Exercices types · Première spé maths

La suite arithmétique — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Terme général et calcul d'un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite arithmétique a pour premier terme

u_{0} = 5

u₀ = 5 et raison

r = 3

r = 3. Donner son terme général puis calculer

u_{10}

u₁₀.

Voir la correction

1.
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = 5 + 3 n$ uₙ = u₀ + n r = 5 + 3n.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 5 + 30 = 35$ u₁₀ = 5 + 3× 10 = 5 + 30 = 35.

Réponse :

u_{n} = 5 + 3 n

uₙ = 5 + 3n ;

u_{10} = 35

u₁₀ = 35.

Méthode utilisée : $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ=u₀+nr.

Erreur fréquente : Avec $u_{0}$ u₀, le terme est $u_{0} + n r$ u₀+nr, pas $u_{0} + (n - 1) r$ u₀+(n-1)r.

Trouver la raison et le premier terme

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite arithmétique vérifie

u_{3} = 7

u₃ = 7 et

u_{7} = 19

u₇ = 19. Déterminer la raison

r

r et le premier terme

u_{0}

u₀.

Voir la correction

1.
$r = \frac{u _{7} - u _{3}}{7 - 3} = \frac{19 - 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$ r = (u₇ - u₃)/(7 - 3) = (19 - 7)/4 = 12/4 = 3.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{0} = u_{3} - 3 r = 7 - 3 \times 3 = 7 - 9 = - 2$ u₀ = u₃ - 3r = 7 - 3× 3 = 7 - 9 = -2.
3.
On peut vérifier : $u_{7} = - 2 + 3 \times 7 = 19$ u₇ = -2 + 3× 7 = 19 ✓.

Réponse :

r = 3

r = 3 et

u_{0} = - 2

u₀ = -2 (donc

u_{n} = - 2 + 3 n

uₙ = -2 + 3n).

Méthode utilisée : $r = \frac{u _{p} - u _{q}}{p - q}$ r=(uₚ-u_q)/(p-q).

Erreur fréquente : Diviser par $7$ 7 au lieu de l'écart $7 - 3 = 4$ 7-3=4.

Calculer une somme

Niveau 2 · Méthode complète

Pour la suite

u_{n} = 5 + 3 n

uₙ = 5 + 3n, calculer la somme

S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}

S = u₀ + u₁ + … + u₁₀.

Voir la correction

1.
Il y a $11$ 11 termes (de $u_{0}$ u₀ à $u_{10}$ u₁₀). Le premier est $u_{0} = 5$ u₀ = 5, le dernier $u_{10} = 35$ u₁₀ = 35.
2.
$S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2} = 11 \times \frac{5 + 35}{2}$ S = ( nombre de termes )× (premier + dernier)/2 = 11 × (5 + 35)/2.
→ Somme des termes
3.
$S = 11 \times 20 = 220$ S = 11 × 20 = 220.

Réponse :

S = 220

S = 220.

Méthode utilisée : Somme $=$ = (nombre de termes) $\times \frac{premier + dernier}{2}$ ×(premier + dernier)/2.

Erreur fréquente : Oublier qu'il y a $11$ 11 termes de $u_{0}$ u₀ à $u_{10}$ u₁₀.

Montrer qu'une suite est arithmétique

Niveau 2 · Méthode complète

Soit la suite définie par

u_{n} = 4 n - 1

uₙ = 4n - 1. Montrer qu'elle est arithmétique et préciser sa raison et son sens de variation.

Voir la correction

1.
On calcule $u_{n + 1} - u_{n} = (4 (n + 1) - 1) - (4 n - 1) = 4 n + 4 - 1 - 4 n + 1 = 4$ uₙ₊₁ - uₙ = (4(n+1) - 1) - (4n - 1) = 4n + 4 - 1 - 4n + 1 = 4.
→ Relation de récurrence
2.
La différence est constante (égale à $4$ 4) : la suite est arithmétique de raison $r = 4$ r = 4.
3.
Comme $r = 4 > 0$ r = 4 > 0, la suite est croissante.

Réponse : Suite arithmétique de raison

4

4, croissante.

Calculer un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite arithmétique a

u_{0} = 7

u₀ = 7 et

r = 2

r = 2. Calculer

u_{10}

u₁₀.

Voir la correction

1.
$u_{n} = u_{0} + n r = 7 + 2 n$ uₙ = u₀ + nr = 7 + 2n.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{10} = 7 + 20 = 27$ u₁₀ = 7 + 20 = 27.

Réponse :

u_{10} = 27

u₁₀ = 27.

Trouver la raison

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite arithmétique vérifie

u_{3} = 11

u₃ = 11 et

u_{7} = 23

u₇ = 23. Trouver la raison.

Voir la correction

1.
$r = \frac{u _{7} - u _{3}}{7 - 3} = \frac{23 - 11}{4} = \frac{12}{4}$ r = (u₇ - u₃)/(7 - 3) = (23 - 11)/4 = 12/4.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$r = 3$ r = 3.

Réponse :

r = 3

r = 3.

Trouver le premier terme

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite arithmétique a

r = 5

r = 5 et

u_{4} = 22

u₄ = 22. Calculer

u_{0}

u₀.

Voir la correction

1.
$u_{4} = u_{0} + 4 r$ u₄ = u₀ + 4r, soit $22 = u_{0} + 20$ 22 = u₀ + 20.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{0} = 2$ u₀ = 2.

Réponse :

u_{0} = 2

u₀ = 2.

Suite décroissante

Niveau 1 · Application directe

Une suite arithmétique a

u_{0} = 50

u₀ = 50 et

r = - 4

r = -4. Calculer

u_{5}

u₅.

Voir la correction

1.
$u_{5} = 50 + 5 \times (- 4) = 50 - 20$ u₅ = 50 + 5×(-4) = 50 - 20.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$= 30$ = 30.

Réponse :

u_{5} = 30

u₅ = 30.

Trouver un rang

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 3 + 2 n

uₙ = 3 + 2n, à quel rang a-t-on

u_{n} = 25

uₙ = 25 ?

Voir la correction

1.
$3 + 2 n = 25 ⟺ 2 n = 22$ 3 + 2n = 25 ⇔ 2n = 22.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$n = 11$ n = 11.

Réponse :

n = 11

n = 11.

Problème : épargne mensuelle

Niveau 2 · Méthode complète

On place

100

100 € puis on ajoute

50

50 € chaque mois. Le montant après

n

n mois est

u_{n} = 100 + 50 n

uₙ = 100 + 50n. Quel montant après

12

12 mois ?

Voir la correction

1.
$u_{12} = 100 + 50 \times 12$ u₁₂ = 100 + 50× 12.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$= 100 + 600 = 700$ = 100 + 600 = 700 €.

Réponse :

700

700 €.

Tout sur suites en première

Suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, sens de variation et sommes de termes.

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