Notion

La suite géométrique

Q: C'est quoi une suite géométrique, simplement ?

C'est une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre pour passer au suivant. Exemple : un capital placé qui augmente de 2 % chaque année. D'une année sur l'autre, on multiplie par 1,02.

Q: C'est quoi la raison d'une suite géométrique ?

C'est le nombre par lequel on multiplie à chaque étape. Pour une hausse de 2 %, la raison est 1,02 ; pour une baisse de 10 %, elle est 0,90. C'est un rapport, pas une différence.

Q: Quelle différence avec une suite arithmétique ?

Dans une suite arithmétique on ajoute toujours le même nombre ; dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre. Ajouter 20 € par mois est arithmétique ; multiplier par 1,02 chaque année est géométrique.

Q: Pourquoi une suite géométrique grandit-elle si vite ?

Parce que multiplier répété fait exploser les valeurs : c'est la croissance exponentielle. Un grain de riz doublé sur chaque case d'un échiquier dépasse vite des milliards — voilà l'effet d'une raison supérieure à 1.

Q: Comment relier pourcentage et raison ?

Une évolution de t % correspond à une raison q = 1 + t/100. Hausse de 5 % → q = 1,05 ; baisse de 20 % → q = 0,80. C'est le pont entre les pourcentages et les suites géométriques.

Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison $q$ q : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ uₙ₊₁=q× uₙ. C'est le modèle d'une évolution à taux constant (intérêts composés, croissance ou décroissance de $t %$ t% à chaque étape). Son terme général est $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ uₙ=u₀× q^(n), ce qui permet de calculer directement n'importe quel terme. Le comportement dépend de la raison : si $q > 1$ q>1 la suite explose, si $0 < q < 1$ 0<q<1 elle tend vers $0$ 0, si $q < 0$ q<0 les termes alternent de signe. La somme de ses termes et l'étude de sa limite reviennent souvent au bac. C'est un chapitre clé de Première spé.

Définitions

Suite géométrique: Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est géométrique s'il existe un nombre $q$ q (la raison) tel que, pour tout $n$ n, $u_{n + 1} = q u_{n}$ uₙ₊₁ = q uₙ. On multiplie toujours par la même quantité $q$ q d'un terme au suivant.
Nombre de termes: De $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ il y a $n + 1$ n+1 termes (pas $n$ n) : c'est l'erreur de comptage la plus fréquente dans le calcul d'une somme.
Raison: La raison $q$ q est le rapport constant entre deux termes consécutifs : $q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ q = uₙ₊₁/uₙ (pour $u_{n} \neq = 0$ uₙ ≠ 0).
Lien avec les pourcentages: Une évolution à taux constant $t$ t correspond à une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ q = 1 + t/100. Par exemple $+ 2%$ +2% par an donne $q = 1, 02$ q = 1,02.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Terme général d'une suite géométrique →

u_{n} = u_{0} \times q^{n} u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}

uₙ = u₀ × q^(n) uₙ = uₚ × q^(n - p)Calculer directement n'importe quel terme à partir de la raison.Relation de récurrence →

u_{n + 1} = q \times u_{n}

uₙ₊₁ = q × uₙOn passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison.Somme des termes →

S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nombre de termes}}{1 - q} (q \neq = 1)

S = ( premier terme ) × (1 - q^(nombre de termes))/(1 - q) (q ≠ 1)La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier une suite géométrique →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Terme général et calcul d'un terme

Niveau 1 · Application directe

Une suite géométrique a pour premier terme

u_{0} = 2

u₀ = 2 et raison

q = 3

q = 3. Donner son terme général puis calculer

u_{4}

u₄.

Voir la correction

1.
Terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 2 \times 3^{n}$ uₙ = u₀ × qⁿ = 2× 3ⁿ.
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{4} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$ u₄ = 2× 3⁴ = 2× 81 = 162.

Réponse :

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ ;

u_{4} = 162

u₄ = 162.

Méthode utilisée : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ uₙ=u₀× qⁿ.

Erreur fréquente : Calculer $u_{0} \times q \times n$ u₀× q× n au lieu de $u_{0} \times q^{n}$ u₀× qⁿ.

Trouver la raison et le premier terme

Niveau 2 · Méthode complète

Une suite géométrique de raison positive vérifie

u_{2} = 18

u₂ = 18 et

u_{4} = 162

u₄ = 162. Déterminer

q

q et

u_{0}

u₀.

Voir la correction

1.
$q^{2} = \frac{u _{4}}{u _{2}} = \frac{162}{18} = 9$ q² = u₄/u₂ = 162/18 = 9, donc $q = 3$ q = 3 (raison positive).
→ Terme général d'une suite géométrique
2.
$u_{0} = \frac{u _{2}}{q ^{2}} = \frac{18}{9} = 2$ u₀ = u₂/q² = 18/9 = 2.
3.
Vérification : $u_{4} = 2 \times 3^{4} = 162$ u₄ = 2× 3⁴ = 162 ✓.

Réponse :

q = 3

q = 3 et

u_{0} = 2

u₀ = 2 (donc

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ).

Méthode utilisée : $\frac{u _{4}}{u _{2}} = q^{2}$ u₄/u₂=q².

Erreur fréquente : Croire que $\frac{u _{4}}{u _{2}} = q$ u₄/u₂=q (c'est $q^{2}$ q²).

Faire les 10 exercices types sur suite géométrique8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une suite géométrique, simplement ?

C'est une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre pour passer au suivant. Exemple : un capital placé qui augmente de 2 % chaque année. D'une année sur l'autre, on multiplie par 1,02.

C'est quoi la raison d'une suite géométrique ?

C'est le nombre par lequel on multiplie à chaque étape. Pour une hausse de 2 %, la raison est 1,02 ; pour une baisse de 10 %, elle est 0,90. C'est un rapport, pas une différence.

Quelle différence avec une suite arithmétique ?

Dans une suite arithmétique on ajoute toujours le même nombre ; dans une suite géométrique on multiplie toujours par le même nombre. Ajouter 20 € par mois est arithmétique ; multiplier par 1,02 chaque année est géométrique.

Pourquoi une suite géométrique grandit-elle si vite ?

Parce que multiplier répété fait exploser les valeurs : c'est la croissance exponentielle. Un grain de riz doublé sur chaque case d'un échiquier dépasse vite des milliards — voilà l'effet d'une raison supérieure à 1.

Comment relier pourcentage et raison ?

Une évolution de t % correspond à une raison q = 1 + t/100. Hausse de 5 % → q = 1,05 ; baisse de 20 % → q = 0,80. C'est le pont entre les pourcentages et les suites géométriques.

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