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Exercices corrigés : Suites arithmétiques — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Suites arithmétiques

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Suites arithmétiques
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Une suite arithmétique passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison $r$ r : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁=uₙ+r. Sa formule explicite est $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ=u₀+nr, et la somme de ses termes se calcule avec « $nombre de termes \times \frac{1er + dernier}{2}$ nombre de termes ×(1er + dernier)/2 ». Ces exercices corrigés couvrent reconnaissance, raison, formule explicite, sommes et problèmes concrets. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer des termes

Application directe

Soit $(u_{n})$ (uₙ) arithmétique de premier terme $u_{0} = 3$ u₀=3 et de raison $r = 4$ r=4.

Calculer $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂, $u_{3}$ u₃.

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Correction détaillée

1
On ajoute la raison $r = 4$ r=4 à chaque étape.
2
$u_{1} = 3 + 4 = 7$ u₁=3+4=7 ; $u_{2} = 7 + 4 = 11$ u₂=7+4=11 ; $u_{3} = 11 + 4 = 15$ u₃=11+4=15.

Réponse :

u_{1} = 7

u₁=7,

u_{2} = 11

u₂=11,

u_{3} = 15

u₃=15.

Rappel de cours : Suite arithmétique : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁=uₙ+r. On ajoute toujours la même raison.

Exercice 2 — Reconnaître une suite arithmétique

Application directe

La suite $2; 5; 8; 11; 14; \dots$ 2 ;5 ;8 ;11 ;14 ;… est-elle arithmétique ?

Si oui, donner sa raison.

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Correction détaillée

1
On calcule les différences successives : $5 - 2 = 3$ 5-2=3, $8 - 5 = 3$ 8-5=3, $11 - 8 = 3$ 11-8=3, $14 - 11 = 3$ 14-11=3.
2
La différence est constante ( $= 3$ =3) : la suite est arithmétique de raison $r = 3$ r=3.

Réponse : Oui, arithmétique de raison

r = 3

r=3.

Rappel de cours : Une suite est arithmétique si la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁-uₙ est constante.

Exercice 3 — Raison à partir de l'expression

Application directe

Montrer que $u_{n} = 5 - 2 n$ uₙ=5-2n définit une suite arithmétique et donner sa raison.

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Correction détaillée

1
$u_{n + 1} - u_{n} = [5 - 2 (n + 1)] - [5 - 2 n] = 5 - 2 n - 2 - 5 + 2 n = - 2$ uₙ₊₁-uₙ=[5-2(n+1)]-[5-2n]=5-2n-2-5+2n=-2.
2
La différence est constante $= - 2$ =-2 : suite arithmétique de raison $r = - 2$ r=-2.

Réponse : Arithmétique de raison

r = - 2

r=-2.

Rappel de cours : Une suite de la forme $u_{n} = an + b$ uₙ=an+b est arithmétique de raison $a$ a.

Exercice 4 — Formule explicite

À maîtriser

Soit $(u_{n})$ (uₙ) arithmétique avec $u_{0} = 7$ u₀=7 et $r = 3$ r=3.

Donner $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n, puis $u_{10}$ u₁₀.

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Correction détaillée

1
Formule explicite : $u_{n} = u_{0} + n r = 7 + 3 n$ uₙ=u₀+nr=7+3n.
2
$u_{10} = 7 + 3 \times 10 = 37$ u₁₀=7+3× 10=37.

Réponse :

u_{n} = 7 + 3 n

uₙ=7+3n ;

u_{10} = 37

u₁₀=37.

Rappel de cours : Formule explicite : $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ=u₀+nr. Permet de calculer un terme sans passer par tous les précédents.

Exercice 5 — Terme d'indice quelconque

À maîtriser

Soit $(u_{n})$ (uₙ) arithmétique avec $u_{0} = - 2$ u₀=-2 et $r = 5$ r=5.

Calculer $u_{100}$ u₁₀₀.

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Correction détaillée

1
$u_{n} = u_{0} + n r = - 2 + 5 n$ uₙ=u₀+nr=-2+5n.
2
$u_{100} = - 2 + 5 \times 100 = - 2 + 500 = 498$ u₁₀₀=-2+5× 100=-2+500=498.

Réponse :

u_{100} = 498

u₁₀₀=498.

