Formule des probabilités totales (cas général) : énoncé et exemple

En écriture simple : P(B) = Σ P(Aᵢ) × P_Aᵢ(B), pour une partition A₁, …, Aₙ

Ce que dit la formule

Lorsque l'univers est partitionné en $n$ n cas $A_{1}, \dots, A_{n}$ A₁, …, Aₙ, on additionne les $n$ n chemins menant à $B$ B. La formule à deux cas en est la situation la plus fréquente ( $n = 2$ n = 2).

La formule additionne tous les chemins qui mènent à $B$ B dans l'arbre : chaque terme $P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)$ P(Aᵢ) P_Aᵢ(B) est la probabilité d'un chemin, et l'on somme sur tous les cas possibles.

La condition essentielle est que les $A_{i}$ Aᵢ forment une partition : incompatibles deux à deux, et couvrant tout l'univers. Sans cela, certaines issues seraient comptées deux fois ou pas du tout.

Exemple

Trois fournisseurs livrent

50%

50%,

30%

30%,

20%

20% des pièces, avec

2%

2%,

4%

4%,

5%

5% de défauts.

P (D) = 0, 5 \times 0, 02 + 0, 3 \times 0, 04 + 0, 2 \times 0, 05 = 0, 032

P(D) = 0,5× 0,02 + 0,3× 0,04 + 0,2× 0,05 = 0,032.

Deuxième exemple

Une machine fonctionne

60%

60% du temps en mode A et

40%

40% en mode B, avec des taux de rebut de

1%

1% et

3%

3%. La probabilité qu'une pièce soit rebutée vaut

0, 6 \times 0, 01 + 0, 4 \times 0, 03 = 0, 018

0,6 × 0,01 + 0,4 × 0,03 = 0,018, soit

1, 8%

1,8%.

Les autres formules de les probabilités totales

Formule des probabilités totales (deux cas) →

P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)

P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B)

Questions fréquentes

Que doivent vérifier les événements de la partition ?

Ils doivent être deux à deux incompatibles, et leur réunion doit constituer l'univers tout entier.

Comment repérer qu'il faut appliquer cette formule ?

Quand on connaît la probabilité de

B

B dans chaque cas de figure, mais pas sa probabilité globale. On additionne alors les chemins.

Quel lien avec l'arbre de probabilité ?

La formule est exactement la lecture de l'arbre : on multiplie le long de chaque chemin menant à

B

B, puis on additionne ces chemins.

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