,5\times 2,5667\approx 1,283$= 0,5(1 + 0,666 7 + 0,5 + 0,4) = 0,5× 2,566 7 ≈ 1,283.

4. 4

   Somme par défaut (bords droits $1,5$1,5, $2$2, $2,5$2,5, $3$3) : $0,5\left(0,6667+0,5+0,4+0,3333\right)=0,5\times 1,9=0,95$0,5(0,666 7 + 0,5 + 0,4 + 0,333 3) = 0,5× 1,9 = 0,95.

5. 5

   Encadrement : $0,95\le {\int }_1^3\frac{1}{x}dx\le 1,283$0,95 ≤ ∫₁³1/xdx ≤ 1,283, d'amplitude $0,333$0,333.

6. 6

   Cette amplitude vaut $\text{pas}\times (f(1)-f(3))=0,5\times \left(1-\frac{1}{3}\right)=0,5\times 0,6667=0,333$pas ×(f(1) - f(3)) = 0,5×(1 - 1/3) = 0,5 × 0,666 7 = 0,333 ✔.

7. 7

   Pour une amplitude inférieure à $0,01$0,01, il faut $\text{pas}\times 0,6667<0,01$pas × 0,666 7 < 0,01, soit pas $<0,015$< 0,015.

8. 8

   Comme l'intervalle mesure $2$2 unités, il faudrait plus de $\frac{2}{0,015}\approx 133$2/0,015 ≈ 133 rectangles.

9. 9

   Pour information, la valeur exacte est $\ln 3\approx 1,0986$ln 3 ≈ 1,0986 — la fonction $\ln$ln, dont ce chapitre et le suivant montrent qu'elle est justement la primitive de $\frac{1}{x}$1/x.

Rappel de cours : Amplitude de l'encadrement par rectangles $=\text{pas}\times |f(b)-f(a)|$= pas ×|f(b) - f(a)| pour une fonction monotone : elle décroît PROPORTIONNELLEMENT au pas.

Erreur fréquente : Intervertir les deux sommes : pour une fonction DÉCROISSANTE, c'est le bord gauche qui majore, l'inverse d'une fonction croissante.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $[0;4]$[0 ; 4] : une primitive de $60-3t^2$60 - 3t² est $60t-t^3$60t - t³.

2. 2

   $E_1={\left[60t-t^3\right]}_0^4=(240-64)-0=176$E₁ = [60t - t³]₀⁴ = (240 - 64) - 0 = 176 kWh.

3. 3

   Contrôle de cohérence : $p(0)=60$p(0) = 60 kW et $p(4)=60-48=12$p(4) = 60 - 48 = 12 kW, donc une énergie de $176$176 kWh sur $4$4 h correspond à une moyenne de $44$44 kW — bien comprise entre $12$12 et $60$60 ✔.

4. 4

   Sur $[4;8]$[4 ; 8], la puissance est constante : $E_2=12\times 4=48$E₂ = 12 × 4 = 48 kWh.

5. 5

   On peut le retrouver par l'intégrale : ${\left[12t\right]}_4^8=96-48=48$[12t]₄⁸ = 96 - 48 = 48 ✔.

6. 6

   Énergie totale (relation de Chasles) : $E=176+48=224$E = 176 + 48 = 224 kWh.

7. 7

   Puissance moyenne sur $8$8 h : $\frac{224}{8}=28$224/8 = 28 kW.

8. 8

   Coût : $224\times 0,18=40,32$224 × 0,18 = 40,32 €.

9. 9

   Remarque de gestion : la machine consomme $79\%$79% de son énergie dans la première moitié de la journée ($176$176 kWh sur $224$224).

   Déplacer une partie de cette charge vers les heures creuses serait le principal levier d'économie.

10. 10

    Contrôle final de continuité : $p(4)=12$p(4) = 12 kW par les deux expressions ✔ le modèle est bien raccordé en $t=4$t = 4.

Rappel de cours : Pour une fonction définie par morceaux, on intègre morceau par morceau et l'on additionne (relation de Chasles).

Erreur fréquente : Intégrer $60-3t^2$60 - 3t² sur tout $[0;8]$[0 ; 8] : la fonction deviendrait négative ($p(8)=-132$p(8) = -132 kW), ce qui n'a aucun sens et fausserait le bilan.

Correction détaillée

1. 1

   Égalité : $3q^2-12q+20=20-2q$3q² - 12q + 20 = 20 - 2q, soit $3q^2-10q=0$3q² - 10q = 0, donc $q(3q-10)=0$q(3q - 10) = 0.

2. 2

   Les solutions sont $q=0$q = 0 et $q=\frac{10}{3}\approx 3,33$q = 10/3 ≈ 3,33 centaines.

3. 3

   Différence : $R^{\prime }(q)-C^{\prime }(q)=20-2q-3q^2+12q-20=-3q^2+10q$R'(q) - C'(q) = 20 - 2q - 3q² + 12q - 20 = -3q² + 10q.

4. 4

   Une primitive est $-q^3+5q^2$-q³ + 5q².

5. 5

   Sur $[0;3]$[0 ; 3] : ${\left[-q^3+5q^2\right]}_0^3=-27+45=18$[-q³ + 5q²]₀³ = -27 + 45 = 18.

6. 6

   Interprétation : produire les $300$300 premières pièces apporte un bénéfice de $18$18 milliers d'euros — la recette marginale y dépasse le coût marginal.

7. 7

   Sur $[3;6]$[3 ; 6] : en $q=6$q = 6, $-216+180=-36$-216 + 180 = -36 ; en $q=3$q = 3, $18$18.

   Donc l'intégrale vaut $-36-18=-54$-36 - 18 = -54.

8. 8

   Interprétation : produire de $300$300 à $600$600 pièces FAIT PERDRE $54$54 milliers d'euros, le coût marginal y dépassant la recette marginale.

9. 9

   Production optimale : le bénéfice croît tant que $R^{\prime }>C^{\prime }$R' > C', c'est-à-dire jusqu'à $q=\frac{10}{3}\approx 3,33$q = 10/3 ≈ 3,33 centaines, soit environ $333$333 pièces.

10. 10

    Bénéfice maximal : ${\left[-q^3+5q^2\right]}_0^{10/3}=-\frac{1000}{27}+5\times \frac{100}{9}=-37,04+55,56\approx 18,52$[-q³+5q²]₀^(10/3) = -(1 000)/27 + 5×100/9 = -37,04 + 55,56 ≈ 18,52 milliers d'euros.

11. 11

    Contrôle : $18,52>18$18,52 > 18 (valeur à $q=3$q = 3) ✔ et le bénéfice décroît ensuite, ce que confirme l'intégrale négative sur $[3;6]$[3 ; 6].