Rappel de cours : La formule explicite évite $100$ 100 additions : on remplace directement $n$ n par $100$ 100.

Exercice 6 — Raison à partir de deux termes

À maîtriser

Une suite arithmétique vérifie $u_{2} = 11$ u₂=11 et $u_{6} = 27$ u₆=27.

Déterminer la raison $r$ r, puis $u_{0}$ u₀.

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Correction détaillée

1
$u_{6} = u_{2} + (6 - 2) r = u_{2} + 4 r$ u₆=u₂+(6-2)r=u₂+4r, soit $27 = 11 + 4 r$ 27=11+4r, donc $4 r = 16$ 4r=16 et $r = 4$ r=4.
2
$u_{2} = u_{0} + 2 r$ u₂=u₀+2r donne $11 = u_{0} + 8$ 11=u₀+8, donc $u_{0} = 3$ u₀=3.

Réponse :

r = 4

r=4 et

u_{0} = 3

u₀=3.

Rappel de cours : $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ uₙ=uₚ+(n-p)r : la différence d'indices multiplie la raison.

Exercice 7 — Sens de variation

À maîtriser

Préciser le sens de variation d'une suite arithmétique de raison $r = - 3$ r=-3, puis d'une autre de raison $r = 2$ r=2.

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Correction détaillée

1
Le signe de la raison donne le sens : $r = - 3 < 0$ r=-3<0 donne une suite décroissante.
2
$r = 2 > 0$ r=2>0 donne une suite croissante.

Réponse :

r < 0

r<0 : décroissante ;

r > 0

r>0 : croissante.

Rappel de cours : Pour une suite arithmétique : $r > 0$ r>0 croissante, $r < 0$ r<0 décroissante, $r = 0$ r=0 constante.

Exercice 8 — Somme des premiers entiers

Type contrôle

Calculer $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 50$ S=1+2+3+…+50.

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Correction détaillée

1
C'est la somme de termes arithmétiques (raison $1$ 1), de $1$ 1 à $50$ 50 : $50$ 50 termes.
2
$S = (nb termes) \times \frac{1er + dernier}{2} = 50 \times \frac{1 + 50}{2} = 50 \times 25, 5 = 1275$ S= (nb termes) ×(1er + dernier)/2=50×(1+50)/2=50× 25,5=1275.

Réponse :

S = 1275

S=1275.

Rappel de cours : Somme arithmétique : $(nb termes) \times \frac{1er + dernier}{2}$ (nb termes) ×(1er + dernier)/2.

Exercice 9 — Somme de termes consécutifs

Type contrôle

Soit $(u_{n})$ (uₙ) arithmétique avec $u_{0} = 4$ u₀=4, $r = 3$ r=3.

Calculer $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}$ S=u₀+u₁+…+u₁₀.

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Correction détaillée

1
Il y a $11$ 11 termes (de $u_{0}$ u₀ à $u_{10}$ u₁₀).
$u_{10} = 4 + 3 \times 10 = 34$ u₁₀=4+3× 10=34.
2
$S = 11 \times \frac{u _{0} + u _{10}}{2} = 11 \times \frac{4 + 34}{2} = 11 \times 19 = 209$ S=11×(u₀+u₁₀)/2=11×(4+34)/2=11× 19=209.

Réponse :

S = 209

S=209.

Rappel de cours : Compter les termes : de $u_{0}$ u₀ à $u_{10}$ u₁₀, il y en a $11$ 11 (et non $10$ 10).

Erreur fréquente : Nombre de termes de $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ : c'est $n + 1$ n+1. Oublier le $+ 1$ +1 fausse la somme.

Exercice 10 — Trouver le nombre de termes

Type contrôle

Combien y a-t-il de termes dans la suite arithmétique $7; 10; 13; \dots; 100$ 7 ;10 ;13 ;… ;100 ?

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Correction détaillée

1
Raison $r = 3$ r=3, premier terme $7$ 7.
On cherche $n$ n tel que $u_{n} = 100$ uₙ=100, avec $u_{n} = 7 + 3 n$ uₙ=7+3n (en comptant $u_{0} = 7$ u₀=7).
2
$7 + 3 n = 100 \Rightarrow 3 n = 93 \Rightarrow n = 31$ 7+3n=100 ⇒ 3n=93 ⇒ n=31.
Donc $u_{31} = 100$ u₃₁=100.
3
De $u_{0}$ u₀ à $u_{31}$ u₃₁, il y a $32$ 32 termes.

