Notion

La somme d'une suite arithmétique

La somme des termes d'une suite arithmétique se calcule sans tout additionner, grâce à une formule : le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. Pour $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ S=u₀+u₁+…+uₙ, on a $S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$ S=((n+1)(u₀+uₙ))/2, où $n + 1$ n+1 est le nombre de termes. L'idée, attribuée à Gauss, consiste à regrouper les termes par paires de même somme ; pour les premiers entiers, $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1+2+…+n=(n(n+1))/2. Cette formule sert à modéliser un cumul régulier (versements constants, distances) et revient souvent au bac dans les exercices mêlant suites et algorithmique.

Définitions

Somme arithmétique: Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs est $N \times \frac{premier + dernier}{2}$ N × (premier + dernier)/2, où $N$ N est le nombre de termes.
Nombre de termes: De $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ il y a $n + 1$ n+1 termes (pas $n$ n) : c'est l'erreur de comptage la plus fréquente dans le calcul d'une somme.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Somme d'une suite arithmétique →

S = N \times \frac{u _{premier} + u _{dernier}}{2}

S = N × (u_premier + u_dernier)/2Nombre de termes × moyenne des extrêmes.

Méthodes

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Calculer la somme d'une suite arithmétique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Somme 1+…+100

Niveau 1 · Application directe

Calculer

1 + 2 + \dots + 100

1 + 2 + … + 100.

Voir la correction

1.
$100 \times \frac{1 + 100}{2}$ 100×(1+100)/2.
→ Somme d'une suite arithmétique
2.
$= 5050$ = 5050.

Réponse :

5050

5050.

Méthode utilisée : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1+2+…+n=(n(n+1))/2.

Premiers entiers impairs

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

1 + 3 + 5 + \dots + 19

1 + 3 + 5 + … + 19.

Voir la correction

1.
$10$ 10 termes, premier $1$ 1, dernier $19$ 19.
→ Somme d'une suite arithmétique
2.
$S = 10 \times \frac{1 + 19}{2} = 10 \times 10 = 100$ S = 10×(1+19)/2 = 10× 10 = 100.

Réponse :

100

100.

Erreur fréquente : Mal compter les termes : $1, 3, \dots, 19$ 1,3,…,19 en compte $10$ 10.

Faire les 10 exercices types sur somme d'une suite arithmétique8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la somme arithmétique ?

Nombre de termes × (premier + dernier)/2. Par exemple 1+2+…+100 = 100 × (1+100)/2 = 5050.

Pourquoi cette formule marche ?

Parce qu'en regroupant les termes par paires (le premier avec le dernier, etc.), chaque paire a la même somme. C'est l'astuce du jeune Gauss.

Comment compter le nombre de termes ?

De u₀ à uₙ : n+1 termes. De 1 à 100 : 100 termes. Attention à ne pas se tromper d'une unité.

Combien vaut 1 + 2 + … + n ?

C'est n(n + 1)/2. Par exemple 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5050.

Quels termes mettre dans la formule de la somme ?

Le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes : S = nombre de termes × (premier + dernier)/2.

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