Notion

La somme d'une suite géométrique

Q: Quelle est la formule de la somme géométrique ?

u₀ × (1 − qᴺ)/(1 − q), où N est le nombre de termes et q la raison (différente de 1).

Q: Que faire si q = 1 ?

Tous les termes sont égaux à u₀, donc la somme vaut simplement N × u₀. La formule générale ne s'applique pas (division par 0).

Q: Pourquoi 1+2+4+…+2⁹ = 1023 ?

C'est une somme géométrique de raison 2 sur 10 termes : (1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2¹⁰ − 1 = 1024 − 1 = 1023.

Q: Comment calculer 1 + q + q² + … + qⁿ ?

C'est une somme géométrique de premier terme 1 : elle vaut (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) avec q ≠ 1. Attention, il y a n + 1 termes (de q⁰ à qⁿ).

Q: Comment reconnaître une somme géométrique ?

Quand on additionne des termes où l'on passe de l'un au suivant en multipliant toujours par le même nombre (la raison q). On applique alors premier terme × (1 − q^nombre de termes)/(1 − q).

La somme des termes d'une suite géométrique se calcule avec une formule, sans additionner terme à terme. Pour une raison $q \neq = 1$ q≠1, la somme de $n + 1$ n+1 termes consécutifs à partir du premier vaut $S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ S=u₀×(1-q^(n+1))/(1-q). On retient « premier terme fois $\frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q}$ (1-q^(nombre de termes))/(1-q) ». Si $q = 1$ q=1, tous les termes sont égaux et $S = (n + 1) u_{0}$ S=(n+1) u₀. Cette formule modélise un cumul multiplicatif (intérêts composés, croissance à taux constant) ; lorsque $∣ q ∣ < 1$ |q|<1, la somme se stabilise quand $n$ n grandit, ce qui prépare la limite d'une suite géométrique.

Définitions

Somme géométrique: Pour une suite géométrique de raison $q \neq = 1$ q ≠ 1, la somme de $N$ N termes consécutifs vaut $u_{0} \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ u₀ × (1 - q^(N))/(1 - q).
Nombre de termes au numérateur: L'exposant de $q$ q dans $1 - q^{n + 1}$ 1-q^(n+1) est le nombre de termes de la somme. De $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ, il y a $n + 1$ n+1 termes, d'où $q^{n + 1}$ q^(n+1).

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Somme d'une suite géométrique →

S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q} (q \neq = 1)

S = u₀ × (1 - q^(N))/(1 - q) (q ≠ 1)Premier terme × (1 − qᴺ)/(1 − q).

Méthodes

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Calculer la somme d'une suite géométrique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Somme de base

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

2 + 6 + 18 + 54 + 162

2 + 6 + 18 + 54 + 162.

Voir la correction

1.
Géométrique $u_{0} = 2$ u₀ = 2, $q = 3$ q = 3, $5$ 5 termes.
→ Somme d'une suite géométrique
2.
$S = 2 \times \frac{1 - 3 ^{5}}{1 - 3} = 242$ S = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 242.

Réponse :

242

242.

Méthode utilisée : Somme géométrique $= u_{0} \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ =u₀(1-q^(N))/(1-q).

Puissances de 2

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

1 + 2 + 4 + \dots + 2^{9}

1 + 2 + 4 + … + 2⁹.

Voir la correction

1.
$u_{0} = 1$ u₀ = 1, $q = 2$ q = 2, $10$ 10 termes.
→ Somme d'une suite géométrique
2.
$S = \frac{1 - 2 ^{10}}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1023$ S = (1 - 2¹⁰)/(1 - 2) = 2¹⁰ - 1 = 1023.

Réponse :

1023

1023.

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Questions fréquentes

Quelle est la formule de la somme géométrique ?

u₀ × (1 − qᴺ)/(1 − q), où N est le nombre de termes et q la raison (différente de 1).

Que faire si q = 1 ?

Tous les termes sont égaux à u₀, donc la somme vaut simplement N × u₀. La formule générale ne s'applique pas (division par 0).

Pourquoi 1+2+4+…+2⁹ = 1023 ?

C'est une somme géométrique de raison 2 sur 10 termes : (1 − 2¹⁰)/(1 − 2) = 2¹⁰ − 1 = 1024 − 1 = 1023.

Comment calculer 1 + q + q² + … + qⁿ ?

C'est une somme géométrique de premier terme 1 : elle vaut (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) avec q ≠ 1. Attention, il y a n + 1 termes (de q⁰ à qⁿ).

Comment reconnaître une somme géométrique ?

Quand on additionne des termes où l'on passe de l'un au suivant en multipliant toujours par le même nombre (la raison q). On applique alors premier terme × (1 − q^nombre de termes)/(1 − q).

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