Réponse : Il y a

32

32 termes.

Rappel de cours : On résout $u_{n} = dernier$ uₙ= dernier pour trouver l'indice, puis on ajoute $1$ 1 (terme de rang $0$ 0).

Exercice 11 — Type bac : modélisation (épargne)

Type bac / défi

Léa place $200$ 200 € puis ajoute $50$ 50 € chaque mois.

On note $u_{n}$ uₙ la somme après $n$ n mois. 1) Justifier que $(u_{n})$ (uₙ) est arithmétique. 2) Calculer la somme après $2$ 2 ans.

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Correction détaillée

1
Chaque mois on ajoute $50$ 50 € : $u_{n + 1} = u_{n} + 50$ uₙ₊₁=uₙ+50.
C'est une suite arithmétique de raison $50$ 50, $u_{0} = 200$ u₀=200.
2
$u_{n} = 200 + 50 n$ uₙ=200+50n.
Après $2$ 2 ans $= 24$ =24 mois : $u_{24} = 200 + 50 \times 24 = 200 + 1200 = 1400$ u₂₄=200+50× 24=200+1200=1400 €.

Réponse :

(u_{n})

(uₙ) arithmétique (

r = 50

r=50) ; après 2 ans :

1400

1400 €.

Rappel de cours : « Ajouter une somme fixe à chaque période » $\Rightarrow$ ⇒ suite arithmétique. Convertir les années en mois.

Exercice 12 — Type bac : somme totale

Type bac / défi

Un théâtre a $20$ 20 sièges au premier rang, puis $2$ 2 de plus à chaque rang suivant, sur $15$ 15 rangs.

Combien de sièges au total ?

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Correction détaillée

1
Nombre de sièges au rang $n$ n (rang 1 $= 20$ =20) : suite arithmétique de raison $2$ 2.
Au rang $15$ 15 : $20 + 2 \times 14 = 48$ 20+2× 14=48.
2
Somme des $15$ 15 rangs : $S = 15 \times \frac{20 + 48}{2} = 15 \times 34 = 510$ S=15×(20+48)/2=15× 34=510.

Réponse : Il y a

510

510 sièges au total.

Rappel de cours : On identifie le premier terme, la raison, le dernier terme et le nombre de termes, puis on applique la formule de somme.

Exercice 13 — Type bac : terme dépassant un seuil

Type bac / défi

Soit $(u_{n})$ (uₙ) arithmétique avec $u_{0} = 5$ u₀=5, $r = 4$ r=4.

À partir de quel rang $n$ n a-t-on $u_{n} > 100$ uₙ>100 ?

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Correction détaillée

1
$u_{n} = 5 + 4 n$ uₙ=5+4n.
On résout $5 + 4 n > 100$ 5+4n>100, soit $4 n > 95$ 4n>95, donc $n > 23, 75$ n>23,75.
2
Comme $n$ n est entier, la condition est vérifiée à partir de $n = 24$ n=24.

Réponse :

u_{n} > 100

uₙ>100 à partir de

n = 24

n=24.

Rappel de cours : Pour un seuil sur une suite arithmétique, on résout l'inéquation puis on prend le premier entier convenable.

Exercice 14 — Type bac : somme avec inconnue

Type bac / défi

La somme des $n$ n premiers entiers $1 + 2 + \dots + n$ 1+2+…+n vaut $210$ 210.

Déterminer $n$ n.

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Correction détaillée

1
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} = 210$ 1+2+…+n=(n(n+1))/2=210, donc $n (n + 1) = 420$ n(n+1)=420.
2
On résout $n^{2} + n - 420 = 0$ n²+n-420=0.
$Δ = 1 + 1680 = 1681 = 4 1^{2}$ Δ=1+1680=1681=41², $n = \frac{- 1 + 41}{2} = 20$ n=(-1+41)/2=20 (on garde la racine positive).

Réponse :

n = 20

n=20.

Rappel de cours : La somme $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ (n(n+1))/2 conduit à une équation du second degré en $n$ n. On garde la solution entière positive.

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Suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, sens de variation et sommes de termes.

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