Exercices types · Première spé maths

La suite géométrique — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Terme général et calcul d'un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite géométrique a pour premier terme

u_{0} = 2

u₀ = 2 et raison

q = 3

q = 3. Donner son terme général puis calculer

u_{4}

u₄.

Voir la correction

1.
Terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 2 \times 3^{n}$ uₙ = u₀ × qⁿ = 2× 3ⁿ.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{4} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$ u₄ = 2× 3⁴ = 2× 81 = 162.

Réponse :

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ ;

u_{4} = 162

u₄ = 162.

Méthode utilisée : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ uₙ=u₀× qⁿ.

Erreur fréquente : Calculer $u_{0} \times q \times n$ u₀× q× n au lieu de $u_{0} \times q^{n}$ u₀× qⁿ.

Trouver la raison et le premier terme

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite géométrique de raison positive vérifie

u_{2} = 18

u₂ = 18 et

u_{4} = 162

u₄ = 162. Déterminer

q

q et

u_{0}

u₀.

Voir la correction

1.
$q^{2} = \frac{u _{4}}{u _{2}} = \frac{162}{18} = 9$ q² = u₄/u₂ = 162/18 = 9, donc $q = 3$ q = 3 (raison positive).
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{0} = \frac{u _{2}}{q ^{2}} = \frac{18}{9} = 2$ u₀ = u₂/q² = 18/9 = 2.
3.
Vérification : $u_{4} = 2 \times 3^{4} = 162$ u₄ = 2× 3⁴ = 162 ✓.

Réponse :

q = 3

q = 3 et

u_{0} = 2

u₀ = 2 (donc

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ).

Méthode utilisée : $\frac{u _{4}}{u _{2}} = q^{2}$ u₄/u₂=q².

Erreur fréquente : Croire que $\frac{u _{4}}{u _{2}} = q$ u₄/u₂=q (c'est $q^{2}$ q²).

Calculer une somme

Niveau 2 · Méthode complète

Pour la suite

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ, calculer la somme

S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{4}

S = u₀ + u₁ + … + u₄.

Voir la correction

1.
Il y a $5$ 5 termes, premier terme $u_{0} = 2$ u₀ = 2, raison $q = 3$ q = 3.
2.
$S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{5}}{1 - q} = 2 \times \frac{1 - 3 ^{5}}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 243}{- 2}$ S = u₀ × (1 - q⁵)/(1 - q) = 2× (1 - 3⁵)/(1 - 3) = 2× (1 - 243)/(-2).
→ Somme des termes
3.
$S = 2 \times \frac{- 242}{- 2} = 2 \times 121 = 242$ S = 2× (-242)/(-2) = 2× 121 = 242.

Réponse :

S = 242

S = 242.

Méthode utilisée : Somme $= u_{0} \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ =u₀×(1-q^(N))/(1-q).

Erreur fréquente : Oublier que $N = 5$ N=5 (termes de $u_{0}$ u₀ à $u_{4}$ u₄).

Évolution à taux constant

Niveau 2 · Méthode complète

Un capital de

1000

1000 € augmente de

2%

2% par an. On note

u_{n}

uₙ le capital au bout de

n

n années (

u_{0} = 1000

u₀ = 1000). Exprimer

u_{n}

uₙ, puis calculer le capital au bout de

3

3 ans.

Voir la correction

1.
Augmenter de $2%$ 2% revient à multiplier par $q = 1 + \frac{2}{100} = 1, 02$ q = 1 + 2/100 = 1,02 : la suite est géométrique.
→ Relation de récurrence
2.
Terme général : $u_{n} = 1000 \times 1, 0 2^{n}$ uₙ = 1000× 1,02ⁿ.
→ Terme général d'une suite géométrique
3.
$u_{3} = 1000 \times 1, 0 2^{3} = 1000 \times 1, 061208 \approx 1061, 21$ u₃ = 1000× 1,02³ = 1000× 1,061208 ≈ 1061,21 €.

Réponse :

u_{n} = 1000 \times 1, 0 2^{n}

uₙ = 1000× 1,02ⁿ ;

u_{3} \approx 1061, 21

u₃ ≈ 1061,21 €.

Calculer un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite géométrique a

u_{0} = 3

u₀ = 3 et

q = 2

q = 2. Calculer

u_{5}

u₅.

Voir la correction

1.
$u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 3 \times 2^{n}$ uₙ = u₀× qⁿ = 3× 2ⁿ.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{5} = 3 \times 2^{5} = 3 \times 32 = 96$ u₅ = 3× 2⁵ = 3× 32 = 96.

Réponse :

u_{5} = 96

u₅ = 96.

Trouver la raison

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite géométrique (raison positive) vérifie

u_{2} = 12

u₂ = 12 et

u_{4} = 48

u₄ = 48. Trouver

q

Voir la correction

1.
$q^{2} = \frac{u _{4}}{u _{2}} = \frac{48}{12} = 4$ q² = u₄/u₂ = 48/12 = 4.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$q = 2$ q = 2.

Réponse :

q = 2

q = 2.

Suite décroissante

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite géométrique a

u_{0} = 80

u₀ = 80 et

q = 0, 5

q = 0,5. Calculer

u_{3}

u₃.

Voir la correction

1.
$u_{3} = 80 \times 0, 5^{3} = 80 \times 0, 125$ u₃ = 80× 0,5³ = 80× 0,125.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$= 10$ = 10.

Réponse :

u_{3} = 10

u₃ = 10.

Reconnaître une suite géométrique

Niveau 2 · Méthode complète

La suite

5, 15, 45, 135

5, 15, 45, 135 est-elle géométrique ? De quelle raison ?

Voir la correction

1.
On calcule les rapports : $\frac{15}{5} = 3$ 15/5 = 3, $\frac{45}{15} = 3$ 45/15 = 3, $\frac{135}{45} = 3$ 135/45 = 3.
→ Relation de récurrence
2.
Rapport constant : géométrique de raison $3$ 3.

Réponse : Oui,

q = 3

q = 3.

Lien avec un pourcentage

Niveau 2 · Méthode complète

Un loyer augmente de

3%

3% par an. Quelle est la raison de la suite des loyers annuels ?

Voir la correction

1.
Une hausse de $3%$ 3% revient à multiplier par $1 + \frac{3}{100}$ 1 + 3/100.
→ Relation de récurrence
2.
$q = 1, 03$ q = 1,03.

Réponse :

q = 1, 03

q = 1,03.

Problème : population qui décline

Niveau 3 · Type contrôle

Une espèce compte

5000

5000 individus et perd

10%

10% chaque année. Combien d'individus au bout de

2

2 ans ?

Voir la correction

1.
Une baisse de $10%$ 10% : $q = 0, 9$ q = 0,9, $u_{n} = 5000 \times 0, 9^{n}$ uₙ = 5000× 0,9ⁿ.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{2} = 5000 \times 0, 9^{2} = 5000 \times 0, 81 = 4050$ u₂ = 5000× 0,9² = 5000× 0,81 = 4050.

Réponse :

4050

4050 individus.

Tout sur suites en première

Suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, sens de variation et sommes de termes.

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