Formule des probabilités totales (deux cas) : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

On somme les probabilités des chemins menant à $B$ B : le chemin passant par $A$ A et celui passant par $\overline{A}$ A̅. Chaque chemin se calcule par la règle du produit.

C'est exactement « lire un arbre pondéré » : repérer toutes les extrémités correspondant à $B$ B, calculer chaque chemin, puis additionner.

Exemple sur les probabilités totales

Avec

P (A) = 0, 6

P(A) = 0,6,

P_{A} (B) = 0, 05

P_A(B) = 0,05,

P (\overline{A}) = 0, 4

P(A̅) = 0,4,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 08

P_A̅(B) = 0,08 :

P (B) = 0, 6 \times 0, 05 + 0, 4 \times 0, 08 = 0, 03 + 0, 032 = 0, 062

P(B) = 0,6× 0,05 + 0,4× 0,08 = 0,03 + 0,032 = 0,062.

Piège à éviter avec les probabilités totales

On pondère chaque probabilité conditionnelle par la probabilité du « cas » correspondant : on n'écrit jamais

P (B) = P_{A} (B) + P_{\overline{A}} (B)

P(B) = P_A(B) + P_A̅(B).

Les autres formules des probabilités totales

Formule des probabilités totales (cas général) →

P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

P(B) = Σ_i=1ⁿ P(Aᵢ) P_Aᵢ(B)

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