Exercices types · Première spé maths

Les probabilités totales — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Deux chemins simples

Niveau 1 · Application directe

P (A) = 0, 5

P(A)=0,5,

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B)=0,4,

P (\overline{A}) = 0, 5

P(A̅)=0,5,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 2

P_A̅(B)=0,2. Calculer

P (B)

P(B).

Voir la correction

1.
$P (B) = 0, 5 \times 0, 4 + 0, 5 \times 0, 2$ P(B) = 0,5× 0,4 + 0,5× 0,2.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 2 + 0, 1 = 0, 3$ = 0,2 + 0,1 = 0,3.

Réponse :

0, 3

0,3.

Pièces défectueuses

Niveau 2 · Méthode complète

Machine

A

A :

60%

60% de la production,

3%

3% de défauts. Machine

B

B :

40%

40%,

6%

6% de défauts. Probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?

Voir la correction

1.
$P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 06$ P(D) = 0,6× 0,03 + 0,4× 0,06.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 018 + 0, 024 = 0, 042$ = 0,018 + 0,024 = 0,042.

Réponse :

0, 042

0,042.

Compléter puis sommer

Niveau 2 · Méthode complète

P (A) = 0, 8

P(A)=0,8,

P_{A} (B) = 0, 1

P_A(B)=0,1,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 5

P_A̅(B)=0,5. Calculer

P (B)

P(B).

Voir la correction

1.
$P (\overline{A}) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ P(A̅) = 1 - 0,8 = 0,2.
2.
$P (B) = 0, 8 \times 0, 1 + 0, 2 \times 0, 5 = 0, 08 + 0, 1 = 0, 18$ P(B) = 0,8× 0,1 + 0,2× 0,5 = 0,08 + 0,1 = 0,18.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)

Réponse :

0, 18

0,18.

Trois fournisseurs

Niveau 3 · Type contrôle

Fournisseurs :

50%

50% (

1%

1% défauts),

30%

30% (

2%

2%),

20%

20% (

5%

5%). Probabilité de défaut ?

Voir la correction

1.
$P (D) = 0, 5 \times 0, 01 + 0, 3 \times 0, 02 + 0, 2 \times 0, 05$ P(D) = 0,5× 0,01 + 0,3× 0,02 + 0,2× 0,05.
→ Formule des probabilités totales (cas général)
2.
$= 0, 005 + 0, 006 + 0, 01 = 0, 021$ = 0,005 + 0,006 + 0,01 = 0,021.

Réponse :

0, 021

0,021.

Problème : météo et retard

Niveau 2 · Méthode complète

Il pleut

30%

30% des jours. Le bus est en retard

40%

40% des jours de pluie et

10%

10% des jours sans pluie. Probabilité de retard ?

Voir la correction

1.
$P (R) = 0, 3 \times 0, 4 + 0, 7 \times 0, 1$ P(R) = 0,3× 0,4 + 0,7× 0,1.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 12 + 0, 07 = 0, 19$ = 0,12 + 0,07 = 0,19.

Réponse :

0, 19

0,19.

Vers la formule de Bayes

Niveau 3 · Type contrôle

Avec

P (A) = 0, 6

P(A)=0,6,

P_{A} (B) = 0, 05

P_A(B)=0,05,

P (\overline{A}) = 0, 4

P(A̅)=0,4,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 08

P_A̅(B)=0,08, calculer

P (B)

P(B) puis en déduire

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
$P (B) = 0, 6 \times 0, 05 + 0, 4 \times 0, 08 = 0, 062$ P(B) = 0,6× 0,05 + 0,4× 0,08 = 0,062.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 03}{0 , 062} \approx 0, 48$ P_B(A) = (P(A∩ B))/P(B) = 0,03/0,062 ≈ 0,48.

Réponse :

P (B) = 0, 062

P(B) = 0,062,

P_{B} (A) \approx 0, 48

P_B(A) ≈ 0,48.

Deux cas

Niveau 2 · Méthode complète

On donne

P (A) = 0, 2

P(A)=0,2,

P_{A} (B) = 0, 9

P_A(B)=0,9,

P (\overline{A}) = 0, 8

P(A̅)=0,8,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 3

P_A̅(B)=0,3. Calculer

P (B)

P(B).

Voir la correction

1.
$P (B) = 0, 2 \times 0, 9 + 0, 8 \times 0, 3$ P(B)=0,2× 0,9+0,8× 0,3.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 18 + 0, 24 = 0, 42$ =0,18+0,24=0,42.

Réponse :

P (B) = 0, 42

P(B)=0,42.

Méthode utilisée : Formule des probabilités totales à deux cas.

Erreur fréquente : Oublier de pondérer par $P (A)$ P(A) et $P (\overline{A})$ P(A̅).

Trois ateliers (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Trois ateliers produisent

20%

20%,

50%

50% et

30%

30% des pièces, avec respectivement

5%

5%,

2%

2% et

4%

4% de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?

Voir la correction

1.
$P (D) = 0, 2 \times 0, 05 + 0, 5 \times 0, 02 + 0, 3 \times 0, 04$ P(D)=0,2× 0,05+0,5× 0,02+0,3× 0,04.
→ Formule des probabilités totales (cas général)
2.
$= 0, 01 + 0, 01 + 0, 012 = 0, 032$ =0,01+0,01+0,012=0,032.

Réponse :

P (D) = 0, 032

P(D)=0,032.

Méthode utilisée : Probabilités totales sur une partition à trois cas.

Erreur fréquente : Oublier un atelier ou mal pondérer.

Compléter puis sommer

Niveau 3 · Type contrôle

On a

P (A) = 0, 3

P(A)=0,3,

P_{A} (B) = 0, 8

P_A(B)=0,8 et

P_{\overline{A}} (B) = 0, 1

P_A̅(B)=0,1. Calculer

P (B)

P(B).

Voir la correction

1.
$P (\overline{A}) = 0, 7$ P(A̅)=0,7.
2.
$P (B) = 0, 3 \times 0, 8 + 0, 7 \times 0, 1 = 0, 24 + 0, 07$ P(B)=0,3× 0,8+0,7× 0,1=0,24+0,07.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)

Réponse :

P (B) = 0, 31

P(B)=0,31.

Méthode utilisée : Compléter la partition puis probabilités totales.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $P (\overline{A})$ P(A̅).

Transport et retard (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

60%

60% des élèves viennent en bus, le reste à vélo. Le bus est en retard

15%

15% du temps, le vélo

5%

5%. Probabilité qu'un élève soit en retard ?

Voir la correction

1.
$P (R) = 0, 6 \times 0, 15 + 0, 4 \times 0, 05$ P(R)=0,6× 0,15+0,4× 0,05.
→ Formule des probabilités totales (deux cas)
2.
$= 0, 09 + 0, 02 = 0, 11$ =0,09+0,02=0,11.

Réponse :

P (R) = 0, 11

P(R)=0,11.

Méthode utilisée : Probabilités totales sur deux modes de transport.

Erreur fréquente : Additionner $15%$ 15% et $5%$ 5% sans pondérer.

Tout sur probabilités en première

Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, variables aléatoires et loi binomiale.

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