Notion

La suite arithmétique

Q: C'est quoi une suite arithmétique, simplement ?

C'est une suite de nombres où l'on ajoute toujours la même quantité pour passer au suivant. Exemple : on met 20 € de côté chaque mois. Le montant épargné forme une suite arithmétique de raison 20.

Q: C'est quoi la raison d'une suite arithmétique ?

C'est le nombre qu'on ajoute à chaque étape. Si on épargne 20 € par mois, la raison est 20. Elle peut être négative (on retire une somme fixe) ou nulle (le montant ne bouge pas).

Q: Quelle différence avec une suite géométrique ?

Dans une suite arithmétique on ajoute toujours le même nombre ; dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre. Épargner 20 € par mois est arithmétique ; un capital qui augmente de 2 % par an est géométrique.

Q: Comment calculer un terme lointain sans tout calculer ?

On utilise le terme général uₙ = u₀ + n×r. Par exemple pour le 100ᵉ terme, on remplace n par 100 directement, sans avoir à calculer les 99 précédents.

Q: Comment savoir si la suite monte ou descend ?

On regarde le signe de la raison : raison positive → la suite augmente, raison négative → elle diminue, raison nulle → elle reste constante.

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison $r$ r : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁=uₙ+r. C'est le modèle d'une évolution à variation constante, comme une épargne d'un montant fixe chaque mois. Son terme général est $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ=u₀+n r (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ uₙ=uₚ+(n-p)r), ce qui permet de calculer n'importe quel terme sans les précédents. Le sens de variation dépend du signe de $r$ r : croissante si $r > 0$ r>0, décroissante si $r < 0$ r<0. La somme de ses termes se calcule avec la moyenne des extrêmes. Les suites arithmétiques sont, avec les géométriques, au cœur du programme de Première spé.

Définitions

Suite arithmétique: Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est arithmétique s'il existe un nombre $r$ r (la raison) tel que, pour tout $n$ n, $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁ = uₙ + r. On ajoute toujours la même quantité $r$ r d'un terme au suivant.
Raison: La raison $r$ r est la différence constante entre deux termes consécutifs : $r = u_{n + 1} - u_{n}$ r = uₙ₊₁ - uₙ. Elle peut être positive, négative ou nulle.
Terme général: C'est l'expression de $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n, qui permet de calculer n'importe quel terme directement, sans passer par tous les précédents.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Terme général d'une suite arithmétique →

u_{n} = u_{0} + n r u_{n} = u_{p} + (n - p) r

uₙ = u₀ + n r uₙ = uₚ + (n - p) rCalculer directement n'importe quel terme à partir de la raison.Relation de récurrence →

u_{n + 1} = u_{n} + r

uₙ₊₁ = uₙ + rOn passe d'un terme au suivant en ajoutant la raison.Somme des termes →

S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}

S = ( nombre de termes ) × (premier + dernier)/2La somme vaut le nombre de termes fois la moyenne des extrêmes.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier une suite arithmétique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Terme général et calcul d'un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite arithmétique a pour premier terme

u_{0} = 5

u₀ = 5 et raison

r = 3

r = 3. Donner son terme général puis calculer

u_{10}

u₁₀.

Voir la correction

1.
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = 5 + 3 n$ uₙ = u₀ + n r = 5 + 3n.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 5 + 30 = 35$ u₁₀ = 5 + 3× 10 = 5 + 30 = 35.

Réponse :

u_{n} = 5 + 3 n

uₙ = 5 + 3n ;

u_{10} = 35

u₁₀ = 35.

Méthode utilisée : $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ=u₀+nr.

Erreur fréquente : Avec $u_{0}$ u₀, le terme est $u_{0} + n r$ u₀+nr, pas $u_{0} + (n - 1) r$ u₀+(n-1)r.

Trouver la raison et le premier terme

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite arithmétique vérifie

u_{3} = 7

u₃ = 7 et

u_{7} = 19

u₇ = 19. Déterminer la raison

r

r et le premier terme

u_{0}

u₀.

Voir la correction

1.
$r = \frac{u _{7} - u _{3}}{7 - 3} = \frac{19 - 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$ r = (u₇ - u₃)/(7 - 3) = (19 - 7)/4 = 12/4 = 3.
→ Terme général d'une suite arithmétique
2.
$u_{0} = u_{3} - 3 r = 7 - 3 \times 3 = 7 - 9 = - 2$ u₀ = u₃ - 3r = 7 - 3× 3 = 7 - 9 = -2.
3.
On peut vérifier : $u_{7} = - 2 + 3 \times 7 = 19$ u₇ = -2 + 3× 7 = 19 ✓.

Réponse :

r = 3

r = 3 et

u_{0} = - 2

u₀ = -2 (donc

u_{n} = - 2 + 3 n

uₙ = -2 + 3n).

Méthode utilisée : $r = \frac{u _{p} - u _{q}}{p - q}$ r=(uₚ-u_q)/(p-q).

Erreur fréquente : Diviser par $7$ 7 au lieu de l'écart $7 - 3 = 4$ 7-3=4.

Faire les 10 exercices types sur suite arithmétique8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une suite arithmétique, simplement ?

C'est une suite de nombres où l'on ajoute toujours la même quantité pour passer au suivant. Exemple : on met 20 € de côté chaque mois. Le montant épargné forme une suite arithmétique de raison 20.

C'est quoi la raison d'une suite arithmétique ?

C'est le nombre qu'on ajoute à chaque étape. Si on épargne 20 € par mois, la raison est 20. Elle peut être négative (on retire une somme fixe) ou nulle (le montant ne bouge pas).

Quelle différence avec une suite géométrique ?

Dans une suite arithmétique on ajoute toujours le même nombre ; dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre. Épargner 20 € par mois est arithmétique ; un capital qui augmente de 2 % par an est géométrique.

Comment calculer un terme lointain sans tout calculer ?

On utilise le terme général uₙ = u₀ + n×r. Par exemple pour le 100ᵉ terme, on remplace n par 100 directement, sans avoir à calculer les 99 précédents.

Comment savoir si la suite monte ou descend ?

On regarde le signe de la raison : raison positive → la suite augmente, raison négative → elle diminue, raison nulle → elle reste constante.

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