Formule · Première spé maths

Formule des probabilités totales

On additionne les chemins de l'arbre qui mènent à B.

P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)

P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B)

En écriture simple : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)

Ce que dit la formule

Quand $A$ A et son contraire $\overline{A}$ A̅ partagent tous les cas possibles, la probabilité de $B$ B est la somme des probabilités des chemins qui mènent à $B$ B.

Sur l'arbre : on multiplie le long de chaque chemin aboutissant à $B$ B, puis on additionne ces produits.

Exemple sur la probabilité conditionnelle

Avec

P (A) = 0, 6

P(A) = 0,6,

P_{A} (B) = 0, 05

P_A(B) = 0,05,

P (\overline{A}) = 0, 4

P(A̅) = 0,4,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 10

P_A̅(B) = 0,10 :

P (B) = 0, 6 \times 0, 05 + 0, 4 \times 0, 10 = 0, 03 + 0, 04 = 0, 07

P(B) = 0,6× 0,05 + 0,4× 0,10 = 0,03 + 0,04 = 0,07.

Piège à éviter avec la probabilité conditionnelle

Ne pas oublier de tenir compte de tous les chemins menant à

B

B, pas seulement celui qui passe par

A

A.

Les autres formules de la probabilité conditionnelle

Formule de la probabilité conditionnelle →

P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} (P (A) \neq = 0)

P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) (P(A) ≠ 0)Probabilité d'une intersection →

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)

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Arbre pondéré et probabilités totales : la méthode
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