Trouver la raison : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Arithmétique : $r = u_{n + 1} - u_{n}$ r = uₙ₊₁ - uₙ (constant). Géométrique : $q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ q = uₙ₊₁/uₙ (constant).

Avec deux termes $u_{p}$ uₚ et $u_{n}$ uₙ : arithmétique $r = \frac{u _{n} - u _{p}}{n - p}$ r = (uₙ - uₚ)/(n - p) ; géométrique $q^{n - p} = \frac{u _{n}}{u _{p}}$ q^(n-p) = uₙ/uₚ.

Les formules avec des rangs non consécutifs sont précieuses quand l'énoncé ne donne que deux termes éloignés : $r = \frac{u _{n} - u _{p}}{n - p}$ r = (uₙ - uₚ)/(n - p) répartit l'écart total sur le nombre de pas.

Le vocabulaire distingue nettement les deux cas : on note $r$ r la raison d'une suite arithmétique et $q$ q celle d'une suite géométrique. Mélanger les deux notations est une source d'erreur classique.

Exemple

5, 8, 11, 14

5, 8, 11, 14 :

r = 3

r = 3 (arithmétique).

2, 6, 18, 54

2, 6, 18, 54 :

q = 3

q = 3 (géométrique).

Deuxième exemple

Une suite arithmétique vérifie

u_{3} = 7

u₃ = 7 et

u_{11} = 31

u₁₁ = 31. Entre les rangs

3

3 et

11

11 il y a

8

8 pas, donc

r = \frac{31 - 7}{11 - 3} = \frac{24}{8} = 3

r = (31 - 7)/(11 - 3) = 24/8 = 3.

Piège à éviter

Différence constante → arithmétique ; rapport constant → géométrique.

Questions fréquentes

Comment trouver la raison avec deux termes non consécutifs ?

On divise l'écart des valeurs par l'écart des rangs :

r = \frac{u _{n} - u _{p}}{n - p}

r = (uₙ - uₚ)/(n - p). Pour une suite géométrique, on résout

q^{n - p} = \frac{u _{n}}{u _{p}}

q^(n-p) = uₙ/uₚ.

La raison peut-elle valoir 0 ?

Pour une suite arithmétique oui, la suite est alors constante. Pour une géométrique non : tous les termes seraient nuls dès le second et le rapport ne serait plus défini.

Que dit le signe de la raison sur la suite ?

Pour une arithmétique,

r > 0

r > 0 signifie croissante et

r < 0

r < 0 décroissante. Pour une géométrique,

q < 0

q < 0 fait alterner le signe des termes.

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